重庆重点学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·重庆市开学考） 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：不是轴对称图形，不合题意；
B：不是轴对称图形，不合题意；
C：不是轴对称图形，不合题意；
D：是轴对称图形，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查轴对称图形的定义。 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.
2．（2023九上·重庆市开学考） 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
∵
∴ 2-x＞0
∴ x＜2
故答案为A
【分析】本题考查函数自变量的取值范围。当解析式为整式 时，自变量的取值范围是 全体实数 ；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
3．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
4．（2023九上·重庆市开学考） 进入月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若月第周营业收入为亿元，月第周的营业收入为亿元，设平均每周的增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】根据一元二次方程应用平均增长率的公式a（1+x） =b可得1.3（1+x） =2
故答案为B
【分析】本题考查一元二次方程的应用平均增长率的问题。根据基数，增长时间和增长后的数据，可列出方程a（1+x） =b，其中a为基数，x为平均增长率，b为增长后的数，2代表连续2年增长。
5．（2023九上·重庆市开学考）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】
当a＞0，b＞0时，一次函数y=ax-b过第一、三、四象限，反比例函数过第一、三象限；
故答案为A
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质。遇到此类型题，假设系数的正负，可得出正确结果。
6．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形；相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴ ，
∴
∵
∴
故答案为B
【分析】本题考查位似图形的性质。 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。 位似比，指的是新图形与参照的原图形之间的相似比，位似比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
7．（2023九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，AO=CO，AB=DC=1，∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
∵ ∠BDC=∠ADB
∴ ∠BDC=60°
∴ BC=
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=∠BEA=45°
∴ BE=AB=1
∴ EC=
∵ F为AE的中点，AC=CO
∴ FO=
∴ FO=
故答案为D
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。熟悉矩形的边、角、对角线的性质是解题关键。
8．（2023九上·重庆市开学考）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走米当墩墩领先容融米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离米与它们出发时间分钟的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为米分钟
B．墩墩休息了分钟
C．第分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距米
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
A： 容融的速度为3600÷90=40米分钟，选项错误，不合题意；
B：墩墩休息的时间为1000÷40=25分钟；选项错误，不合题意；
C： 墩墩地速度=40+1000÷50=60米/分钟，50+25+（3600-60×50）÷60=85，第85分钟时，墩墩到达终点，选项错误，不合题意；
D：（90-85）×40=200， 领先者到达终点时，两者相距200米.
故答案为D
【分析】本题考查一次函数的应用---行程问题，理清题意，利用数形结合的思想来解答。
9．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在函数的图象上，，边在轴上，点为斜边的中点，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ 中，∠ACB=90°，D为AB中点
∴ DC=BD
∴ ∠DBC=∠DCB
∵ ∠DCB=∠ECO
∴ ADBC=∠ECO
∵ ∠EOC=∠ACB=90°
∴
∴
∴ EO×BC=AC×OC
∵的面积为
∴ EO×BC=AC×OC=6=
∵ 反比例函数 图象的一支在第一象限
∴ k=6
故答案为C
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定与性质。反比例中k的几何意义，即过函数上一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形面积为，是反比例常考的一个知识点。
10．（2023九上·重庆市开学考）对任意代数式，每个字母及其左边的符号不包括括号外的符号称为一个数，如：，其中称为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数”和“数”进行“换位思考”，得到：；又如对“数”和“数”进行“换位思考”，得到：下列说法：
代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到. 种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；定义新运算
【解析】【解答】
代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到种结果；∵括号前都是＋，换位后不影响，则选项正确，符合题意；
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b-（a+c-d-e）=-a+b-c+d+e；
当a、c“换位思考”，得c-（b+a-d-e）=-a-b+c+d+e；
当a、d“换位思考”，得-d-（b+c+a-e）=-a-b-c-d+e；
