第十七章勾股定理导学案
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文档简介
17.1勾股定理 导学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程
2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用
【重点难点】
重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法
难点：勾股定理的证明
知识概览图
勾股定理
新课导引
如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？
根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB=17米，AC=5米，
∠ACB=90°，如何求这个三角形的BC边的长呢？
教材精华
知识点1 有关勾股定理的历史
古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.
知识点2 勾股定理的探索
让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.
观察图18-1，正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即C的面积是18个单位面积.可以发现，C的面积=A的面积+B的面积.
知识点3 勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.
（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范.
（3）勾股定理的证明.
证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：
证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b，所以面积为，而中间小正方形的面积为c2,周围四个直角三角形面积和为4×，故有+4×，整理得.
证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.
故有+4×=c2+4×，整理得.
证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的.
∵S梯形，S梯形×2+=ab+,
∴，整理得.
证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.
∵以c为边的大正方形面积是c2，而4个直角三角形的面积和为4×，且中间的小正方形的面积是.
∴c2=4×+（b-a）2,整理得.
知识点4 勾股定理的应用
（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.
（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由可以得到如下关系：
①；②；③；④；⑤.
课堂检测
基础知识应用题
1、在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=5，b=12，求c；
（2）若c=26，b=24，求a.
2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高
综合应用题
3、如图18-10所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC的长.
4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.
探索创新题
5、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a,b,c，设△ABC的面积为S，周长为l.
请你完成下面的表格；
a,b,c a+b-c
3,4,5
5,12,13
8,15,17
（2）仔细观察上表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么= （用含m的代数式表示）；
（3）请说明你写的猜想的推理过程.
体验中考
1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 （ ）
A．13 B．26
C．47 D．94
2、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25
C．10+5 D．35
学后反思
【解题方法小结】
（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形.
（2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.
（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析 利用勾股定理来求未知边长.
【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.
解：在△ABC中，∠C=90°，所以.
（1）因为，a=5,b=12，
所以，所以c=13.
（2）因为，c=36,b=24，
所以.所以a=10.
2、解析 如图18-9所示,设A为树根,D为树顶,B为猴子所在处,则AB=10 m,C为池塘,设BD=x m,已知两只猴子走过的路程相等,即DB+CD=AB+AC,就可以应用勾股定理求出CD,继而求出树高AD.
解:如图18-9所示,B为猴子初始位置,则AB=10 m,C为池塘,则AC=20 m.
设BD=x m,则树高AD=(10+x)m.
∵BD+CD=AB+AC,∴x+CD=20+10.
∴CD=(30-x)m.
在Rt△ACD中,∠A=90°,由勾股定理得,
∴202+（10+x）2=(30-x) 2,∴x=5.
∴树高AD=10+5=15(m).
3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知∠A=60°，因此作AB边上的高或AC边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
所以∠ADC=90°.
因为∠A=60°，所以∠ACD=30°.
所以AD=AC=×24=12（cm）.
又因为AB=15 cm,
所以BD=AB-AD=15-12=3（cm）.
在Rt△ADC中，.
在Rt△BCD中，.
所以BC==21（cm）.
4、解析 若最省钱只需AO+BO最小，可将A，O，B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于O，则水厂建在O点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.
解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于点O，则O点就是水厂的位置.
过A′作A′H∥CD交BD延长线于H，
∴△A′HB为直角三角形.
在Rt△A′HB中，A′H=CD=3，
BH=BD+DH=BD+A′C=BD+AC=1+3=4，
由勾股定理得A′B==5，
∴总费用为2000×5=10000（元）.
5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填，1，.
（2）
（3）推理过程如下：
因为，
所以
=.
又因为S=，所以，即.
体验中考
1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E的面积为（32+52）+（22+32）=47.
2、B 解析 空间为AB==5，而此题蚂蚁是在长方体表面爬行，因此不能选A.
