5.1 任意角和弧度制 一课一练（含解析）

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5.1 任意角和弧度制一课一练
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为 ，则该扇形的面积是（　　）cm.
A．2 B．3 C．6 D．9
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
4．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
5．下列判断正确的是（　　）
A．若 ，且 为第一象限角，则
B．若由 ， 组成的集合M中有且仅有一个元素，则
C．若 ，则
D．若函数 在区间 上具有奇偶性，则
6．设 为小于 的角}， 为第一象限角}，则 等于（　　）
A． 为锐角}
B． 为小于 的角}
C． 为第一象限角}
D．
7．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示，的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于的面积，则（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多选题
8．如果 是第四象限角，那么 可能是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
9．下列四个选项正确的有（　　）
A． 角是第四象限角 B． 角是第三象限角
C． 角是第二象限角 D． 是第一象限角
10．下列说法正确的是（　　）
A．且则
B．的大小关系为
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数，则使不等式成立的的取值范围是
三、填空题
11．2021°是第　 　象限的角．
12．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积　 　．
四、解答题
13．经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
14．已知一扇形的中心角为 ，所在圆的半径为 .
（1）若 ， ，求该扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为12 ，问当 多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
2．【答案】D
【解析】【解答】设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长 ，圆心角为 ，
解得 ，故扇形面积为 .
故答案为：D
【分析】 设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得 ，再由扇形面积公式可得扇形的面积S.
3．【答案】A
【解析】【解答】弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以根据弧长公式，可得圆的半径为2，所以扇形的面积为：×4×2=4cm2，故选A
【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题。
4．【答案】C
【解析】【分析】单位圆半径为1，设扇形的圆心角为，由扇形的面积公式有选C.
5．【答案】D
【解析】【解答】当 时满足 ，且 为第一象限角，所以A不符合题意；
当 时由 ， 组成的集合M中有且仅有一个元素，所以B不符合题意；
当 时 ，但 没意义，所以C不符合题意；
因为函数 在区间 上具有奇偶性，所以 ，
故答案为：D
【分析】逐个分析，对ABC可举反例，对D求解论证.
6．【答案】D
【解析】【解答】 为小于 的角}， 为第一象限角}
则
故答案为：
【分析】直接利用交集的运算法则得到答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，的面积为，扇形AOP的面积为，的面积为，依题意可得，即，都成立，AB不符合题意；
当为锐角时，也为锐角，，都成立，所以，；，，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合全称命题和特称命题的真假性判断方法，再结合三角形的面积公式和扇形的面积公式，再结合三角函数的图象判断单调性的方法，进而找出正确的选项。
8．【答案】B,D
【解析】【解答】由已知得 ， ，所以 ， ，当 为偶数时， 在第四象限，当 为奇数时， 在第二象限，即 在第二或第四象限．
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合象限角的范围，再结合不等式的基本性质，从而判断出角所在的象限。
9．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】对于A如图1所示， 角是第四象限角；
对于B如图2所示， 角是第三象限角；
对于C如图3所示， 角是第二象限角；
对于D如图4所示， 角是第一象限角.
故答案为：ABCD.
【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】由可得，不妨设，
则有，所以，A不符合题意；
所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，B符合题意；
八点二十分，如图，，
所以，C不符合题意；
中，令解得或，
所以定义域为，
，所以函数为偶函数，
当时，设，此时单调递增，
再结合复合函数单调性可知单调递增，
所以在单调递增，
则在单调递减，
所以由可得即，
解得或，D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】由可得，不妨设，则有，再结合对数对数的运算法则和对数相等的判断方法，所以；利用已知条件结合函数的单调性判断出a，b，c的大小；再利用已知条件结合角度与弧度的互化公式以及扇形和圆的关系，从而得出八点二十分，时针和分针夹角的弧度数；再利用偶函数的定义和函数的单调性以及绝对值不等式求解方法，进而得出使不等式成立的的取值范围，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】三
【解析】【解答】
，
2021°与 终边相同，
2021°是第三象限的角，
故答案为：三
【分析】由
，通过终边相同即可判断。
12．【答案】3
【解析】【解答】设，
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
【分析】设，利用弧长公式，求得，，再利用扇形的面积公式求得扇形和扇形的面积，进而求得扇环的面积.
13．【答案】解：时针每小时转过=-30°，则每分钟转过=-0.5°，
而分针每分钟转过=-6°，故经过2小时15分钟后，
时针转过（2×60+15）×（-0.5°）＝﹣67.5°，
分针转过（2×60+15）×（-6°）＝﹣810°.
2小时15分钟后为10点20分，此时分针指向4，时针则由指向10转过了20×（﹣0.5°）＝-10°，
此时时针和分针所成的角为180°-10°=170°．
【解析】【分析】时针每小时转过﹣30°，则每分钟转过﹣0.5°，而分针每分钟转过﹣6°，从而经过计算求出时针和分针转过的度数，求出它们所成的角．
14．【答案】（1）解：l=αR= ×6=2πcm，扇形的弧长为2πcm;
（2）解：依题意得：2R+l=12,S= lR= (12-2R)R=-R2+6R，由二次函数可得，当R＝3时，S有最大值9cm2,此时l=6，得α＝ =2
【解析】【分析】(1) 根据题意把数值代入到弧长公式求出数值即可。(2)由已知条件结合扇形的周长求出关于R的方程，利用二次函数的性质求出面积的最大值以及对应的α值。
5.1 任意角和弧度制一课一练
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为 ，则该扇形的面积是（　　）cm.
