第十六章二次根式导学案
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文档简介
16.1 二次根式
学习目标、重点、难点
【学习目标】
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.
【重点难点】
二次根式的性质.
能确定二次根式中字母的取值范围.
知识概览图
（）2=a（a≥0）
新课导引
如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r= ，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少
【问题探究】 因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值．怎么求的值呢
【解析】因为16002＝2560000，所以＝1600．
所以r ≈=1600(km)
教材精华
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”．如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，，，等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以是二次根式．而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
(3)“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如就不是二次根式，因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+1≥0，即x≥时，二次根式才有意义. 再如，对于式子来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.
拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.
知识点3 二次根式的性质
二次根式的双重非负性: ≥0，a≥0，因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知≥0，如，等都是非负数.
（)2=a（a≥0）. 由于（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（)2=a，例如：（)2=3，（)2=6，（)2=1.5.
拓展 （1）（)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.
（2）把（)2=a（a≥0）逆用，写成a=（)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（)2，所以x2-2=x2-（)2=（x+）（x-）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：
（3)2=32×（)2=9×2=18. （)2=（)2×（)2=×6=等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.
知识点4 的化简
由于 表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数. 而当有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如. 如果中a的符号不确定，那么要讨论. 即=
拓展 （)2与的区别与联系，如下表所示：
（)2
字母a的取值范围不同 被开方数a的取值范围为a≥0，即a是一个非负数，且（)2=a. 例如：，，无意义 被开方数a2中的a可取一切实数，也就是说，a既可以是正数，也可以是负数，还可以是零. =例如当a=3时，，当a=-3时
意义不同 （)2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方. 例如表示5的算术平方根的平方，结果等于5 表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根，结果等于3
形式不同 （a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身 ，其结果有两种形式，与a的取值有关，当a≥0时，，当a＜0时，
联系 （a≥0）是一个非负数 ≥0是一个非负数
当a≥0时，
知识点5 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，(t≠0)，x3，，等都是代数式.
拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.
课堂检测
基本概念题
1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）
基础知识应用题
2、当x取何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）.
3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简.
综合应用题
4、（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是 cm2;
（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r）.
探索创新题
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值
甲同学的做法是：
原式＝
乙同学的做法是：
原式＝
谁的做法是正确的？说明理由.
体验中考
1、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1
C. x≠2 D. x≥1且x≠2
2、若x，y为实数，且，则（x＋y）2010的值为 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.
解：（1）∵-3＜0，∴不是二次根式.
（2）∵(-3)2＞0，∴是二次根式.
（3）∵(-3)3=-27＜0，∴不是二次根式.
（4）∵的根指数3，∴不是二次根式.
（5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.
①当x≤0时，是二次根式；
②当x＞0时，不是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（6）∵的根指是4，∴不是二次根式.
（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴不是二次根式.
（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，
∴当x≠-3时，是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2＜0，不是二次根式.
综上，不一定是二次根式.
（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴是二次根式.
【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.
2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.
解：（1）欲使有意义，则必有.
∴当x=0时，有意义.
（2）欲使有意义，则必有，且x≠-2.
∴当x≤0，且x≠-2时，有意义.
（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x取何实数，都有意义.
（4）欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.
∴当x＜时，有意义.
（5）欲使有意义，则必有，且x≠2.
∴当x≥-2，且x≠2时，有意义.
（6）欲使有意义，则必有.
∴当x≥3时，有意义.
（7）欲使有意义，则必有，且x≠-1.
∴当x≤，且x≠-1时，有意义.
（8）欲使有意义，则必有，且a≠-1.
∴当a≤2，且a≠-1时，有意义.
【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±，而±均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可. （7）小题中，由1-2x≥0，得x≤，由≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可.
3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简.
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴==-==.
【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式=
4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为.
答案：（1） （2）
5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为，所以，所以
解：甲同学的做法是正确的，理由如下：
乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误.
【解题策略】利用进行化简时，的条件不能忽略，否则
体验中考
1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知故选D.
2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.
16.2 二次根式的乘除
学习目标、重点、难点
【学习目标】
最简二次根式概念；
二次根式的乘除法法则及其逆用；
【重点难点】
1、最简二次根式概念；
2、二次根式的乘除法法则及其逆用；
知识概览图
最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式
的二次根式，叫做最简二次根式
二次根式乘法法则：
二次根式除法法则：
二次根式乘法法则的逆用：
二次根式除法法则的逆用：
新课导引
如右图所示，一个直角三角形ABC中，两直角边BC，AC分别是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB为设这个直角三角形斜边上的高CD为x，则利用的是面积“桥”的方法.
【问题探究】是最简的结果吗？如果不是，如何对进行化简呢？
【点拨】不是最简的结果，可以进行化简，首先将136分解因数，即
136＝22×34，再将写成进一步将分母中的根号化没即可，
教材精华
知识点1 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.