17.2 勾股定理的逆定理
知识精点
1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式，则这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形．
3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．
重、难、疑点
重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直．
难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．
疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．
典例精讲
例1 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？
方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断．
解：∵，
，
∴为三角形的最大边．
又∵，
，
∴．
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．
方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．
举一反三 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？
解：∵m>n>0，
∴．
∴为三角形的最大边，
又∵，
，
∴．
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．
例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且．求证：△AEF是直角三角形．
方法指导：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可．
解：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，，．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
同理在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
．
∴．
∴△AEF是直角三角形．
方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
举一反三 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB的度数．
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，．
在△ADC中，，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°．
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．
例3 如图，△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，求△DEF的面积．
方法指导：利用勾股定理的逆定理解题．
解：∵EF=30cm，∴，
∵，，
，
∴．
∴△DGE是直角三角形，即DG⊥EF，
∴．
方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．
举一反三 已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD的面积．
解：延长AD、BC交于点E．
在Rt△ABE中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10，
∴AE=20．
由勾股定理可得：
，
∴．
在Rt△CDE中，
∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，
∴．
∴．
∴四边形ABCD的面积为：．
例4 已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断△ABC的形状．
方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．
解：∵，
∴．
∴．
∴或．
当时，有．
由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；
当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形．
综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
方法总结：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．
举一反三 若△ABC的三边满足条件，试判断△ABC的形状．
解：∵，
∴．
∴．
∴a=5，b=12，c=13．
∴，∴△ABC是直角三角形．
例5 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
解：∵在Rt△BCD中，BC=4，CD=3，
∴由勾股定理得：
，
即BD=5．
在△ABD中，∵BD=5，AB=13，AD=12，
∴，
由勾股定理逆定理知：△ABD是直角三角形，
且∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．
举一反三 如图，在△ABC中，AD⊥BD，垂足为D，AB=25，CD=18，BD=7，求AC．
解：在Rt△ADB中，AB=25，BD=7，
由勾股定理得：．
∴AD=24．
在Rt△ADC中，∵AD=24，CD=18，
∴．
例6 如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：．
方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．
解：过点A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∴BE=EC．
又∵AE⊥BC，∴，
．
∴
．
∴.
方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．
举一反三 如图所示，DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求．
知识网络
学法点津
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
同步练习一
1．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．
2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．
3．在△ABC中，a=2，b=5，则当时，∠C=90°．
4．如果一个三角形的三条边长分别是a，b，c，当时，那么这个三角形是__________三角形．
5．已知△ABC中，AB=k，AC=2k—1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°．
6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m、n是正整数，m（1）用含n，m的代数式表示前两个勾股数是__________、__________．
（2）如a，b，c是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．
7．如果线段a，b，c能组成一个直角三角形，那么（ ）
A．也能组成一个直角三角形
B．只能组成一个锐角三角形
C．不能组成三角形
D．无法确定
8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．2cm，1.5cm，2.5cm
C．7cm，8cm，10cm D．
9．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ）
A．1：1：2 B．1：3：4 C．9：25：26 D．25：144：169
10．下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
11．三角形的三边长为a，b，c，且满足等式，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）；（4）．其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
（1）；（2）a=b，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．
14．一个三角形三边的长分别是15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是（ ）
A．12cm B．10cm C． D．
15．如图18.2-4，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
16．已知：如图18.2-5，在△ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC边上的高AD．
17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min，第二组的速度是40m/in，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
