3.1.2椭圆的几何性质第1课时（教学课件）(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.1.2椭圆的几何性质第1课时（教学课件）(共23张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 928.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-28 15:41:57 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
第 3 章圆锥曲线的方程
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)
2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
3.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）
定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
a>b>0,且a2=b2+c2
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
方程中的a2是x2的分母
焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)
方程中的a2是y2的分母
一. 复习回顾：
椭圆的标准方程
二.椭圆的简单几何性质
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
1. 范围:
二.椭圆的简单几何性质
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内。
2. 对称性
这说明当点P(x, y)在椭圆上时，点P1(x, -y),P2(-x, y),P3(-x, -y)也在椭圆上，
所以椭圆关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称.
同理，令 y=0，得 x=±a，因此A1(-a, 0)， A2(a, 0)，是椭圆与 y轴的两个交点：
二.椭圆的简单几何性质
3、顶点：几何上，称对称轴与图像的交点为顶点；椭圆有两条对称轴，它们与椭圆共有四个交点，这四个点就是椭圆的顶点。
B1(0, -b), B2(0, b) , 是椭圆与y轴的两个交点.
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b.
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
二.椭圆的简单几何性质
4、离心率：
观察上图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同 . 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平;
二.椭圆的简单几何性质
4、离心率：
(1) 离心率的取值范围：
因为a > c > 0，所以0 < e < 1.
(2) 离心率对椭圆形状的影响：
① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁；
② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆；
③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁.
④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆.
焦点位置 x轴 y轴
方程
图形
范围
对称性 顶点
离心率 关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称.
e越接近1，椭圆越“扁”；e越接近0，椭圆变“圆”.
二.椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的基本要素：
2. 数学思想方法：
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量）
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：对称轴（共两条线）
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题;
（2）分类讨论的数学思想 .
二.椭圆的简单几何性质
紧抓“定义 方程 图像 性质”这条主线，着力实现四者之间的相互转化。
三.题型与方法
题型一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
注：“定义、方程、图像、性质”是椭圆的全部基础内容，实现四者之间的相互转化是解决椭圆问题的基本方法。
由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.
三.题型与方法
三.题型与方法
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
解:(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
若焦点在y轴上，则b＝3，
解得a2＝27.
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
跟踪训练:2.求出满足下列条件的椭圆的标准方程．短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3。
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
求椭圆离心率及范围的两种方法
若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
(2)方程法：建立关于a，c的齐次方程或不等式求解。
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
解：由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
四.达标训练
A
C
A
四.达标训练
①
四.达标训练
第 3 章圆锥曲线的方程
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)
2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
3.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）
定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
a>b>0,且a2=b2+c2
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
方程中的a2是x2的分母
焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)
方程中的a2是y2的分母
一. 复习回顾：
椭圆的标准方程
二.椭圆的简单几何性质
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
1. 范围:
二.椭圆的简单几何性质
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内。
2. 对称性
这说明当点P(x, y)在椭圆上时，点P1(x, -y),P2(-x, y),P3(-x, -y)也在椭圆上，
所以椭圆关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称.
同理，令 y=0，得 x=±a，因此A1(-a, 0)， A2(a, 0)，是椭圆与 y轴的两个交点：
二.椭圆的简单几何性质
3、顶点：几何上，称对称轴与图像的交点为顶点；椭圆有两条对称轴，它们与椭圆共有四个交点，这四个点就是椭圆的顶点。
B1(0, -b), B2(0, b) , 是椭圆与y轴的两个交点.
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b.
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
二.椭圆的简单几何性质
4、离心率：
观察上图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同 . 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平;
二.椭圆的简单几何性质
4、离心率：
(1) 离心率的取值范围：
因为a > c > 0，所以0 < e < 1.
(2) 离心率对椭圆形状的影响：
① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁；
② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆；
③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁.
④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆.
焦点位置 x轴 y轴
方程
图形
范围
对称性 顶点
离心率 关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称.
e越接近1，椭圆越“扁”；e越接近0，椭圆变“圆”.
二.椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的基本要素：
2. 数学思想方法：
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量）
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：对称轴（共两条线）
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题;
（2）分类讨论的数学思想 .
二.椭圆的简单几何性质
紧抓“定义 方程 图像 性质”这条主线，着力实现四者之间的相互转化。
三.题型与方法
题型一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
注：“定义、方程、图像、性质”是椭圆的全部基础内容，实现四者之间的相互转化是解决椭圆问题的基本方法。
由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.
三.题型与方法
三.题型与方法
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
解:(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
若焦点在y轴上，则b＝3，
解得a2＝27.
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
三.题型与方法
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
跟踪训练:2.求出满足下列条件的椭圆的标准方程．短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3。
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
求椭圆离心率及范围的两种方法
若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
(2)方程法：建立关于a，c的齐次方程或不等式求解。
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
解：由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，
三.题型与方法
题型三 求椭圆的离心率
四.达标训练
A
C
A
四.达标训练
①
四.达标训练