，公式中的a，b必须满足a≥0，b≥0，否则，就没有意义.
（3）由，得，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.例如
（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正
知识点2 二次根式的除法
公式＝可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：
拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：
（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：
（3）由＝，得.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
在公式中：（1）a必须是非负数，b必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.
（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.
知识点3 最简二次根式
被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式.
拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.
③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.比如：因为，所以不是最简二次根式.因为，且因式2和的指数都是1，所以是最简二次根式.而中无法变成一个数（或因式），所以是最简二次根式.
（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.
课堂检测
基本概念题
1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（x＞2），-x,(b＞0，a＞0), (a＞b＞0), .
基础知识应用题
2、若
A. x≥3 B. x≥-3
C. -3≤x≤3 D． x为任意实数
3、如果
A. x≥6 B. 0≤x≤6 C. x≥0 D. x＞6
综合应用题
4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.
探索创新题
5、已知a=，b=，请用含a，b的代数式表示从不同不的计算角度考虑，用两种以上方法表示.
体验中考
1、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数
A. B. C. D. E. 0
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）
2、对于任意不相等的两个数a，b，定义一定运算※如下：a※b .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.
解: 是最简二次根式.
∵，
==x-2,
==,
==0.5,,
=(a+b) ,=,
∴,(x>2), ,,( b>0, a>0),
(a>b>0), 不是最简二次根式.
【解题策略】 判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.
2、分析 本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.
3、分析 本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.
规律·方法 求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.
4、分析 本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.
α=45°，所以∠A= 45°.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.
由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.
答：飞机此时的高度为225（m）.
【解题策略】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.
5、分析 解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.
解法1：
解法2：
解法3：
【解题策略】 根据4.9==及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b相关，然后将能用a，b代替的用a，b代替，表示出结果.
体验中考
1、分析 本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案.
解：（1）A，D，E.
（2）设这个数为x,则x·=a(a为有理数)，
所以x=(a为有理数)，
2、分析 本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=
【解题策略】 对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.
16.3 二次根式的加减
学习目标、重点、难点
【学习目标】
同类二次根式的概念；
二次根式的加减；
二次根式的混合运算；
【重点难点】
1、同类二次根式；
2、二次根式的混合运算；
知识概览图
同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的加减
二次根式的混合运算
新课导引
如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）
【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm 2，6.28 cm 2，求得它们的半径分别为和，当π取3.14时，它们的值分别为，这实际上是求，那么如何计算 LINK Word.Document.8 "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\华师大八下数学21.3 二次根式的加减导学案.doc" OLE_LINK1 \a \r \* MERGEFORMAT 呢？
【解析】
教材精华
知识点1 同类二次根式
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-2是同类二次根式，3也是同类二次根式.又如：，需要化简后再判断，因为，所以是同类二次根式.对来说，因为，它们的被开方数不同，所以不是同类的二次根式.
拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.
全并同类二次根式.
将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.
例如： 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.
拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.
（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.
（3）不是同类二次根式，千万不要合并.
知识点2 二次根式的加减
二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.
即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.
对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.
√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.
√二次根式的加减步骤：
（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.
（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.
（3）合并同类二次根式.
例如：（1）
（2）
拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
系数 系数相乘除 系数相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式
知识点3 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.
在进行二次根式的混合运算时，应注意：
（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）.
（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.
（3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.
拓展 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.
【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.
探究交流 “”是否正确？为什么？
点拨 不正确，因为不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.
课堂检测
基本概念题
1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
基础知识应用题
2、 下列二次根式中，能够与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3、计算.
综合应用题
4、满足不等式的最小整数解是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
探索创新题
5、在化简时，有下列两种不同的方法：
方法1：原式=
这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.
体验中考
1、如果等于（ ）
A.2 B.3 C.8 D.10
2、下列计算正确的是（ ）
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断.
解：
【解题策略】 判断同类二次根式主要看被开方数和根指数，与根式的系数无关.
2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为
，所以.
【解题策略】 本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.
|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.
3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.
解：（1）
（2）
【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了.
（2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并.
规律·方法 二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：
（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；
（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.
4、分析 本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以，得，∴x能取的最小整数是4，故选C.
【解题策略】 解不等式求出x＞后，必须先算出的取出值范围，不仅要求出＞3，同时必须求出＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.
5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.
解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：
因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“”，而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘，事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0，所以方法1是错误的.
【解题策略】 解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.
二次根式的性质
二次根式的有关概念
二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式
代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式
二次根式
二次根式的双重非负性
①被开方数a非负，即a≥0
②本身非负，即≥0
二次根式的有关公式
图21-1
二次根式的乘除法法则
二次根式乘除法法则的逆用
二次根式的乘除
图21-4
学习目标、重点、难点
【学习目标】
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.
