数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1双曲线及其标准方程 课件（共25张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1双曲线及其标准方程 课件（共25张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-28 10:59:29 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
3.2.1 双曲线及其标准方程
情境引入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
知识回顾
问题1 椭圆的定义是什么
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆
问题2 椭圆的标准方程是什么
焦点在轴上
焦点在轴上
问题2：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
新知探究
下面先用信息技术探究一下
如图，在直线上取两定点及动点．在平面内取定点，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆.
椭圆
如果，则两圆相交，交点的轨迹是椭圆；
如果，两圆不相交，不存在交点轨迹.
问题3 如图，，点在线段外运动，动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？
双曲线
点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
当点靠近定点时，；
当点靠近定点时，
点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数
().
问题4：如何用数学语言描述双曲线的定义？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
追问：定义中有哪些关键词？
思考1：去掉“绝对值”，动点的轨迹是什么？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
：表示靠近的一支．
：表示靠近的一支．
没有绝对值只能表示双曲线的一支
思考2：如果“常数为”，动点的轨迹是什么？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
点轨迹为中垂线.
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
思考3：如果，那么动点的轨迹是什么？
表示以为端点的两条射线．
如果，动点的轨迹又是什么？
轨迹不存在
问题4 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
对称性，直线是它的一条对称轴
建系
化简
列式
设点
以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系.
l
由双曲线的定义得
类比椭圆标准方程的化简过程，化简得
两边同时除以，得
由双曲线定义知，，即，所以.
令，其中，代入上式，
得.
焦点在轴上
双曲线的标准方程
焦点分别是，
思考： 大小关系如何？
思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？
l
焦点，的坐标分别是，
的意义同上，这个方程也是双曲线的标准方程.
焦点在轴上：
焦点在轴上：
（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；
双曲线的标准方程的特点：
（2）系数为正的项的分母是 ，系数为负的项的分母是
与哪一个系数为正，焦点就在哪一个轴上
概念辨析
辨析1.判断正误.
(1)在双曲线标准方程中，，，且.( )
(2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( )
(3)方程表示双曲线.( )
×
×
√
C
辨析2. 若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ).
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
练习 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值
（1）焦点坐标为，. 距离之差的绝对值为
（2）焦点坐标为，
（3）焦点坐标为，
双曲线与椭圆的区别与联系
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系 椭 圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
F（±c，0）
F（0，±c）
F（±c，0）
F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
例题精讲
例1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
l
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
.
由得又，
因此
所以，双曲线的标准方程为.
例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
l
解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为，
则，即.
又，所以，，.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此
例题精讲
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与例比较，你有什么发现？
化简整理，得
因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外).
解：设则，.
由题意知，即
规律总结：若一个动点与两个定点连线的斜率之积为一个常数.
当时，轨迹为双曲线(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为椭圆(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为圆(除两点外)，方程为.
3．已知方程表示双曲线，求的取值范围.
课堂练习
4. 双曲线的两个焦点分别是与焦距为8；是双曲线上的一点，且，求的值.
双曲线的定义
课堂小结
图像
标准方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
情境引入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
知识回顾
问题1 椭圆的定义是什么
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆
问题2 椭圆的标准方程是什么
焦点在轴上
焦点在轴上
问题2：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
新知探究
下面先用信息技术探究一下
如图，在直线上取两定点及动点．在平面内取定点，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆.
椭圆
如果，则两圆相交，交点的轨迹是椭圆；
如果，两圆不相交，不存在交点轨迹.
问题3 如图，，点在线段外运动，动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？
双曲线
点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
当点靠近定点时，；
当点靠近定点时，
点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数
().
问题4：如何用数学语言描述双曲线的定义？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
追问：定义中有哪些关键词？
思考1：去掉“绝对值”，动点的轨迹是什么？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
：表示靠近的一支．
：表示靠近的一支．
没有绝对值只能表示双曲线的一支
思考2：如果“常数为”，动点的轨迹是什么？
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
点轨迹为中垂线.
把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线
思考3：如果，那么动点的轨迹是什么？
表示以为端点的两条射线．
如果，动点的轨迹又是什么？
轨迹不存在
问题4 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
对称性，直线是它的一条对称轴
建系
化简
列式
设点
以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系.
l
由双曲线的定义得
类比椭圆标准方程的化简过程，化简得
两边同时除以，得
由双曲线定义知，，即，所以.
令，其中，代入上式，
得.
焦点在轴上
双曲线的标准方程
焦点分别是，
思考： 大小关系如何？
思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？
l
焦点，的坐标分别是，
的意义同上，这个方程也是双曲线的标准方程.
焦点在轴上：
焦点在轴上：
（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；
双曲线的标准方程的特点：
（2）系数为正的项的分母是 ，系数为负的项的分母是
与哪一个系数为正，焦点就在哪一个轴上
概念辨析
辨析1.判断正误.
(1)在双曲线标准方程中，，，且.( )
(2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( )
(3)方程表示双曲线.( )
×
×
√
C
辨析2. 若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ).
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
练习 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值
（1）焦点坐标为，. 距离之差的绝对值为
（2）焦点坐标为，
（3）焦点坐标为，
双曲线与椭圆的区别与联系
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系 椭 圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
F（±c，0）
F（0，±c）
F（±c，0）
F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
例题精讲
例1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
l
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
.
由得又，
因此
所以，双曲线的标准方程为.
例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
l
解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为，
则，即.
又，所以，，.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此
例题精讲
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与例比较，你有什么发现？
化简整理，得
因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外).
解：设则，.
由题意知，即
规律总结：若一个动点与两个定点连线的斜率之积为一个常数.
当时，轨迹为双曲线(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为椭圆(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为圆(除两点外)，方程为.
3．已知方程表示双曲线，求的取值范围.
课堂练习
4. 双曲线的两个焦点分别是与焦距为8；是双曲线上的一点，且，求的值.
双曲线的定义
课堂小结
图像
标准方程