2023~2024 学年嵩明县高三年级期中考试卷
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
第 I 卷（选择题:60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求）
1. 已知集合 A ｛x | 1 x 2｝， B {x | x 1}，则 =（ ）
A. {x | 1 x 1} B. {x |1 x 2}
C. {x | x 1} D. {x | x 1}
2. 已知复数 ，则 =（ ）
A. 2 i B. 2 i C. 2 i D. 2 i
3. 展开式中
的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
S S
4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且满足 3 - 2 =1，则数列 的公差为（ ）
3 2
A. B. C. D.
嵩明高三年级期中数学试卷·第 1 页 （共 6 页）
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x25．已知椭圆C : y2 1的左焦点是 ，过 的直线 l ：
2 2
与圆：x y 4交
2
于 A，B两点，则 的长为（ ）
A． 14 B． 7 C． D．
14
2
2
6．已知 ，则 =（ ）
1 5 1 5
A． B. C． D．
2 8 2 8
7．若函数 f x x t sin x在 ， 上单调递增，则实数 t的取值范围是（ ）
A． 1, B． 1, C． 2, D． 2,
8．在 中，AB=3，BC=4，AC=5，PQ 为 内切圆的一条直径，M为 边上的动点，
则 的取值范围为（ ）
A． 0,4 B． 0,9 C． 1,4 D． 1,9
二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选
对的得 2分，有选错的得 0分.本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
9．甲乙两支足球队在上一赛季中分别参加了 10 场比赛，在这 10 场比赛中两队的进球数
如表，设两支足球队在 10 场比赛中进球数的平均数为 甲 ， 乙 ，标准差为S ，甲 S ，乙
则下列说法正确的是（ ）
场次
球队
甲
乙
A． 甲 乙 B． 甲 乙 C． 甲 乙 D． 甲 乙
10．已知抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，经过点 F且斜率为 的直线 l 与抛物线
C交于点 A，B两点（点 A在第一象限），若 ，则以下结论正确的是（ ）
嵩明高三年级期中数学试卷·第 2 页 （共 6 页）
{#{QQABZYSAggggABBAAQgCAwFwCAKQkBCAACoGhFAMoAABwQFABAA=}#}
A． p 2 B． AF 3 BF
1 1 1
C． D． 32 3S
AF BF 2 AOB
3
3 3
11. 已知定义在 R上的函数 y f x 满足 f x f x ，且 f x 为奇函数，
2 4
f 1 1， f 0 2 .下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 y f x 的一个周期
3
B．函数 y f (x) 的图象关于直线 x 对称
4
3
C．函数 y f (x) 的图象关于点（ ,0）对称
4
D． f 1 f 2 f 3 f 2023 2
12. 直三棱柱 中， ， ，点 是线段 上的
动点 不含端点 ，则以下正确的有 （ ）
A. 平面 B. 三棱锥 的外接球的表面积为
C. 的最小值为 D. ∠ 一定是锐角
第 II 卷（非选择题:90 分）
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分、共 20分）
13.曲线 在点 处的切线方程是___________________
14.在 中，若 ， ，则 =___________________
15.杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配。已知射箭场馆共需要 名志愿者，
其中 名会说韩语， 名会说日语。目前可供选择的志愿者中有 人只会韩语， 人只会
日语，另外还有 人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有___________________
种。（用数字作答）
16. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线交椭圆 于
， 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，若 ，则椭圆 的离心率 _________．
嵩明高三年级期中数学试卷·第 3 页 （共 6 页）
{#{QQABZYSAggggABBAAQgCAwFwCAKQkBCAACoGhFAMoAABwQFABAA=}#}
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(满分 10分)
已知 ABC的角 A，B，C的对边分别为a ，b，c，且 c
．
（1）求 A；
（2）若 的面积为 ， ，点 D为边 BC的中点，求 AD 的长．
18.（满分 12分）
已知等差数列 的前 n项和为 ， ，
．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2） 设
，记数列 的前 n 项和为 ，证明： 1．
嵩明高三年级期中数学试卷·第 4 页 （共 6 页）
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19.(满分 12分）
如图，四边形 是正方形， ⊥平面 ， ， .
（1）证明： ⊥ ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 ADGE所成角的大小.
20.(满分 12分)
数轴上的一个质点 从原点出发，每次随机向左或向右移动 个单位长度，其中向左移
1 2
动的概率为 ，向右移动概率为 ，记点 移动 次后所在的位置对应的实数为 ．
3 3
（1）求 的分布列和期望；
（2）当 时，点 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由．
嵩明高三年级期中数学试卷·第 5 页 （共 6 页）
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21.(满分 12分）
已知动点 到定点 ， 的距离和它到直线 y 1距离之比为 2；
（1）求点 的轨迹 C的方程；
（2） 直线 l在 x轴上方与 x 轴平行，交曲线 C于 A，B两点， 直线 l 交 y轴于点 D. 设
OD 的中点为 M，是否存在定直线 l ，使得经过 M的直线与 C交于 ， ，与线段 AB 交于点 N，
， 均成立；若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.
22.（满分 12分）
已知 其中 为自然对数的底数，
（1）求 的单调区间；
（2）若存在实数 ，使 能成立，求正数 的取值范围．
嵩明高三年级期中数学试卷·第 6 页 （共 6 页）
{#{QQABZYSAggggABBAAQgCAwFwCAKQkBCAACoGhFAMoAABwQFABAA=}#}单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C B A D A B
1.C
【分析】根据集合并集的定义作答即可
【详解】
故选：C
2.D
【分析】根据复数的除法运算求得复数z，再根据共轭复数的概念即可求得答案.
