3.2.1双曲线及其标准方程（教学课件）(共25张PPT)

(共25张PPT)
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.1双曲线及其标准方程
1.掌握双曲线的标准方程及其求法.
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
学习目标
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
知识回顾
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.
思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
一、双曲线的定义
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
一.双曲线的定义
新知探究
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
分3种情况来看：
思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
一.双曲线的定义
设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0二、双曲线标准方程
① 建系:
如图所示，建立平面直角坐标系.
② 设点：
③ 列式：
④ 化简整理得：
方程推导
思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2.
二、双曲线标准方程
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
三.辨析和应用
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( 　)
2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． (　 　)
3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　 　)
4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同． (　 　)
概念辨析：
×
×
×
×
应用1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
三.辨析和应用
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
所以，双曲线的标准方程为：
由2c=10,2a=6,得c=5,a=3,所以b2=52-32=16.
应用2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,
且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
三.辨析和应用
解：建立平面直角坐标系，使两点A,B在x轴 上，并且原点与线段AB的中点重合，
设炮弹炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680,a=340
又|AB|=800，所以2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400
因为|PA|-|PB|=680>0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340,
所以，炮弹炸点的轨迹方程为：
想一想：如果A, B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？
答：爆炸点应在线段AB的中垂线上.
由应用2可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差 , 就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但是不能确定爆炸点的准确位置.
要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点C，利用A, C( 或B, C) 两处测得的爆炸声的时间差 , 求爆炸点所在的另一个双曲线的方程.
解这两个双曲线方程组成的方程组 , 就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重要应用 .
思考 如何准确测出爆炸点的位置？
三.辨析和应用
四.题型与方法
题型一　求双曲线的标准方程
把点A的坐标代入，得b2＝9.
无解；
四.题型与方法
题型一　求双曲线的标准方程
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，解得
四.题型与方法
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
四.题型与方法
题型一　求双曲线的标准方程
四.题型与方法
题型二 双曲线中焦点三角形问题
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.
四.题型与方法
题型二 双曲线中焦点三角形问题
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
四.题型与方法
题型二 双曲线中焦点三角形问题
四.题型与方法
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
四.题型与方法
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
常见的方法：基本轨迹法
寻找几何关系，结合双曲线的定义，待定系数法得出对应的方程．
四.题型与方法
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
[跟踪训练]3 如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
双曲线两种标准方程的特点
① 方程用“－”号连接；
② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
③ c2=a2+b2 ；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
五.小结与练习
课堂小结
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
五.小结与练习
达标训练
五.小结与练习
1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)A．双曲线　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
D
D
D
五.小结与练习
C
C
A
8．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
9．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
6或－6
4
五.小结与练习