5.7 三角函数的应用一课一练（含解析）

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5.7 三角函数的应用一课一练
一、单选题
1．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（　　）
A．50m B．55.5m C．57.4m D．60m
2．若函数的图像关于直线对称，那么a=(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（　　）
A．akm B． akm C． akm D．2akm
4．从出生之日起，人的体力 情绪 智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲线)：
体力 情绪 智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周期内的表现如下表所示：
　 高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（　　）
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
5．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（　　）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
6．某港口某天0时至24时的水深 （米）随时间 （时）变化曲线近似满足如下函数模型 （ ）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（　　）
A．16时 B．17时 C．18时 D．19时
7．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（　　）
A． B．3 C． D．
二、多选题
8．某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（　　）
A．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米
B．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米
C．方案二中整个工程造价最低为万元
D．两个方案中整个工程造价最高为万元
9．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
三、填空题
10．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（ ， ），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是　 　．
11．在平面直角坐标系xOy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的倍得到，我们把这个过程称为对点P进行一次变换得到点，例如对点进行一次变换得到点．若对点进行一次变换得到点，则的坐标为　 　；若对点进行一次变换得到点，对点再进行一次变换得到点，则的坐标为　 　．
12．已知直线 与函数 的图像恰有四个公共点 , , , ,其中 ,则 　 　．
四、解答题
13．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
14．某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中 对应凌晨0点）的函数 近似满足 ,如图是函数 的部分图象．
（1）求 的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）的关系可用线性函数模型 模拟，当供电量 小于企业用电量 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 在中午11点到12点之间，用二分法估算 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直角三角形的结构特征和正弦函数的定义，进而得出滕王阁的高度。
2．【答案】D
【解析】【解答】因为对称轴的特点就是在该点处函数值为最值，那么因为
函数，所以说明了,或者利用函数在时取得最值为，这样做也行，故选D。
【分析】根据已知中三角函数的一条对称轴，那么可知在该点的函数值为最值，代入得到关于a的关系式来求解得到，属于基础题。可以运用特例法来得到参数的值，更快。
3．【答案】B
【解析】解答：由图可知，∠ACB=120°，
由余弦定理
cos∠ACB=
= =﹣ ，
则AB= a（km）．
故选B．
分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由图中数据可知体力的周期为 ，情绪的周期为 ，智力的周期为 .
从同学甲出生到今日的天数为5850，
故对于体力，有 ，处于高潮期，体力充沛；
对于情绪，有 ，处于低潮期，心情烦躁；
对于智力，有 ，处于高潮期，思维敏捷；
故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷.
故答案为：A
【分析】 根据题意，由图象分析体力、情绪、智力的周期，由此分析同学甲的状态，即可得答案.
5．【答案】D
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知， 时， ，
由五点法作图可知：如果当 时，函数取得最小值可得： ，可得 ，
此时函数 ，函数的周期为： ，
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，
如果当 时，函数取得最小值可得： ，可得 ，
此时函数 ，函数的周期为： ，
时， ，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，
故答案为：D．
【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】设点P距离地面高度h与时间t的函数解析式为，
由题意，得，，，
所以，
又因为，所以，
所以，
令，即，
故，即在摩天轮转动的一圈内，
有分钟会有这种最佳视觉效果。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出函数的解析式为，令，从而解不等式组求出t的取值范围，进而得出在摩天轮转动的一圈内具有最佳视觉效果的时间长度。
8．【答案】A,B
【解析】【解答】方案一中令，则停车区域面积，扇形花坛区域面积，设工程造价为，则；方案二中令，则停车区域面积．令，．∴，∴，所以A，B符合题意；扇形花坛区域面积，设工程造价为，则，，所以C，D不符合题意.
故答案为：AB．
【分析】方案一中令，用t表示停车区域面积；方案二中令，表示停车区域面积，，即，即可判断AB，再分别表示总的造价，即可判断CD.
9．【答案】C,D
【解析】【解答】由题意知，OQ在分钟转过的角为，
所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，A不符合题意；
由，得，所以不是对称中心，B不符合题意；
经过10分钟，，C符合题意；
由，得，得，解得，共20分钟，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】利用已知条件得出点Q距离水平地面的高度与时间的余弦型函数，再利用余弦型函数的图象求出点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标，再利用代入法得出经过10分钟点Q距离地面35米，再结合已知条件得出，从而结合余弦函数的图象得出实数t的取值范围，进而得出摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）
【解析】【解答】t=0时，点A的坐标是 （ ， ），
∴点A的初始角为30°，
当点A转过的角度在[0°，60°]或[240°，360°]时，
动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，
∵12秒旋转一周，
∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，240°÷30=8，
则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，2]，[8，12]
故答案为：[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）．
【分析】点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间
11．【答案】；
【解析】【解答】解：点，与轴的夹角且．
进行一次变换，即将线段绕原点O按逆时针方向旋转，再将的长度伸长为原来的倍得到点即坐标为．
因为对点进行一次换后得到点
所以，，所以，
所以，
设与轴的正方向的夹角为，则 并且
根据，
因为，所以，所以
，，
所以，所以的坐标为.
故答案为：；
【分析】由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角，再将的长度伸长为原来的倍，得到，可得的坐标；计算出，，求得，从而得，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，可求得的坐标.
12．【答案】-2
【解析】【解答】由题,直线 恒过 ,则画出图像如图所示,
因为直线 与函数 的图像恰有四个公共点,则 是切点,即 与 相切,且 ,则 ,所以 ,
因为 ,所以 ,则 ,
所以
故答案为：-2
【分析】因为直线 恒过 ,画出图像,可知符合条件时,点 为切点,此时 ,则 ,进而求得 的值
13．【答案】（1）解：因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）解：由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到 ，；
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为2，即可得到.
14．【答案】（1）解：由图象可知A= = ，B= =2，T=12= ，ω= ， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ= ；
综上，A= ，B=2，ω= ，φ= ，
即f（t）= sin（ t+ ）+2.
（2）解：由（1）知f（t）= sin（ t+ ）+2= cos t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）= cos +2+2×11-25= -1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）= cos +2+2×12-25= ＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）= cos +2+2×11.5-25= cos（- ）= cos = ＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）= cos +2+2×11.25-25＜ ×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
【解析】【分析】（1）由已知利用函数 的部分图象，得到A，B，T，ω 的值，即可求出 的解析式；
（2） 由已知和（1）知，函数f（t）= cos t+2， 令h（t）=f（t）-g（t）， 利用函数的单调性，即可求出企业开始停产的临界时间t0所在的区间.
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