2.1.1直线的倾斜角与斜率 （教学课件）（共39张PPT）

解析几何
第二章 直线和圆的方程
问题1： 我们学过哪些平面图形，用的什么研究方法？
问题1： 我们学过哪些平面图形，用的什么研究方法？
综合法
引 入
解析几何
勒奈·笛卡尔（1596-1650）：法国数学家、科学家和哲学家
皮埃尔·德·费马（1601-1665），法国律师和业余数学家
坐标系
点
数
(有序数对或数组)
几何
代数
曲线(点的轨迹)的方程
研究几何图形性质
代数方法
直线
直线的方程
几何要素
圆的方程
解决实际问题
圆
平面直角坐标系
代数方法
2.1.1 直线的倾斜角与斜率
第二章 直线和圆的方程
问题2：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线????，如何利用坐标系确定它的位置？
?
水平直线的方向向右
思考1： 如何表示直线的方向?
其它直线的方向向上
思考2：在平面直角坐标系中，过一点P可以作出无数条直线？这些直线的区别是什么？
l1
l2
l3
l4
一、直线的倾斜角
1.定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
x
y
o
α
l
零度角
锐角
直角
钝角
问题3：按照角的大小分类，直线的倾斜角可分为几类？
p
o
y
x
y
p
o
x
p
o
y
x
p
o
y
x
2.直线的倾斜角取值范围：
思考1 你能得出直线的倾斜角的取值范围吗？
零度角
锐角
直角
钝角
问题3：直线的倾斜角可分为几类？
p
o
y
x
y
p
o
x
p
o
y
x
p
o
y
x
当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：
2.直线的倾斜角取值范围：
问题5 你能得出直线的倾斜角的取值范围吗？
问题4 任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应吗？
O
y
x
l1
α1
l2
l3
α2
α3
每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线吗?
不同的直线其倾斜角一 定不相同吗?
直线l
唯一倾斜角α
方向相同的直线(平行或重合)
倾斜角α
思考1 确定一条直线的几何要素还可以是什么？
一个点P和一个倾斜角? .
3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为( )
A. α+45° B. α-135°
C. 135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135°
1. 下图中，表示直线的倾斜角的是( )
A
B
C
D
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角, 则直线l的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
类型一 直线的倾斜角
3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为( )
A. α+45° B. α-135°
C. 135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135°
1. 下图中，表示直线的倾斜角的是( )
A
B
C
D
A
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角, 则直线l的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
D
D
类型一 直线的倾斜角
探究 在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：
平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）
(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P 的坐标有什么关系?
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系?
探究 在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：
平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）
(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P 的坐标有什么关系?
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系?
O
y
x
α
O
y
x
α
α
?
?
探究 在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：
平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）
(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P 的坐标有什么关系?
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系?
(3) 一般地，如果直线l经过P1(x1, y1), P2(x2, y2),（其中 x1≠x2）α与P1, P2的坐标有怎样的关系吗？
探究 在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：
平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）
(3) 一般地，如果直线l经过P1(x1, y1), P2(x2, y2),（其中 x1≠x2）α与P1, P2的坐标有怎样的关系吗？
O
y
x
α
?
?
O
x
y
P1
P2
α
O
x
y
P
P2
P1
思考1 上述式子与P1, P2的顺序有关吗?
思考2 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗?
思考3 当直线P1P2与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗?
1.定义：我们把一条直线的倾斜角? 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母 k 表示，即k=tanα .
α∈[0° ,90° ) ∪(90° ,180° )
2.公式：直线过P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2,
（x1≠x2）
二、直线的斜率
延时符
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}倾斜角α
0°
30°
45°
90°
120°
150°
斜率k
3.常见角对应的斜率：
延时符
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}倾斜角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
斜率k
3.常见角对应的斜率：
不存在
x
y
o
P(2,2)
问题5 如图，当直线l绕点P(2,2)逆时针旋转时，直线l的倾斜角如何变化，
其斜率如何变化？
l
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率越大，其倾斜角就越大.(　　)
(3)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(4)直线的倾斜角为α，则其斜率为tan α.(　　)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.(　　)
(6)倾斜角相等的两直线的斜率一定相等.(　　)
(7)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为
????=??????????????????????????????????.(　　)

?
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率越大，其倾斜角就越大.(　　)
(3)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(4)直线的倾斜角为α，则其斜率为tan α.(　　)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.(　　)
(6)倾斜角相等的两直线的斜率一定相等.(　　)
(7)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为????=??????????????????????????????????.(　　)

?
×
诊断自测
×
×
×
√
×
×
例1 如图, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
y
x
A(3,2)
B(-4,1)
C(0,-1)
1
-1
-2
类型二 直线的斜率
变式 若点D在BC（包括端点）上移动时,求直线AD的斜率的变化范围
例1 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
y
x
A(3,2)
B(-4,1)
C(0,-1)
1
-1
-2
例2　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
类型二 直线的斜率
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
例2　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
问题6 直线的方向向量与斜率?????有什么关系？
?
思考2 若直线????的斜率为?????，如何用斜率表示它的一个方向向量的坐标？

?
思考1 若直线????的一个方向向量为(????，????)，如何求其斜率?????？

?
问题6 直线的方向向量与斜率?????有什么关系？
?
思考2 若直线????的斜率为?????，如何用斜率表示它的一个方向向量的坐标？
(1, k).
?
思考1 若直线????的一个方向向量为(????，????)，如何求其斜率?????？
k=????????.
?
例3 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值.
类型二 直线的斜率
变式 已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率.
例3 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值.
类型二 直线的斜率
变式 已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率.
是直线l的一个方向向量,
即
又
∴直线l的倾斜角为 ，斜率为
解:
【提升训练】已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α, 且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围.
类型二 直线的斜率
【提升训练】已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α, 且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围.
解：
A(0,2), B(0, -1),
当m=0时，
直线AB倾斜角α=90°. 符合题意.
直线AB⊥x轴，
直线AB的斜率为
当m≠0时，
或
或
解得
故m的取值范围为
即
或
类型二 直线的斜率
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度 .
k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.
追问：那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
三、直线斜率的实际应用
THANKS