2.1.1直线的倾斜角与斜率 （教学课件）（共18张PPT）

2.1.1
倾斜角与斜率
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。为了要精准地研究这些比较复杂的曲线，导致了解析几何的出现。
数学史话
笛卡尔
费马
解析几何的思想与方法：
点
数
坐标法
曲线
方程
几何问题
代数问题
转 化
创设情景，引入新知
思考：长江大桥的斜拉索的陡缓程度不一，
如何建立恰当的数学模型来解释斜拉索的陡缓程度？
探索研究，构建新知
y
x
o
探究一：直线的倾斜角
在直角坐标系下，过一点能否
确定一条直线？
如何描述直线的方向？
点与直线的方向（倾斜程度）
倾斜角
②范围：0°≤α<180°
当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0°
③方向相同的直线，倾斜角相同
探究一：直线的倾斜角
①定义：当直线L与X轴相交时，以X轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
每一条直线
唯一确定的倾斜角
探究一：直线的倾斜角
方向相同的直线
倾斜角相等
方向不同的直线
倾斜角不相等
探究二：直线的斜率
倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么代数中的“数”能否表示直线的倾斜程度？
问题：在平面直角坐标系中，设直线????的倾斜角为????.
(1)已知直线????经过????(????,????)，????(????,????)，
????与????，????的坐标有什么关系？
?
????????=(3,1)
?
tan????=13
?
探究二：直线的斜率
问题：在平面直角坐标系中，设直线????的倾斜角为????.
(2)类似地，如果直线????经过????????(?????,????)，????????(????,????)，????与????????，????????的坐标又有什么关系？
?
????2????1=(?1?2,1)
?
tan????=1?1?2=1-2
?
????????2=(?1?2,1)
?
探究二：直线的斜率
问题：在平面直角坐标系中，设直线????的倾斜角为????. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
?
探究二：直线的斜率
直线????的倾斜角????与直线????上的两点????1(????1,????1)，????2(????2,????2)(????1≠????2)的坐标有如下关系：
?????????????????=??????????????????????????????????.
斜率：一条直线的倾斜角α的正切值，
斜率常用小写字母k表示，即k=tan?α.
?
斜率与倾斜角对应关系
探究二：直线的斜率
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}倾斜角????
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率????
0
33
1
3
-3
-1
-33
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
0
1
-1
问题3：直线的倾斜角越大,斜率越大?
探究二：直线的斜率
????∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;
????∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.
?
斜率范围：（-∞，+∞）
所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率.
例1：如图，已知????(????,????)，????(?????,????)，????(????,?????)，求直线????????，????????，????????的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
?
例题精讲
解：直线AB的斜率kAB=1?2?4?3=?1?7=17；
直线BC的斜率kBC=?1?10?(?4)=?24=?12；
直线CA的斜率kCA=2?(?1)3?0=33=1.
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角.
?
巩固练习
巩固练习
4.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ).
A．30° B．60° C．120° D．150°
例1.已知两点A(-3,4)，B(3,2)，直线l经过点P(2,-1) ，且与线段AB相交，则
l的斜率k的取值范围是________________．
巩固练习
例2.(1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围．
(2)若直线l的斜率k满足k≥????，求直线l的倾斜角α的取值范围．
(3)若直线l的斜率k满足k≤﹣????，求直线l的倾斜角α的取值范围．
(4)若直线l的斜率k满足﹣1?
知α求k或知k求α：
利用y=tan x的图象