四川省达州市大竹县文星中学2014-2015学年高二下学期开学调研考试数学试题（含解析）

文星中学2014-2015学年高二下学期开学调研考试
数学试题
考试时间：120分钟；满分150分
第I卷（选择题）
一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．在中，
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】根据正弦定理可知，，结合已知条件,因为，故可知答案为D.
2．若等比数列的前项和，则?=
A.0 B.-1 C.1 D.3
【答案】B
【解析】∵，，(n≥2，n∈N+)，∴，由通项得，公比为3，∴，又，∴r=-1.故选B
3．下列函数中,最小值为 2 是
A.y=,x∈R且x≠0 B.y=lg x+,1C.y=3x + 3-x,x∈R D.y=sin x+,0【答案】C
【解析】选项A:y没有最小值;选项B:∵10,∴y=3x+≥2,当且仅当x=0时,ymin = 2;选项D:∵00.∴y≥2,当且仅当sin x=,即sin x = 1,即x=时等号成立,但不满足 04．设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
【答案】B
【解析】当a≥1时,集合A={x|x≤1或x≥a}.因为A∪B=R,且集合B={x| x≥a-1},所以a-1≤1,解得a≤2,即1≤a≤2;当a<1时,集合A={x|x≤a或x≥1},且 a-1≤a,从而A∪B=R恒成立.综上可得a≤2.
5．椭圆?的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查椭圆的离心率的计算。因为a2=16,b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,离心率e==
6．抛物线焦点坐标是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查抛物线的焦点坐标。先化成标准形即为所求。
7．已知椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的几何性质。由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得(2，2)在椭圆C：.利用e=，即可求得椭圆方程.由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴(2，2)在椭圆上，∴，∵e=，
∴，∴a2=4b2，∴a2=20，b2=5，∴椭圆方程为
A.与是异面直线 B.平面
C.，为异面直线，且 D.平面
【答案】C
【解析】本题考查了线面位置关系的判断.选项 C：三棱柱中，底面是互相平行的，又E在边BC上，所以，无交点，故是异面直线，又底面三角形是正三角形，是中点，所以AE⊥BC，BC//B1C1 AE⊥B1C1，显然选项C正确；
选项 A：是中点,显然与是共面的直线；此选项错误；
选项 B：若平面，则AC⊥AB,而∠CAB=60°，显然是矛盾的，此选项错误；
9．如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为(??? )
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】本题考查了四点共面；棱柱的结构特征.连接,
由是正方体，得面.
因为面，所以,所以与共面
因为都在平面，所以点在线段上，
则点到点距离的最小值为由向作垂线，即为的一条高
是以边长为的等边三角形，所以高为
故选B
10．下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质.由题意，在R上递增，故成立，而在定义域内递减，故成立，对于成立，故选D.
11．不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查一元二次不等式的求解..选A.
12．函数若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查一元二次不等式的求解，指数的运算.由题意得或，所以或，解得或，所以.选D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：共5题 每题5分 共25分
13．在△ABC中，,则△ABC的面积等于_____.
【答案】
【解析】本题考查正弦定理的应用及三角形面积的求解.由正弦定理可得,故,故B=90°,则C=30°,△ABC的面积为.
14．已知数列前项和为，，则__________.
【答案】
【解析】根据题意，由于，则可知，则可知，则当n=1时，；当时，则可知，那么可知
15．已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为???????? .
【答案】
16．将边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：
①面是等边三角形；? ②；? ③三棱锥的体积是.
其中正确命题的序号是 ??????????.(写出所有正确命题的序号)
【答案】
三、解答题：共6题 共74分
18．(本题12分)已知直线经过点()，其倾斜角是．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
【答案】(1)根据题意，直线经过点，其倾斜角是．
∵直线的斜率tan且直线过点() ， 由直线的点斜式方程有：化简得直线的方程为：令,令即直线在y轴、x轴的截距分别为-2，.
(2)设直线l与两坐标轴围成三角形的面积为s，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积
【解析】本题主要考查直线方程以及直线与坐标轴围成的面积.
19．(本题12分)已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，求数列的前n项和.
【答案】(1) 设等比数列的公比为，有，
解得，所以；
(2) 由(1)知，有，
从而.
【解析】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和.解题思路如下:(1)根据已知条件建立公比与首项的方程组即可;(2)先求出bn的通项公式,再利用等差数列的求和公式即可.
20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线交于A，B两点，且求的值.
【答案】(Ⅰ)根据题意，由于曲线与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为因为曲线与坐标轴的交点都在圆C上.利用对称性，故可设C的圆心为(3，t)，则有解得t=1.
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
(Ⅱ)设A()，B()，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式由韦达定理可知……①
因为
故有……②
又
……③
将式①③代入②式得a=-1，并且经过验证可知满足题意，故a=-1
【解析】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型。
21．(本题12分)已知圆， 为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为.
(1)若点运动到处，求此时切线的方程；
(2)求满足条件的点的轨迹方程.
【答案】把圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
讨论直线的斜率是否存在，分为两类：
当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1， C到l的距离d＝2＝r，满足条件.
②当l的斜率存在时，设斜率为k，由点斜式方程得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，结合直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于圆的半径，
则?解得k＝－
∴l的方程为y－3＝－?(x－1)，即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则根据，利用切线段的长度与圆的半径以及圆心到点P的距离构成了勾股定理可知，|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋ (y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，
∵|PM|＝|PO|.
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
化简整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
【解析】本题主要考查用点斜式求直线的方程，注意分类讨论；直线和圆相切的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及求轨迹方程的方法，属于中档题
22．(本题12分)某人年初用98万元购买了一条渔船,第一年各种费用支出为12万元,以后每年都增加4万元,而每年捕鱼收益为50万元.
(1)第几年他开始获利?
(2)若干年后,船主准备处理这条渔船,有两种方案:
①年平均获利最大时,以26万元出售这条渔船;②总收入最多时,以8万元出售这条渔船.
请你帮他做出决策.
【答案】(1)每年的费用支出是以12为首项,4为公差的等差数列,纯收入与年数n的关系为f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=-2n2+40n-98.
由题设知,f(n)>0,即-2n2+40n-98>0,解得10-(2)方案一　年平均获利为=40-2(n+)≤40-2×14=12,当n=,即n=7时,等号成立,即前7年年平均获利最大,此时出售渔船,总收入为12×7+26=110(万元).
方案二　f(n)=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,当n=10时,f(n)取得最大值,为102,此时出售渔船,总收入为102+8=110(万元).
这两种方案的总收入均为110万元,而方案一只要用7年时间,而方案二要用10年时间,所以建议船主选择方案一处理这条渔船.
【解析】无
23．(本题14分)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率，过点和的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点，是否存在k的值，使得直线与椭圆交于C、D两点.且,并说明理由.
【答案】(1)因为直线过点和，由截距式得AB方程为：，整理得：.因为椭圆的离心率为，原点到直线的距离为，所以可得：　，解得所以椭圆方程为.
(2)假设存在这样的k值，
与椭圆方程联立，消去y得.
因为直线和椭圆有两个交点，所以
设点，、，，由根与系数的关系得：
因为直线的斜率为，直线的斜率为
当CE⊥DE时，有，即.
而.
所以有：.
即
整理解得.经验证满足题意.
综上可知，存在，使得CE⊥DE
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质以及直线和椭圆的位置关系.