【重点难点】
二次根式的性质.
能确定二次根式中字母的取值范围.
知识概览图
（）2=a（a≥0）
新课导引
如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r= ，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少
【问题探究】 因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值．怎么求的值呢
【解析】因为16002＝2560000，所以＝1600．
所以r ≈=1600(km)
教材精华
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”．如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，，，等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以是二次根式．而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
(3)“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如就不是二次根式，因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+1≥0，即x≥时，二次根式才有意义. 再如，对于式子来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.
拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.
知识点3 二次根式的性质
二次根式的双重非负性: ≥0，a≥0，因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知≥0，如，等都是非负数.
（)2=a（a≥0）. 由于（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（)2=a，例如：（)2=3，（)2=6，（)2=1.5.
拓展 （1）（)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.
（2）把（)2=a（a≥0）逆用，写成a=（)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（)2，所以x2-2=x2-（)2=（x+）（x-）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：
（3)2=32×（)2=9×2=18. （)2=（)2×（)2=×6=等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.
知识点4 的化简
由于 表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数. 而当有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如. 如果中a的符号不确定，那么要讨论. 即=
拓展 （)2与的区别与联系，如下表所示：
（)2
字母a的取值范围不同 被开方数a的取值范围为a≥0，即a是一个非负数，且（)2=a. 例如：，，无意义 被开方数a2中的a可取一切实数，也就是说，a既可以是正数，也可以是负数，还可以是零. =例如当a=3时，，当a=-3时
意义不同 （)2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方. 例如表示5的算术平方根的平方，结果等于5 表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根，结果等于3
形式不同 （a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身 ，其结果有两种形式，与a的取值有关，当a≥0时，，当a＜0时，
联系 （a≥0）是一个非负数 ≥0是一个非负数
当a≥0时，
知识点5 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，(t≠0)，x3，，等都是代数式.
拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.
课堂检测
基本概念题
1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）
基础知识应用题
2、当x取何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）.
3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简.
综合应用题
4、（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是 cm2;
（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r）.
探索创新题
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值
甲同学的做法是：
原式＝
乙同学的做法是：
原式＝
谁的做法是正确的？说明理由.
体验中考
1、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1
C. x≠2 D. x≥1且x≠2
2、若x，y为实数，且，则（x＋y）2010的值为 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.
解：（1）∵-3＜0，∴不是二次根式.
（2）∵(-3)2＞0，∴是二次根式.
（3）∵(-3)3=-27＜0，∴不是二次根式.
（4）∵的根指数3，∴不是二次根式.
（5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.
①当x≤0时，是二次根式；
②当x＞0时，不是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（6）∵的根指是4，∴不是二次根式.
（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴不是二次根式.
（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，
∴当x≠-3时，是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2＜0，不是二次根式.
综上，不一定是二次根式.
（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴是二次根式.
【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.
2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.
解：（1）欲使有意义，则必有.
∴当x=0时，有意义.
（2）欲使有意义，则必有，且x≠-2.
∴当x≤0，且x≠-2时，有意义.
（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x取何实数，都有意义.
（4）欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.
∴当x＜时，有意义.
（5）欲使有意义，则必有，且x≠2.
∴当x≥-2，且x≠2时，有意义.
（6）欲使有意义，则必有.
∴当x≥3时，有意义.
（7）欲使有意义，则必有，且x≠-1.
∴当x≤，且x≠-1时，有意义.
（8）欲使有意义，则必有，且a≠-1.
∴当a≤2，且a≠-1时，有意义.
【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±，而±均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可. （7）小题中，由1-2x≥0，得x≤，由≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可.
3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简.
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴==-==.
【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式=
4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为.
答案：（1） （2）
5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为，所以，所以
解：甲同学的做法是正确的，理由如下：
乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误.
【解题策略】利用进行化简时，的条件不能忽略，否则
体验中考
1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知故选D.
2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.
16.2 二次根式的乘除
学习目标、重点、难点
【学习目标】
最简二次根式概念；
二次根式的乘除法法则及其逆用；
【重点难点】
1、最简二次根式概念；
2、二次根式的乘除法法则及其逆用；
知识概览图
最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式
的二次根式，叫做最简二次根式
二次根式乘法法则：
二次根式除法法则：
二次根式乘法法则的逆用：
二次根式除法法则的逆用：
新课导引
如右图所示，一个直角三角形ABC中，两直角边BC，AC分别是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB为设这个直角三角形斜边上的高CD为x，则利用的是面积“桥”的方法.
【问题探究】是最简的结果吗？如果不是，如何对进行化简呢？
【点拨】不是最简的结果，可以进行化简，首先将136分解因数，即
136＝22×34，再将写成进一步将分母中的根号化没即可，
教材精华
知识点1 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.
