2.2.3直线的一般式方程（教学课件）(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.2.3直线的一般式方程
学习目标
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题．
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
探究：先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
Ax+By+C=0.
Ax+By+C=0.
思考 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
探究：对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0),
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：
直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义；
直线的一般式Ax+By +C=0通常化为斜截式以获取直线的几何特征如斜率、截距等；
直线方程通常用一般式表示，直线的四种特殊形式化为一般式的规范要求：先x项，再y项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化，A>0;
题型一　直线的一般式方程与其他形式转化
注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
题型一　直线的一般式方程与其他形式转化
4x－y－2＝0
2x＋y－3＝0
x＋3y＋3＝0
(2)y＝4x－2
题型一　直线的一般式方程与其他形式转化
答案：D
题型二　直线的一般式方程的应用
1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
题型二　直线的一般式方程的应用
2．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
例3 （由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
1. 判定两直线平行的方法：
法1：若两直线斜率都存在, 化成斜截式后, 由 k1＝k2, 且b1≠b2可判定两直线平行; 若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行．
法2：设两直线的方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.
2. 判定两直线垂直的方法：
法1：若一个斜率为零, 另一个斜率不存在, 则两直线垂直．
若两个斜率都存在, 化成斜截式后, 由k1k2＝－1可判定两直线垂直.
法2：设两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【当堂达标】
答案：B
答案：C
答案：D
【当堂达标】
答案：A
答案：A
【当堂达标】