2.4.2圆的一般方程（教学课件）（共19张PPT）

第 2 章直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程
学习目标
1.理解圆的一般方程及其特点
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题
1.圆的标准方程:
特征：几何意义明显，可直接从方程中获知圆心和半径
圆心
半径

反之，已知圆心和半径，可直接写出圆的标准方程
已知圆心（-2，3），半径r=5，则圆的标准方程：
(x+2)2+(x-3)2=25
（1，-2）
（-2，2）
（-a，2）
|a|
2.直线方程四种特殊形式及一般形式:
特殊形式
一般形式
（1）点斜式：
（2）斜截式：
（3）两点式：
（4）截距式：
Ax+By+C=0（A,B不全为0）
几何特征明显
代数特征明显
3 .点与圆的位置关系:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}位置关系
几何方法
代数方法
点在圆上
点在圆外
点在圆内
d=r
dd>r
(x-a)2+(y-b)2(x-a)2+(y-b)2>r2
(x-a)2+(y-b)2=r2
(d为定点与圆心的距离，r为半径)
注：数形结合是解析几何的基本思想，用代数方法研究几何问题是解析几何的主要方法
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
思考：类比直线方程的一般形式，圆的方程具有怎样的代数结构特征？反之，具有什么特征的方程可以表示圆？
圆的一般方程
探究：把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，
得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
令-2a=D, -2b=E, a2+b2-r2=F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
思考：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 方程表示的曲线都是圆呢？
实例：下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0；
（2）x2+y2-2x+4y+5=0；
（3）x2+y2-2x+4y+6=0.
(x-1)2+(y+2)2=4
(x-1)2+(y+2)2=0
(x-1)2+(y+2)2=-1
圆心（1，-2），半径r=2的圆
点（1，-2）
不表示任何图形（虚圆）
圆的一般方程：
说明：
圆的方程是关于x,y的二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,
且具有如下特点：
圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系：
圆的标准方程：
?????????????+?????????????=????????
?
圆的一般方程：
????????+????????+????????+????????+????=????
?
几种特殊情形的圆：
易于看出圆心与半径.
突出代数结构特点.
D=0
E=0
F=0
题型一 圆的一般方程的认识
例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
[跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.
注意：判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方，最后转化为判断△=D2＋E2－4F的正负问题．
(－∞，1)
①表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.
②不表示任何图形．
③当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法及几何法； (1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程
题型二 求圆的一般方程
又∵圆心在第二象限，∴D=2,E=-4，
故圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)求BP的中点E的轨迹方程．
解(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)求BP的中点E的轨迹方程．
（2）设点E(x，y)，P(x0，y0)．∵B(1,1)，∴
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
注意：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．
题型三 与圆有关的轨迹问题
[跟踪训练]3 设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．
解：由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
由于P在圆上，∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
1.圆的一般方程的概念
当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
叫做圆的一般方程．其中圆心为 ，半径为r＝ .
2.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论
①D2＋E2－4F＞0时表示圆．
②D2＋E2－4F＝0时表示点.
③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
D2＋E2－4F＞0
【当堂达标】
A
C
A
A
【当堂达标】
5．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．6.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
C
解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
【当堂达标】
7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.