3.3.1抛物线及其标准方程（教学课件）(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.3.1抛物线及其标准方程（教学课件）(共24张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-28 14:40:17 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第 3 章圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
学习目标
一、抛物线的定义
感知与体验
一、抛物线的定义
感知与体验
一、抛物线的定义
圆锥面
与母线平行的截面
截线
感知与体验
一、抛物线的定义
按下列步骤作出一条曲线
在纸一侧固定直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺；
取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在直尺外一点F，固定绳子另一端在三角板点A上；
用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边；
上下移动三角板,用笔画出轨迹
感知与体验
一、抛物线的定义
可以发现,点M随着H 运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
即:当|MF|=d 时(d为M到l的距离)点M的轨迹是抛物线
定点F叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线
想一想 当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？
经过点F且垂直于l 的直线
抛物线的定义
设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M MF =d}.
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). ①
二、抛物线的方程
二、抛物线的方程
抛物线的标准方程：
（标准方程）
抛物线的四种不同标准方程
图像 标准方程 焦点坐标 准线方程
二、抛物线的方程
三、题型与方法
题型一 求抛物线的标准方程
题型一 求抛物线的标准方程
三、题型与方法
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
设方程：根据焦点位置或开口方向，设出标准方程；
列方程：根据条件建立关于参数p的方程；
解方程：解关于参数p的方程，求出p的值；
得方程：根据参数p的值，写出标准方程。
三、题型与方法
题型一 求抛物线的标准方程
[跟踪训练]1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
例2.已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，
以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
例3.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
P0
Q
H
d
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
1.抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
2.解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2x(x＞0)
D
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
例4. 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解:以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴a的最小整数值为13.
例4. 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
三、题型与方法
利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
[跟踪训练]4 .河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解:以拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
[跟踪训练]4 .河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
四、达标训练
A
C
B
D
四、达标训练
C
A
x＝－1
2
6
四、达标训练
9．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
四、达标训练
10.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
第 3 章圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
学习目标
一、抛物线的定义
感知与体验
一、抛物线的定义
感知与体验
一、抛物线的定义
圆锥面
与母线平行的截面
截线
感知与体验
一、抛物线的定义
按下列步骤作出一条曲线
在纸一侧固定直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺；
取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在直尺外一点F，固定绳子另一端在三角板点A上；
用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边；
上下移动三角板,用笔画出轨迹
感知与体验
一、抛物线的定义
可以发现,点M随着H 运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
即:当|MF|=d 时(d为M到l的距离)点M的轨迹是抛物线
定点F叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线
想一想 当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？
经过点F且垂直于l 的直线
抛物线的定义
设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M MF =d}.
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). ①
二、抛物线的方程
二、抛物线的方程
抛物线的标准方程：
（标准方程）
抛物线的四种不同标准方程
图像 标准方程 焦点坐标 准线方程
二、抛物线的方程
三、题型与方法
题型一 求抛物线的标准方程
题型一 求抛物线的标准方程
三、题型与方法
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
设方程：根据焦点位置或开口方向，设出标准方程；
列方程：根据条件建立关于参数p的方程；
解方程：解关于参数p的方程，求出p的值；
得方程：根据参数p的值，写出标准方程。
三、题型与方法
题型一 求抛物线的标准方程
[跟踪训练]1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
例2.已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，
以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
例3.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
P0
Q
H
d
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
1.抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
2.解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋
三、题型与方法
题型二 抛物线定义的应用
知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2x(x＞0)
D
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
例4. 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解:以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴a的最小整数值为13.
例4. 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
三、题型与方法
利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
[跟踪训练]4 .河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解:以拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
三、题型与方法
题型三 抛物线的实际应用
[跟踪训练]4 .河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
四、达标训练
A
C
B
D
四、达标训练
C
A
x＝－1
2
6
四、达标训练
9．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
四、达标训练
10.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．