18．如图18．2-6，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F分别在AB，BC上，且BE=BF=1．问△EFD是否是直角三角形？并说明理由．
19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：
如图18.2-7，在△ABC中，CD⊥AB于D，且，∠A，∠B都是锐角．在Rt△ABC中，．所以，即，．如果在Rt△BDC中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC是什么形状的三角形？
同步练习二
1．如图，长方形ABCD的长AB=12，宽CB=10，E是BC的中点．那么AE=_________．
2．如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长是3，那么，．
3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．
4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．
5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．
6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．
8．△ABC中，AB=m—5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．
9．△ABC中，三边a，b，c满足，那么△ABC是_________三角形．
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3cm，AB=4cm，BC=5cm，CD=6cm．
（1）连接BD，判别△CBD的形状．
（2）求四边形ABCD的面积．
11．（1）如图（1），一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙根C距离为1.5m，梯子滑动手停在DE的位置上，如图（2）所示，测得BD的长为0.5m，问梯子顶端A下落的距离是否也为0.5m？为什么？
（2）如图（3）梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离是2m，梯子顶端B到地面的距离是7m．现将梯子的底端A向左移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′；①等于1m；②大于1m；③小于1m．其中正确结论的序号是__________．
参 考 答 案
同步练习一
1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 ，即，则，解得k=2．5． 6．（1）因为，而，，所以．（2）20，21，29 7．A 设c为斜边，则，两边同乘以，得，即 8．B 要注意D中的，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A 15．连接AC，则AC=5，可证△ACD为直角三角形． 16． 17．（1）第一组行走，第二组行走．因为，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin相遇，则（30+40）x=1500，故．
18．是．在Rt△AED中．同理求得。所以，所以△EFD是直角三角形。
19．，进而
，所以△ABC为一个直角三角形．
同步练习二
1．13 2．18，27 3．10 4．垂直；略 5．49 6．B 设CD=x则DE=x，因为AE=AC=6，所以BE=10—6=4．因为CD=x，所以BD=8—x．在Rt△BDE中，，即．解得x=3cm． 7．16 在Rt△IAH中，∠IAH=45°，所以∠AIJ=45°，所以AJ：IJ=1，同理JH=1，所以AH=2，AF=4，AO=8，DO=8，∴DB=16．
8．15 由勾股定理知，即，解得m=15．
9．直角．把化简，得，即．所以△ABC为直角三角形．
10．（1）△CBD是等腰三角形，可求出BD=5，所以BC=BD，即△BCD为等腰三角形．（2）18 把四边形ABCD分为△ABD，△CBD的面积之和，△ABD的面积为．在求△BCD的面积时作高BE，求得BE=4，，所以四边形ABCD的面积为．
11．（1）梯子顶端A下落的距离是0．5m，在Rt△CDE中，，即，所以．∵，∴AC=2．∴AE=AC—CE=0．5（m） （2）③解法同上，先求出，即，然后求出．估算，故．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
公式（c为斜边长）
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程
2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用
【重点难点】
重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法
难点：勾股定理的证明
知识概览图
勾股定理
新课导引
如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？
根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB=17米，AC=5米，
∠ACB=90°，如何求这个三角形的BC边的长呢？
教材精华
知识点1 有关勾股定理的历史
古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.
知识点2 勾股定理的探索
让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.
观察图18-1，正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即C的面积是18个单位面积.可以发现，C的面积=A的面积+B的面积.
知识点3 勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.
（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范.
（3）勾股定理的证明.
证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：
证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b，所以面积为，而中间小正方形的面积为c2,周围四个直角三角形面积和为4×，故有+4×，整理得.
证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.
故有+4×=c2+4×，整理得.
证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的.
∵S梯形，S梯形×2+=ab+,
∴，整理得.
证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.
∵以c为边的大正方形面积是c2，而4个直角三角形的面积和为4×，且中间的小正方形的面积是.
∴c2=4×+（b-a）2,整理得.
知识点4 勾股定理的应用
（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.
（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由可以得到如下关系：
①；②；③；④；⑤.
课堂检测
基础知识应用题
1、在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=5，b=12，求c；
（2）若c=26，b=24，求a.
2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高
综合应用题
3、如图18-10所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC的长.
4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.
探索创新题
5、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a,b,c，设△ABC的面积为S，周长为l.
请你完成下面的表格；
a,b,c a+b-c
3,4,5
5,12,13
8,15,17
（2）仔细观察上表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么= （用含m的代数式表示）；
（3）请说明你写的猜想的推理过程.
体验中考
1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 （ ）
A．13 B．26
C．47 D．94
2、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25
C．10+5 D．35
学后反思
【解题方法小结】
（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形.
（2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.
（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析 利用勾股定理来求未知边长.
【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.
解：在△ABC中，∠C=90°，所以.
（1）因为，a=5,b=12，
所以，所以c=13.
（2）因为，c=36,b=24，
所以.所以a=10.
