2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离（教学课件）(共29张PPT)

(共29张PPT)
2.3.1两条直线的交点坐标
2.3.2两点间的距离公式
学习目标
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点)..
3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．
提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.
满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出
两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
解之得x=4,y=1,即交点M（4，1）。
实例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
l1: 3x＋4y─2＝0， l2: 2x＋y＋2＝0.
即直线l1,l2交点M（-2，2）
实例2：求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过
坐标原点的直线l的方程.
即l1与l2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点，
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二　∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
实例2：求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过
坐标原点的直线l的方程.
结论：过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程：
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,λ为参数且λ≠0)
求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，
设出方程后再利用其他条件求解.
变式：求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒
过某一定点.
答案：定点P（9,-4）
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)
一组
无数组
一个
无数个
零个
相交
重合
平行
用方程组解的个数判断其位置关系运算量较大，一般使用下列结论：
实例3.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1: x－y=0， l2: 3x＋3y－10＝0；
(2) l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
(3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0.
故l1与l2无公共点，即l1//l2
得此方程组无解。
得此方程组有无穷多组解，
故l1与l2重合。
实例3.判断下列各对直线的位置关系，(如果不要求求交点坐标)
(1) l1: x－y=0， l2: 3x＋3y－10＝0；
(2) l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
(3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0.
故l1与l2无公共点，即l1//l2
解：（1）因为A1B2-A2B1=1×3-3×（-1）=6≠0，得l1,l2相交；
故l1与l2重合。
（2）因为A1B2-A2B1=3×（-2）-6×（-1）=0，且A1C2-A2C1=3×（-1）-6×4≠0
（3）因为A1B2-A2B1=3×8-6×4=0，且A1C2-A2C1=3×（-10）-6×(-5)=0
变式练习：已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象
限，则a的取值范围是__________.
探究 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 |
O
y
x
P1(x1,y1)


P2(x2,y2)
我们用平面向量的知识来解决. 如图, 由点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 得 于是
由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为：
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为：
思考 你还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？
与向量法比较，你有何体会？
如图，以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q，则点Q的坐标为
思考： 你能利用P1(x1, y1), P2(x2, y2)构造直角三角形，再用勾股定理
推导两点间距离公式吗
O
y
x
P1(x1,y1)


P2(x2,y2)
Q
(x2,y1)
(x2, y1).
由勾股定理得：
∴平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为：
与向量法比较，
你有什么体会
解：设所求点为P(x,0),则：
由|PA|=|PB|,得：x2+2x+5=x2-4x+11,解得：x=1
例2.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
解法一：
例2.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
试判断△ABC的形状.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
解法二：
例3.用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻边的平方和的两倍.
证明: 如图示, 四边形ABCD是平行四边形, 以顶点A为原点, 边AB所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系.
即：平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻边的平方和的两倍.
由两点间的距离公式得：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤:
思考：根据例3的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法 你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗
还有其他建立坐标系的方法，如AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，或以两条对角线交点为原点，与AB平行的直线为x轴建立坐标系等.
坐标系的建立是否适当，对证明非常重要，如若不然，点的坐标会比较复杂，从而加大计算量，增加出错的几率.
题型一　求相交直线的交点坐标
例1 直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________．
注意：求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.
[跟踪训练] 1
（1）若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，
则k＝________；（2）求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程.
例2.（1）求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一定点.
注：直线恒过定点问题
题型二　相交直线系的应用
例2（2） 求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
题型二　相交直线系的应用
例2（2） 求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
注.过两直线的交点的直线求解
题型二　相交直线系的应用
(1)求过两直线交点的直线方程的方法直线系法：
先设直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
方法总结：
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法
①直接法：将直线方程化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点．
②特殊值法：取出直线系中的两条特殊直线，求它们的交点．
③方程法：将已知的直线方程整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，解方程组求解．
题型三　两点间的距离
答案：D
1. 两条直线的交点坐标：
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交，方程组的解就是交点的坐标.
直线l1: A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0位置关系判定：
经过两直线l1: A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参变量，它不表示直线 l2 .
(3) 共点直线系方程：
与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n=0(n是参变量).
(2) 垂直直线系方程：
与直线Ax+By+C= 0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m≠C), m是参变量.
(1) 平行直线系方程：
2.直线系：
具有某一共同属性的一类直线的集合.
3.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为：
【当堂达标】
C
B
B
(0，1)
2x＋y－4＝0