四川省达州市大竹县文星中学2015届高三下学期开学调研考试数学（文）试题（含解析）（含解析）

文星中学2015届高三下学期开学调研考试数学文试题
考试时间：120分钟；满分150分
第I卷（选择题）
一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查集合间的基本关系。Q=｛x︱｝，所以。选B。
2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　)
A. B．
C．2 D．－1＋3i
【答案】　B
【解析】　原式＝|－1＋3i|＝＝.
3．命题“对任意都有”的否定是
A.对任意，都有 B.不存在，使得
C.存在，使得 D.存在，使得
【答案】D
【解析】本题考查本题考查全称量词与存在量词。根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得.所以选D.
4．函数的图象大致为
【答案】A
【解析】本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。首先由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C、D，又由时，知，所以选A.
5．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是
A.减函数且 B.减函数且
C.增函数且 D.增函数且
【答案】B
【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性。
由此可知函数的周期为2，根据复合函数判断可知函数利用函数和周期性可知B正确.
6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n)⊥(m－n)，则λ＝
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
【答案】B
【解析】本题考查平面向量的数量积。由题意得：，即，解得；选B。
7．已知实数满足约束条件，则的最大值等于
A.9 B.12 C.27 D.36
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划问题.
作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点A处取到最大值，解得故选B。
8．已知两条直线和,与函数的图象从左至右相交于点,与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查函数的图像与性质。令A,B,C,D各点的横坐标分别为，可得：，，，；即，，，；所以，；所以，当m=1时，等号成立；所以的最小值为8。选B。
9．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查的知识点为三视图求面积、体积.由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥,
故本题正确答案是C
10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是
A.21 B.39 C.81 D.102
【答案】D
【解析】本题考查流程图。循环1次，s=3，n=2；循环2次，s=21，n=3；循环3次，s=102，n=4，此时不满足条件，结束循环，输出102.选D。
11．设，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查指数与对数的比较大小。，，，所以；选B。
12．下列说法正确的是
A.若，则
B.函数的零点落在区间内
C.函数的最小值为2
D.若，则直线与直线互相平行
【答案】B
【解析】本题考查命题的真假。若a=1，b=-1，不等式不成立，排除A；，而且函数在区间内单增，所以在区间内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则，不满足题意，C错；若，则直线重合，D错；所以选B。
第II卷（非选择题）
二、填空题：共4题 每题4分 共16分
13．已知集合，，则?????????? .
【答案】.
【解析】本题考查交集及其运算；，.
14．已知函数的最大值为1，则　　　　.
【答案】
【解析】本题考查三角函数的性质与三角变换。=；又因为函数的最大值为1，所以，解得。
15．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为???
【答案】
【解析】本题主要考查平面向量的运算.
因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，
因为
故
所以在上的投影为.
16．给出定义：若，则叫做实数的“亲密函数”，记作，在此基础上给出下列函数的四个命题：
①函数在上是增函数；②函数是周期函数，最小正周期为1；
③函数的图像关于直线对称；
④当时，函数有两个零点.
其中正确命题的序号是????????????????????????????
【答案】②③④
【解析】本题主要考查新定义函数，函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像，从中体会数形结合思想的应用.依题可知当时，；当时，；当时，，作出函数的图像，
可知①错，②，③对，再作出的图像可判断有两个交点，④对.
三、解答题：共6题 每题12分 共74分
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、.已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)若，求△ABC的面积S.
【答案】(1)由可得b(cosA﹣2cosC)+(a﹣2c)cosB=0
根据正弦定理可得，sinBcosA﹣2sinBcosC+sinAcosB﹣2sinCcosB=0
∴(sinBcosA﹣sinAcosB)﹣2(sinBcosC+sinCcosB)=0
∴sin(A+B)﹣2sin(B+C)=0
∵A+B+C=π
∴sinC﹣2sinA=0
(2)因为a=2，，所以b=3，
所以，
所以△ABC的面积为
【解析】主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用；(1)由可得b(cosA﹣2cosC)+(a﹣2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA﹣2sinBcosC+sinAcosB﹣2sinCcosB，化简即可.(2)由(1)c=2a可求c，由可求b，结合余弦定理可求cosA，利用同角平方关系可求sinA，代入三角形的面积公式可求.
18．（12分）已知数列满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
【答案】解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，又因为，所以.所以数列是首项为2，公差为1的等差数列.
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，所以.
（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，，
所以??????? ，??? ①
①得?? ????②
②—①得?
=.
【解析】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.
19．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F,G,H分别为PB，EB，PC的中点。
（1）求证：FG∥平面PED；
（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明：因为F,G分别为PB，EB的中点，所以FG∥PE.
又平面，PE平面PED，
所以FG∥平面PED
（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以PD⊥平面ABCD
因为AD,CD在平面ABCD内，所以PD⊥AD,PD⊥CD.
?四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD。
以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为轴, 轴,轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1。 因为 AD=PD=2EA，
，，，，，,
,.
因为F,G,H分别为PB，EB，PC的中点，
，，,,
（解法一)设为平面的一个法向量，则,
即，令，得.
设为平面的一个法向量,则,
即，令，得.
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）
（解法二) ，,
是平面一个法向量.
，,
是平面平面一个法向量.
平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
（解法三) 延长到使得连
，EA∥，
四边形是平行四边形，PQ∥AD
四边形是正方形，所以BC∥AD,PQ∥BC.
因为F,H分别为，的中点，所以FH∥BC,FH∥PQ.
因为FH平面PED，平面， ∥平面PED.
平面平面FGH∥平面
故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.
平面
平面
平面是二面角的平面角.
平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
【解析】本题考查线面平行，空间角问题。
20．（10分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【答案】　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
(2)解法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(·)＝P()·P()＝×＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(·)＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
解法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.
21．（13分）抛物线:（）,焦点为，直线?交抛物线于、两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点.
（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；
（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求
出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的焦点。，得。
（或利用得，或（舍去））
(2)联立方程，消去得，
设，则（），
是线段的中点，，即，
，得，
若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，
即，
结合（）化简得，
即，或（舍去），
存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。
【解析】本题考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
22．（14分）已知函数（t为参数）
（1）写出函数的定义域和值域；
（2）当时，求函数解析式中参数t的取值范围；
（3）当时，如果，求参数t的取值范围。
【答案】（1）函数的定义域为（﹣1,+∞），值域为R。
（2）∵2x+t＞0，所以t >-2x，x∈[0,1]，∴t >0。
（3）∵当x∈[0,1]时，，所以∴
令，则，
故函数为减函数，故当x=1时，函数取得最大值为1，
∴t ≥1。
【解析】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用。