5.4 三角函数的图象与性质 一课一练（含解析）

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5.4 三角函数的图象与性质一课一练
一、单选题
1．设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
2．函数 的图象在 轴右侧且距 轴最近的对称轴方程为（　　）
A． B． C． D．
3．函数y=cos2x的图像可以看作由的图像（　　）得到
A．向左平移个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移单位长度 D．向右平移 单位长度
4．下列区间为函数 的增区间的是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数 的图象在 上恰有两个最大值点，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[ ， ]上单调，且f（ ）=f（ ）=﹣f（ ），则f（x）的最小正周期为 （　　）
A． B．2π C．4π D．π
7．已知函数.若，且在区间上单调，则（　　）
A． B．或4 C．4 D．或
二、多选题
8．下列结论正确的是（　　）
A．是第二象限角
B．函数的最小正周期是
C．若，则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
9．已知函数的图象经过点，则（　　）
A．
B．的最小正周期为
C．的定义域为
D．不等式的解集为，
三、填空题
10．函数 的最小正周期为　 　．
11．设函数y=sinωx（ω＞0）在区间 上是增函数，则ω的取值范围为　 　．
12．在下列结论中：
①函数 为奇函数；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 的图象的一条对称轴为 ；
④若 ，则 .
其中正确结论的序号为　 　（把所有正确结论的序号都填上）．
四、解答题
13．已知函数 ，且 .
（1）求 的值.
（2）当 时，函数 的最小值.
14．若函数 对任意x满足 ．
（1）求φ的值；
（2）若 ，求f（x）的最值及其相应x值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】 ， ，
，即 ，
，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】 可以得出， ，，然后即可得出a，b，c的大小关系．
2．【答案】C
【解析】【解答】由 ，得 ， ， 时， 即为所求．
故答案为：C．
【分析】 由题意利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.
3．【答案】A
【解析】【分析】，图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像.
【点评】对于三角函数图象的平移问题，一是要首先化成平移前后同名的三角函数，二是注意“左加右减”是相对于来说的，所以一定要首先把的系数提出来，再看平移多少个单位.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：函数
令 ，
解得： ，
当 时，得 在区间 上单调递增
故答案为：
【分析】解决本题时，只需把括号看成一个整体，再根据正弦函数的单调递增区间基本性质：，即可得出答案。
5．【答案】C
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为：C.
【分析】由三角函数图象确定 满足条件，解得结果.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[ ， ]上单调，
∴ ﹣ ≤ = = ，即 ≤ ，∴0＜ω≤3．
∵f（ ）=f（ ）=﹣f（ ），
∴x= = ，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（ ，0）即（ ，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴ = = ﹣ = ，解得ω=2∈（0，3]，∴T= =π，
故选：D．
【分析】由题意求得x= ，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，（ ，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，根据 = ﹣ ，解得ω的值．
7．【答案】B
【解析】【解答】由，得函数的图象关于点中心对称；
由，得函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
即，得.
因为在区间上单调，所以，即，
所以，解得.又，所以或.
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意；
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意.
综上所述，或.
故答案为：B.
【分析】由结合函数的图象的对称性得函数的图象关于点中心对称，同理，由得出函数的图象关于直线对称，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出，再利用在区间上单调，进而得出T的取值范围，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，再利用，进而得出k的值，再利用分类讨论的方法得出满足要求的函数的解析式，进而得出实数的值。
8．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，A符合题意；
对于B：因为函数的最小正周期是，
所以函数的最小正周期是，B符合题意；
对于C：若，则，C不符合题意；
对于D：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】直接利用象限角的定义，三角函数的周期性，扇形面积公式的应用即可判断.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】对于A，由题知，则，因为，所以，A不符合题意；
对于B，的最小正周期，B符合题意；
对于C，令，，则，，
所以的定义域为，C不符合题意；
对于D，令，则，
得，，即，，
所以不等式的解集为，，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】由已知条件求出，可判断A；再利用正切函数的周期性可判断B；根据正切函数的定义域可判断C；利用正切函数的单调性可判断D.
10．【答案】
【解析】【解答】解：函数 ，
∴f（x）的最小正周期T= ．
故答案为 ．
【分析】利用可得f（x）的最小正周期．
11．【答案】（0，2]
【解析】【解答】解：函数y=sinωx（ω＞0）在区间 上是增函数，
∴ ，
解得 0＜ω≤2；
所以ω的取值范围是（0，2]．
故答案为：（0，2]．
【分析】根据函数y=sinωx（ω＞0）在区间 上是增函数，得出 ，求出解集即可．
12．【答案】①③
【解析】【解答】解： 是奇函数，①正确； ，②错； ，③正确； ， ， ，④错．
故答案为①③．
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。
13．【答案】（1）解： 且 ，
（2）解：由（1）知： ，当 时， ，
∴当 ，即 时，
【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数的定义直接求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
14．【答案】（1）解：由题意，函数的图象关于x= 对称，∴ +φ=kπ+ ，
∵0＜φ＜π，∴φ= ；
（2）解：f（x）= sin（2x+ ），
∵ ，∴2x+ ∈[ ， ]，
2x+ = ，即x=﹣ ，f（x）max= ，2x+ = ，即x= ，f（x）min=﹣ ．
【解析】【分析】（1）由题意，函数的图象关于x= 对称，即可求φ的值；（2）若 ，2x+ ∈[ ， ]，即可求f（x）的最值及其相应x值．
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