【详解】由题意得，，故，
故选：D
3.C
【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．
【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，
故选：C．
4.
解：根据题意，等差数列中，
若，则有，即，
变形可得：．
故选：．
5.：A
【详解】解：由题意可得，，则直线.利用点到直线距离公式和弦长公式便可求出
6.D
【分析】利用诱导公式以及余弦的二倍角公式即可求出结果.
【详解】
故选：D.
7.A
【分析】求导得到在上恒成立，即，设，计算值域得到答案.
【详解】，在上恒成立，
即，设，，故，故.
故选：A
8．【答案】B
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：B
多选题
9 10 11 12
BD BC AC ACD
9.
解：根据题意，
对于甲，其平均数，方差，则标准差为，
对于乙，其平均数，方差，则标准差为，
故，，
故选：．
10．BC
【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论.
【详解】法一：如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为，
联立得，解得：.
由，得，故错误；
由于，则，故B正确；
同理，故C正确；
因为直线的方程为，原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
法二：由倾角式焦半径公式和面积公式可知，
，其中，故A错误；
，故B C正确；
，故D错误.
答案为：BC
AC
【详解】对于A项，因为，所以，所以3是函数的一个周期，故A正确；
对于B项，因为，为奇函数，所以，
所以，点是函数图象的对称中心，故B错误；
对于C项，因为，为奇函数，所以，
所以.
又因为，所以
12.
【分析】
本题考查线面平行的判断，棱锥、棱柱的结构特征，以及棱锥外接球表面积问题，考查空间想象能力，属于较难题．
根据题意结合选项逐一分析即可得到答案．
【解答】
解：根据题意作图，如图，并将其补成正方体，如图，对于，因为，平面，平面，所以平面，故A正确．
对于，由题意可得三棱锥的外接球与正方体外接球相同，
则外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
对于，将面，翻折至与平行，此时点与重合，所以的最小值为，且，故C正确；
对于，判断以为直径的球与的交点情况，如图，取中点，当为中点时，则，，所以以为直径的球与没有交点，所以，故D正确．
故选：．
填空题
2x+y-1=0
【分析】
本题主要考查求曲线上一点的切线方程，考查计算能力，属于基础题．
求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程．
【解答】
解： ，所以 ，所以由点斜式可得切线方程为 ，即 ，
故答案为：
【分析】
140
【分析】
本题考查组合问题，两个计数原理的综合应用，属于基础题．
由分步乘法计数原理，加法计数原理即可求解．
【解答】
解：分三类：
不选既会韩语又会日语的人，有种；
既会韩语又会日语的人选去说韩语，有种；
既会韩语又会日语的人选去说日语，有种，
故共有种．
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的垂直平分线的求法，考查计算能力，属于中档题．
设直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得丨丨，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：设直线的方程为：，
，，线段的中点
联立，化为，
，．
，
，，
的垂直平分线的方程为：，
令，解得，
．
，
则，
椭圆的离心率为．
四、解答题
17.【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
18.【分析】（1）利用，代入等式，变形后即可得证；
（2）由（1）可得，借助即可求出数列的通项公式，由此即可得出，利用裂项相消，即可求出，即可得证.
【详解】（1）因为
当时，，
又，
所以，即，即，
所以数列为以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
当时，，
当时，不满足上式，
所以，
所以
所以数列的前n项和
19.【分析】（1）连接，进而根据题意证明平面，进而证明结论；
（2）过点作的垂线，交于，则为点到平面的距离，进而根据几何关系得，再以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）证明：如图，连接.
∵四边形是正方形，∴.
∵平面，又平面，
∴.
又，
∴平面.
又平面，
∴.
（2）解：如图，连接，
∵，且，∴四边形是平行四边形.
∴.又由（1）可知平面，
∴平面.
∴平面平面.
过点作的垂线，交于，则为点到平面的距离.
设，则，，
根据等积思想得，解得.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，，，得，，
∵，∴，
不妨令，则，，
∴平面的一个法向量为.
∴.
设平面与平面所成的角为，则.
由图可知，为锐角.∴.
故平面与平面所成的角为.
20.(分析)本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，属于中档题．
利用二项分布得出和的分布列，继而求出期望即可；
设点向右移动次，向左移动次的概率为，则，继而求作比求解即可．
解：由题意可知可能的取值为：，，，，，
则，
，
，
，
的分布列
设点向右移动次，向左移动次的概率为，则，
当时，，随的值的增加而增加，
当时，，随的值的增加而减小，
所以当时，最大，此时点所在的位置对应的实数应为．
21.【分析】（1）略
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
（分析）对求导，然后分和两种情况求的单调区间；
存在实数，使能成立只需，然后构造函数，求出的最大值即可
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和转化法.
解：的定义域是，则
，
当时，，在单调递减；
时，令，解得：，
令，解得：，
故在单调递增，在递减；
当时，在恒成立，不合题意；
当时，由Ⅰ知，，
若在上存在实数，使能成立，
则，
即．
令，则，
当时，，当时，．
在上为减函数，在上为增函数，
而当时，，，．
实数的取值范围是．