2、解析 如图18-9所示,设A为树根,D为树顶,B为猴子所在处,则AB=10 m,C为池塘,设BD=x m,已知两只猴子走过的路程相等,即DB+CD=AB+AC,就可以应用勾股定理求出CD,继而求出树高AD.
解:如图18-9所示,B为猴子初始位置,则AB=10 m,C为池塘,则AC=20 m.
设BD=x m,则树高AD=(10+x)m.
∵BD+CD=AB+AC,∴x+CD=20+10.
∴CD=(30-x)m.
在Rt△ACD中,∠A=90°,由勾股定理得,
∴202+（10+x）2=(30-x) 2,∴x=5.
∴树高AD=10+5=15(m).
3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知∠A=60°，因此作AB边上的高或AC边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
所以∠ADC=90°.
因为∠A=60°，所以∠ACD=30°.
所以AD=AC=×24=12（cm）.
又因为AB=15 cm,
所以BD=AB-AD=15-12=3（cm）.
在Rt△ADC中，.
在Rt△BCD中，.
所以BC==21（cm）.
4、解析 若最省钱只需AO+BO最小，可将A，O，B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于O，则水厂建在O点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.
解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于点O，则O点就是水厂的位置.
过A′作A′H∥CD交BD延长线于H，
∴△A′HB为直角三角形.
在Rt△A′HB中，A′H=CD=3，
BH=BD+DH=BD+A′C=BD+AC=1+3=4，
由勾股定理得A′B==5，
∴总费用为2000×5=10000（元）.
5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填，1，.
（2）
（3）推理过程如下：
因为，
所以
=.
又因为S=，所以，即.
体验中考
1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E的面积为（32+52）+（22+32）=47.
2、B 解析 空间为AB==5，而此题蚂蚁是在长方体表面爬行，因此不能选A.
17.2 勾股定理的逆定理
知识精点
1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式，则这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形．
3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．
重、难、疑点
重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直．
难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．
疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．
典例精讲
例1 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？
方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断．
解：∵，
，
∴为三角形的最大边．
又∵，
，
∴．
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．
方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．
举一反三 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？
解：∵m>n>0，
∴．
∴为三角形的最大边，
又∵，
，
∴．
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．
例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且．求证：△AEF是直角三角形．
方法指导：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可．
解：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，，．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
同理在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
．
∴．
∴△AEF是直角三角形．
方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
举一反三 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB的度数．
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，．
在△ADC中，，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°．
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．
例3 如图，△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，求△DEF的面积．
方法指导：利用勾股定理的逆定理解题．
解：∵EF=30cm，∴，
∵，，
，
∴．
∴△DGE是直角三角形，即DG⊥EF，
∴．
方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．
举一反三 已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD的面积．
解：延长AD、BC交于点E．
在Rt△ABE中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10，
∴AE=20．
由勾股定理可得：
，
∴．
在Rt△CDE中，
∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，
∴．
∴．
∴四边形ABCD的面积为：．
例4 已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断△ABC的形状．
方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．
解：∵，
∴．
∴．
∴或．
当时，有．
由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；
当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形．
综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
方法总结：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．
举一反三 若△ABC的三边满足条件，试判断△ABC的形状．
解：∵，
∴．
∴．
∴a=5，b=12，c=13．
∴，∴△ABC是直角三角形．
例5 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
解：∵在Rt△BCD中，BC=4，CD=3，
∴由勾股定理得：
，
即BD=5．
在△ABD中，∵BD=5，AB=13，AD=12，
∴，
由勾股定理逆定理知：△ABD是直角三角形，
且∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．
举一反三 如图，在△ABC中，AD⊥BD，垂足为D，AB=25，CD=18，BD=7，求AC．
解：在Rt△ADB中，AB=25，BD=7，
由勾股定理得：．
∴AD=24．
在Rt△ADC中，∵AD=24，CD=18，
∴．
例6 如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：．
方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．
解：过点A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∴BE=EC．
又∵AE⊥BC，∴，
．
∴
．
∴.
