山西大学附属中学与东北师大附中2023-2024学年高三10月期中联考
数学试题
试题满分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A. ，函数不是偶函数 B. ，函数不是偶函数
C. ，函数是奇函数 D. ，函数是奇函数
3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A. 0 B. C. 12 D. 10
4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，角所对的边分别为.已知，
：是等腰三角形，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知为正实数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，
，则的值是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若且，则 D.
10. 已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
11. 已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A.
B. 直线为曲线的一条对称轴
C. 若在单调递增，则
D. 曲线与直线有5个交点
12．已知函数，，则
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D．若，则的最大值为
三．填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的图像在处的切线方程是，则______．
14. 设定义在上且，则______．
15. 已知，，则______．
16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.
四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数的最小正周期为，是函数一个零点.
(1)求；
(2)在中，角的对边分别为，求面积的最大值.
18. 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
19. 2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
20. 如图，在四棱锥中，，，
，平面平面.
(1)求证：面；
(2)点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，设过点的直线交于两点，直线分别与轴交于点，当时，求直线的斜率．
22. 已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的取值范围.山西大学附属中学与东北师大附中2023-2024学年高三10月期中联考数学试题评分细则
试题满分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】因为或，
又因为，因此，.
故选：B.
2. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A. ，函数不是偶函数 B. ，函数不是偶函数
C. ，函数是奇函数 D. ，函数是奇函数
【答案】B
【详解】因为命题“，函数是偶函数”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即“，函数不是偶函数”.
故选：B.
3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A. 0 B. C. 12 D. 10
【答案】D
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】C
【详解】由题意可得，即，解得，
令，即，
两边取对数得，
所以，即，
解得，
故选：C
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】因为，关于原点对称，
，
所以函数奇函数，故D错误；
因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
故选：C.
6. 在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】在中，若，由正弦定理，
得，所以，所以，所以为等边三角形，
若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立；
反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形，
如在中，，，则不成立，
所以是：是等腰三角形的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知为正实数，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为为正实数，则，
即，
所以或，
所以或.
的取值范围是，
故选：D.
8.已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】D
【详解】中令，则，
中令，，则，
又中令，则，所以，
中，令，则，
再令，，则．
故选：D
二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若且，则
D.
【答案】BD
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，
，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10. 已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】BCD
【详解】由题意得，故为偶函数，
而，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
若，则，得，
即，解得
故选：BCD
11. 已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A.
B. 直线为曲线的一条对称轴
C. 若在单调递增，则
D. 曲线与直线有5个交点
【答案】ABD
【详解】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，A正确；
因为，且为最小值，所以直线为曲线的一条对称轴，B对；
令,故易知在单调递增，故，C错；
直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，
当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线有5个交点，故D对．
故选：ABD．
12．已知函数，，则
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【详解】对于，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，故，故在递增，
故函数在上无极值点，故正确；
对于，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，故（1），故在递增，
函数在上无极值点，故错误；
对于：由得：在递增，
不等式恒成立，则恒成立，故，
设，则，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，故（e），故，故正确；
对于：若，则，
，，，且，
时，，
设，设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，故（e），此时
，
故的最大值是，故正确；
故选：．
三．填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的图像在处的切线方程是，则______．
【答案】10
【详解】由已知切点在切线上，所以，
切点处的导数为切线斜率，所以，所以.
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.
14. 设定义在上且，则______．
【答案】
【详解】因为，
所以，
，
同理可得.
故答案为：
15. 已知，，则______．
【答案】
【详解】由得，，
而，
故
，
故答案为：
16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.
【答案】
【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：.
由对称性，设，又，，
所以，，
易知，所以的长为.
又，故，故，
令且，则，，
所以.
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以栈道总长度最小值.
故答案为：.
四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数的最小正周期为是函数一个零点.
(1)求；
(2)在中，角的对边分别为，求面积的最大值.
【解】（1）依题意，周期，所以， ……2分
由题意得，解得，
而，所以取， .……4分
（2）因为，所以，
因为，所以，则，……5分
由余弦定理得， ……6分
因为，
则， ……7分
所以（当且仅当时，有最大值4），……8分
因为， ……9分
所以面积的最大值为 .……10分
18. 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
【解】（1）∵，
当时，，……1分
两式相减得：，
整理得， ……2分
∵，∴， ……3分
当时，，
∴（舍）或， ……4分
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，……5分
则；……6分
（2）由（1）知，，……7分
……9分
∴
，……11分
∵，∴，即．……12分
19. 2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
【解】（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件；
当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以，，
所以第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率.……4分
（2）由题知，的可能取值为，.……5分
所以考前最后5天训练中，所有可能的结果有种，
所以当时，第一天有两种选择，之后每天都有种选择，故； .……6分
当时，
第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以； .……7分
当时，第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
所以； .……8分
所以当，.……9分
所以，的分布列为：
.……10分
所以，..……12分
20. 如图，在四棱锥中，，，
，平面平面.
(1) 求证：面；
(2)点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
【解】（1）证明：由题意：，，
∴，同理，
又，∴，
∴， .……2分
又平面平面，平面平面， 平面，
∴平面，.……3分
∴，.……4分
又且面，面，，
∴面；.……5分
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
由，
有，.……7分
令是平面的一个法向量，
则即，
令，有，.……9分
取面的一个法向量，.……10分
∴，.……11分
解得..……12分
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，设过点的直线交于两点，直线分别与轴交于点，当时，求直线的斜率．
【解】（1）设曲线的方程为，.……1分
由曲线过点，两点，得，解得，.……3分
所以曲线的方程为；.……4分
（2）
由题意可知过点的直线的方程为，设，，
由消去，得
则，解得且①
设，，则有②.……6分
设直线的方程为，令得，
所以直线与轴交点的坐标为.……7分
同理可得直线的方程为，令得，
所以直线与轴交点的坐标为..……8分
由题意可知，.……9分
即
，
即
所以③
将②代入③得
整理得，.……11分
所以，满足①式，
综上，..……12分
22. 已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的取值范围.
【解】（1）函数的定义域是，
，.……1分
令，求导得，递减，
递增，，
当时，，
当递减，递增，……2分
此时有1个极小值点； ……3分
②当时，，
令，则，函数在上递增，，即，
当时，，此时，使得，
令，有，令，，
即有在上递增，，函数在上递增，，则，
当时，，此时，使得，
因此递减，递增，
递减，递增，……5分
此时有3个极值点……6分
（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，……8分
令，
，函数在上单调递增，，
则；……9分
②当时，，使得，，使得，
递减，递增，
递减，递增，
其中，则，
……11分
显然符合要求，即有，
所以m的取值范围是.……12分
