2.1.1倾斜角与斜率 （教学课件）（15张PPT）

2.1.1 倾斜角与斜率
高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来
源于生活实际，数学概念的形成是自然的
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，
问题与思考
1.如何确定一条直线？
2.在直角坐标系下，确定一条直线需要什么？
l
x
y
O
A
B
l1
x
y
O
α1
α2
α3
两点确定一条直线
一个点和一个方向
画一画
在直角坐标系中，直线对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。
3. 如何表示直线的方向?
在直角坐标系下，设????，????为直线上两点，则????????就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向向量确定一条直线。
?
问题与思考
x
y
O
l
确定直线位置的要素除了点之外, 还有直线的方向, 也就是直线的倾斜程度.
O
x
y
P
α
α
(1)当直线l 与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所形成的角α叫做直线l的倾斜角。
l
l
注意：
(1)直线向上方向；
(2)x轴的正方向。
(2)规定当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
l
2、直线倾斜角α的取值范围：
0°≤α＜180°　
倾斜角相同能确定一条直线吗？
x
o
y
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
定 义
探究
探究1：在平面直角坐标系中，设l直线的倾斜角为α .
（1）已知直线l经过O(0,0), P(3，1) ,α与O, P的坐标有什么关系？
?
O
x
y
OP=(3，1)
由正切函数的定义有tanα=13=33.
?
探究2：在平面直角坐标系中，设l直线的倾斜角为α .
(2)类似地,若直线l经过????1(?1,1), ????2(2,0) ,α与????1, ????2的坐标又有什么关系？
?
探究
O
x
y
P
P2P1=(?1?2，1 ??0)=(?1?2，1)．
平移向量P2P1到OP
则点P的坐标为(?1?2，1)，
由正切函数的定义有tanα=1?1?2=1?2
?
探究3：一般地,若直线l经过????1(????1,????1), ????2(????2, ????2)(????1≠ ????2) ,那么α与????1, ????2的坐标有怎样的关系？
?
探究
当向量P1P2,的方向向上时，P1P2=(????2?????1,????2?????1)．平移向量P1P2到OP，则点P的坐标为(????2?????1,????2?????1)，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=????2?????1????2?????1.
?
O
x
y
P1
P2
O
x
y
P2
P1
意 义
前进量
升
高
量
直线????的倾斜角????与直线????上的两点????1(????1,????1)，????2(????2,????2)(????1≠????2)的坐标有如下关系：?????????????????=????2?????1????2?????1.①
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan?α.②
?
图示
?
?
?
?
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
斜率与倾斜角对应关系
意 义
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}倾斜角????
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率????
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
填一填
思考：直线的倾斜角越大,斜率越大?
????∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;
????∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.
?
斜率范围：????∈（-∞，+∞）
?
辨析1：判断正误.
(1)倾斜角为135°的直线的斜率为1.（ ）
(2)直线斜率的取值范围是(?∞,+∞).（ ）
?
×
辨析2：如图所示， 直线l的倾斜角为（ ）.
????.60° ????.150° ????.0° ????.不存在
?
????
?
练习
√
例1：如图，已知A(3,2)，B(?4,1)，C(0,?1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
?
解：直线AB的斜率kAB=1?2?4?3=?1?7=17；
直线BC的斜率kBC=?1?10?(?4)=?24=?12；
直线CA的斜率kCA=2?(?1)3?0=33=1.
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角.
?
例题讲解
小节
图示
?
?
?
?
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
斜率与倾斜角对应关系
k=tan?α=????2?????1????2?????1
?
????∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;
????∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.
?
斜率范围：????∈（-∞，+∞）