，公式中的a，b必须满足a≥0，b≥0，否则，就没有意义.
（3）由，得，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.例如
（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正
知识点2 二次根式的除法
公式＝可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：
拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：
（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：
（3）由＝，得.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
在公式中：（1）a必须是非负数，b必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.
（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.
知识点3 最简二次根式
被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式.
拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.
③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.比如：因为，所以不是最简二次根式.因为，且因式2和的指数都是1，所以是最简二次根式.而中无法变成一个数（或因式），所以是最简二次根式.
（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.
课堂检测
基本概念题
1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（x＞2），-x,(b＞0，a＞0), (a＞b＞0), .
基础知识应用题
2、若
A. x≥3 B. x≥-3
C. -3≤x≤3 D． x为任意实数
3、如果
A. x≥6 B. 0≤x≤6 C. x≥0 D. x＞6
综合应用题
4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.
探索创新题
5、已知a=，b=，请用含a，b的代数式表示从不同不的计算角度考虑，用两种以上方法表示.
体验中考
1、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数
A. B. C. D. E. 0
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）
2、对于任意不相等的两个数a，b，定义一定运算※如下：a※b .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.
解: 是最简二次根式.
∵，
==x-2,
==,
==0.5,,
=(a+b) ,=,
∴,(x>2), ,,( b>0, a>0),
(a>b>0), 不是最简二次根式.
【解题策略】 判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.
2、分析 本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.
3、分析 本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.
规律·方法 求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.
4、分析 本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.
α=45°，所以∠A= 45°.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.
由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.
答：飞机此时的高度为225（m）.
【解题策略】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.
5、分析 解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.
解法1：
解法2：
解法3：
【解题策略】 根据4.9==及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b相关，然后将能用a，b代替的用a，b代替，表示出结果.
体验中考
1、分析 本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案.
解：（1）A，D，E.
（2）设这个数为x,则x·=a(a为有理数)，
所以x=(a为有理数)，
2、分析 本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=
【解题策略】 对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.
16.3 二次根式的加减
学习目标、重点、难点
【学习目标】
同类二次根式的概念；
二次根式的加减；
二次根式的混合运算；
【重点难点】
1、同类二次根式；
2、二次根式的混合运算；
知识概览图
同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的加减
二次根式的混合运算
新课导引
如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）
【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm 2，6.28 cm 2，求得它们的半径分别为和，当π取3.14时，它们的值分别为，这实际上是求，那么如何计算 LINK Word.Document.8 "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\华师大八下数学21.3 二次根式的加减导学案.doc" OLE_LINK1 \a \r \* MERGEFORMAT 呢？
【解析】
教材精华
知识点1 同类二次根式
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-2是同类二次根式，3也是同类二次根式.又如：，需要化简后再判断，因为，所以是同类二次根式.对来说，因为，它们的被开方数不同，所以不是同类的二次根式.
拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.
全并同类二次根式.
将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.
例如： 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.
拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.
（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.
（3）不是同类二次根式，千万不要合并.
知识点2 二次根式的加减
二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.
即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.
对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.
√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.
√二次根式的加减步骤：
（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.
（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.
（3）合并同类二次根式.
例如：（1）
（2）
拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
系数 系数相乘除 系数相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式
知识点3 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.
在进行二次根式的混合运算时，应注意：
（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）.
（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.
（3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.
拓展 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.
【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.
探究交流 “”是否正确？为什么？
点拨 不正确，因为不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.
课堂检测
基本概念题
1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
基础知识应用题
2、 下列二次根式中，能够与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3、计算.
综合应用题
4、满足不等式的最小整数解是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
探索创新题
5、在化简时，有下列两种不同的方法：
方法1：原式=
这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.
体验中考
1、如果等于（ ）
A.2 B.3 C.8 D.10
2、下列计算正确的是（ ）
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断.
解：
【解题策略】 判断同类二次根式主要看被开方数和根指数，与根式的系数无关.
2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为
，所以.
【解题策略】 本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.
|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.
3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.
解：（1）
（2）
【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了.
（2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并.
规律·方法 二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：
（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；
（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.
4、分析 本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以，得，∴x能取的最小整数是4，故选C.
【解题策略】 解不等式求出x＞后，必须先算出的取出值范围，不仅要求出＞3，同时必须求出＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.
5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.
解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：
因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“”，而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘，事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0，所以方法1是错误的.
【解题策略】 解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.
二次根式的性质
二次根式的有关概念
二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式
代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式
二次根式
二次根式的双重非负性
①被开方数a非负，即a≥0
②本身非负，即≥0
二次根式的有关公式
图21-1
二次根式的乘除法法则
二次根式乘除法法则的逆用
二次根式的乘除
图21-4