方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．
举一反三 如图所示，DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求．
知识网络
学法点津
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
同步练习一
1．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．
2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．
3．在△ABC中，a=2，b=5，则当时，∠C=90°．
4．如果一个三角形的三条边长分别是a，b，c，当时，那么这个三角形是__________三角形．
5．已知△ABC中，AB=k，AC=2k—1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°．
6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m、n是正整数，m
（2）如a，b，c是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．
7．如果线段a，b，c能组成一个直角三角形，那么（ ）
A．也能组成一个直角三角形
B．只能组成一个锐角三角形
C．不能组成三角形
D．无法确定
8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．2cm，1.5cm，2.5cm
C．7cm，8cm，10cm D．
9．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ）
A．1：1：2 B．1：3：4 C．9：25：26 D．25：144：169
10．下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
11．三角形的三边长为a，b，c，且满足等式，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）；（4）．其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
（1）；（2）a=b，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．
14．一个三角形三边的长分别是15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是（ ）
A．12cm B．10cm C． D．
15．如图18.2-4，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
16．已知：如图18.2-5，在△ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC边上的高AD．
17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min，第二组的速度是40m/in，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
18．如图18．2-6，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F分别在AB，BC上，且BE=BF=1．问△EFD是否是直角三角形？并说明理由．
19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：
如图18.2-7，在△ABC中，CD⊥AB于D，且，∠A，∠B都是锐角．在Rt△ABC中，．所以，即，．如果在Rt△BDC中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC是什么形状的三角形？
同步练习二
1．如图，长方形ABCD的长AB=12，宽CB=10，E是BC的中点．那么AE=_________．
2．如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长是3，那么，．
3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．
4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．
5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．
6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．
8．△ABC中，AB=m—5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．
9．△ABC中，三边a，b，c满足，那么△ABC是_________三角形．
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3cm，AB=4cm，BC=5cm，CD=6cm．
（1）连接BD，判别△CBD的形状．
（2）求四边形ABCD的面积．
11．（1）如图（1），一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙根C距离为1.5m，梯子滑动手停在DE的位置上，如图（2）所示，测得BD的长为0.5m，问梯子顶端A下落的距离是否也为0.5m？为什么？
（2）如图（3）梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离是2m，梯子顶端B到地面的距离是7m．现将梯子的底端A向左移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′；①等于1m；②大于1m；③小于1m．其中正确结论的序号是__________．
参 考 答 案
同步练习一
1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 ，即，则，解得k=2．5． 6．（1）因为，而，，所以．（2）20，21，29 7．A 设c为斜边，则，两边同乘以，得，即 8．B 要注意D中的，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A 15．连接AC，则AC=5，可证△ACD为直角三角形． 16． 17．（1）第一组行走，第二组行走．因为，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin相遇，则（30+40）x=1500，故．
18．是．在Rt△AED中．同理求得。所以，所以△EFD是直角三角形。
19．，进而
，所以△ABC为一个直角三角形．
同步练习二
1．13 2．18，27 3．10 4．垂直；略 5．49 6．B 设CD=x则DE=x，因为AE=AC=6，所以BE=10—6=4．因为CD=x，所以BD=8—x．在Rt△BDE中，，即．解得x=3cm． 7．16 在Rt△IAH中，∠IAH=45°，所以∠AIJ=45°，所以AJ：IJ=1，同理JH=1，所以AH=2，AF=4，AO=8，DO=8，∴DB=16．
8．15 由勾股定理知，即，解得m=15．
9．直角．把化简，得，即．所以△ABC为直角三角形．
10．（1）△CBD是等腰三角形，可求出BD=5，所以BC=BD，即△BCD为等腰三角形．（2）18 把四边形ABCD分为△ABD，△CBD的面积之和，△ABD的面积为．在求△BCD的面积时作高BE，求得BE=4，，所以四边形ABCD的面积为．
11．（1）梯子顶端A下落的距离是0．5m，在Rt△CDE中，，即，所以．∵，∴AC=2．∴AE=AC—CE=0．5（m） （2）③解法同上，先求出，即，然后求出．估算，故．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
公式（c为斜边长）