A．2 B．3 C．6 D．9
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
4．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
5．下列判断正确的是（　　）
A．若 ，且 为第一象限角，则
B．若由 ， 组成的集合M中有且仅有一个元素，则
C．若 ，则
D．若函数 在区间 上具有奇偶性，则
6．设 为小于 的角}， 为第一象限角}，则 等于（　　）
A． 为锐角}
B． 为小于 的角}
C． 为第一象限角}
D．
7．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示，的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于的面积，则（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多选题
8．如果 是第四象限角，那么 可能是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
9．下列四个选项正确的有（　　）
A． 角是第四象限角 B． 角是第三象限角
C． 角是第二象限角 D． 是第一象限角
10．下列说法正确的是（　　）
A．且则
B．的大小关系为
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数，则使不等式成立的的取值范围是
三、填空题
11．2021°是第　 　象限的角．
12．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积　 　．
四、解答题
13．经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
14．已知一扇形的中心角为 ，所在圆的半径为 .
（1）若 ， ，求该扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为12 ，问当 多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
2．【答案】D
【解析】【解答】设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长 ，圆心角为 ，
解得 ，故扇形面积为 .
故答案为：D
【分析】 设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得 ，再由扇形面积公式可得扇形的面积S.
3．【答案】A
【解析】【解答】弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以根据弧长公式，可得圆的半径为2，所以扇形的面积为：×4×2=4cm2，故选A
【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题。
4．【答案】C
【解析】【分析】单位圆半径为1，设扇形的圆心角为，由扇形的面积公式有选C.
5．【答案】D
【解析】【解答】当 时满足 ，且 为第一象限角，所以A不符合题意；
当 时由 ， 组成的集合M中有且仅有一个元素，所以B不符合题意；
当 时 ，但 没意义，所以C不符合题意；
因为函数 在区间 上具有奇偶性，所以 ，
故答案为：D
【分析】逐个分析，对ABC可举反例，对D求解论证.
6．【答案】D
【解析】【解答】 为小于 的角}， 为第一象限角}
则
故答案为：
【分析】直接利用交集的运算法则得到答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，的面积为，扇形AOP的面积为，的面积为，依题意可得，即，都成立，AB不符合题意；
当为锐角时，也为锐角，，都成立，所以，；，，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合全称命题和特称命题的真假性判断方法，再结合三角形的面积公式和扇形的面积公式，再结合三角函数的图象判断单调性的方法，进而找出正确的选项。
8．【答案】B,D
【解析】【解答】由已知得 ， ，所以 ， ，当 为偶数时， 在第四象限，当 为奇数时， 在第二象限，即 在第二或第四象限．
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合象限角的范围，再结合不等式的基本性质，从而判断出角所在的象限。
9．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】对于A如图1所示， 角是第四象限角；
对于B如图2所示， 角是第三象限角；
对于C如图3所示， 角是第二象限角；
对于D如图4所示， 角是第一象限角.
故答案为：ABCD.
【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】由可得，不妨设，
则有，所以，A不符合题意；
所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，B符合题意；
八点二十分，如图，，
所以，C不符合题意；
中，令解得或，
所以定义域为，
，所以函数为偶函数，
当时，设，此时单调递增，
再结合复合函数单调性可知单调递增，
所以在单调递增，
则在单调递减，
所以由可得即，
解得或，D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】由可得，不妨设，则有，再结合对数对数的运算法则和对数相等的判断方法，所以；利用已知条件结合函数的单调性判断出a，b，c的大小；再利用已知条件结合角度与弧度的互化公式以及扇形和圆的关系，从而得出八点二十分，时针和分针夹角的弧度数；再利用偶函数的定义和函数的单调性以及绝对值不等式求解方法，进而得出使不等式成立的的取值范围，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】三
【解析】【解答】
，
2021°与 终边相同，
2021°是第三象限的角，
故答案为：三
【分析】由
，通过终边相同即可判断。
12．【答案】3
【解析】【解答】设，
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
【分析】设，利用弧长公式，求得，，再利用扇形的面积公式求得扇形和扇形的面积，进而求得扇环的面积.
13．【答案】解：时针每小时转过=-30°，则每分钟转过=-0.5°，
而分针每分钟转过=-6°，故经过2小时15分钟后，
时针转过（2×60+15）×（-0.5°）＝﹣67.5°，
分针转过（2×60+15）×（-6°）＝﹣810°.
2小时15分钟后为10点20分，此时分针指向4，时针则由指向10转过了20×（﹣0.5°）＝-10°，
此时时针和分针所成的角为180°-10°=170°．
【解析】【分析】时针每小时转过﹣30°，则每分钟转过﹣0.5°，而分针每分钟转过﹣6°，从而经过计算求出时针和分针转过的度数，求出它们所成的角．
14．【答案】（1）解：l=αR= ×6=2πcm，扇形的弧长为2πcm;
（2）解：依题意得：2R+l=12,S= lR= (12-2R)R=-R2+6R，由二次函数可得，当R＝3时，S有最大值9cm2,此时l=6，得α＝ =2
【解析】【分析】(1) 根据题意把数值代入到弧长公式求出数值即可。(2)由已知条件结合扇形的周长求出关于R的方程，利用二次函数的性质求出面积的最大值以及对应的α值。
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