当a、e“换位思考”，得-e-（a+c-d+a）=-a-b-v+d-e；
当b、c“换位思考”，得a-（c+b-d-e）=a-b-c+d+e；
当b、d“换位思考”，得a-（-d+c+b-e）=a-b-c+d+e；
当b、e“换位思考”，得a-(-e+c-d+b)=a-b-c+d+e；
当c、d“换位思考”，得 a-(b-d+c-e)=a-b-c+d+e；
当c、e“换位思考”，得a-(b-e-d+c)=a-b-c+d+e；
当d、e“换位思考”，得 a-(b+c-e-d)=a-b-c+d+e；
化简后可以得到种结果；选项正确，符合题意
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b+[a-(c-d-e)]=a+b-c+d+e；
当a、c“换位思考”，得c+[b-(a-d-e)]=-a+b+c-d-e
当a、d“换位思考”，得-d+[b-(c+a-e)]=-a+b-c+d-e
当a、e“换位思考”，得-e+[b-(c-d+a)]=-a+b-c+d-e
当b、c“换位思考”，得a+[c-(b-d-e)]=a-b+c+d+e
当b、d“换位思考”，得a+[-d-(c+b-e)]=a-b-c-d+e
当b、e“换位思考”，得a+[-e-(c-d+b)]=a-b-c+d-e
当c、d“换位思考”，得 a+[b-(-d+c-e)]=a+b-c+d+e
当c、e“换位思考”，得a+[b-(-e-d+c]=a+b-c+d+e
当d、e“换位思考”，得 a+[b-(c-e-d)]=a+b-c+d+e
化简后可以得到. 种结果；则选项正确，符合题意；
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b+[a+c-(d-e)]=a+b+c-d+e
当a、c“换位思考”，得c+[b+a-(d-e)]=a+b+c-d+e
当a、d“换位思考”，得d+[b+c-(a-e)]=-a+b+c+d+e
当a、e“换位思考”，得-e+[b+c-(d+a)]=-a+b+c-d-e
当b、c“换位思考”，得a+[c+b-(d-e)]=a+b+c-d+e
当b、d“换位思考”，得a+[d+c-(b-e)]=a-b+c+d+e
当b、e“换位思考”，得a+[-e+c-(d+b]=a-b+c-d-e
当c、d“换位思考”，得a+[b+d-(c-e)]=a+b-c+d+e
当c、e“换位思考”，得a+[b-e-(d+c)]=a+b-c-d-e
当d、e“换位思考”，得 a+[b+c-(-e+d)]=a+b+c-d+e
化简后可以得到7钟结果；则选项错误，不合题意；
故答案为C
【分析】本题考查新定义和去括号原则。根据题意，分别讨论“换位思考”的结果即可。
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2023九上·重庆市开学考） 计算： ．
【答案】
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【解答】
=-1-2-2+
=-5+
【分析】本题考查实数的运算，注意区别（-1） 和-1 ；负整数指数幂，绝对值运算时要判断绝对值内的数的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对于代数式，脱去绝对值时要注意带括号。
12．（2023九上·重庆市开学考）现有三张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足为偶数的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】从中抽取一张，放回后再随机抽取一张，则可能的结果一共有9种，其中m·n为偶数的情况有5种，则 足为偶数的概率为.
奇 偶 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇
【分析】本题考查树状图法或者列法表示概率。根据题意，用树状图表示出所有的结果，找出符合条件的结果，求出概率即可。
13．（2023九上·重庆市开学考） 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值 ．
【答案】2037
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵，是方程的两个实数根，
∴m+n=2
∵
=+7m+2023
=7n+7m+2023
=7（m+n）+2023
=7×2+2023
=2037
【分析】本题考查根与一元二次方程的关系、韦达定理和在整体代入的思想。一元二次方程的根满足方程，代入后得出关于根的等式，变形后代入所求代数式中，再根据韦达定理（两根之和=，两根之积=）得出两根之和，代入所求代数式即可。
14．（2023九上·重庆市开学考） 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．
【答案】-8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】如图所示：过F作FC⊥x轴于C，
设E（x，）
∵ 点E、F在反比例函数 上，且EA⊥x轴
∴ k＜0，A（x，0），FC×OC=-k，
∵ F为OB中点
∴ FC为的中位线
∴ AC=CO
∴ C（，0），F（，）
∴ EA=，AC=-，FC=
∵四边形的面积为，
∴=+=+
= =10
解得：k=-8
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义和三角形的中位线及三角形的面积计算。根据题意，写出E、F的坐标，作垂线后，根据中位线表示出C的坐标，则四边形的面积可表示出来，则可求出k值。
15．（2023九上·重庆市开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】
∵一次函数的图象分别与、轴交于点、，
∴ 令x=0，则y=8，则B（0，8）；令y=0，则x=6，则A（6，0）
∵ M是AB的中点
∴ M（3，4）
∴
∵ MN⊥OM
∴
∴
∴ N（0，）
∴ MN==
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、两点间的距离公式等知识。先根据一次函数求出A、B点的坐标，结合M中点，得M坐标，可知直线OM解析式，根据MN⊥OM，得直线MN解析式k值，代入点M坐标，可得MN解析式，求出N坐标，代入两点间距离公式即可。两直线平行，则两直线解析式自变量系数.当A（），B（），则AB两点间距离=
16．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点为上一点，连接交于点，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
∵在中，，，将沿向下翻折得到，
∴ ∠CBC'=80°， 四边形ABCD为菱形
如图所示，过C作CG⊥AB于G，过点B作BH⊥DC于H
∵ BD=4
∴ BH=
∵ ∠EBC=∠ABC
∴ CE=BE
∵ ∠CEG=∠BEH，∠CGE=∠BHE=90°
∴
∴ CG=BH=
∵ AE=6
∴的面积=
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、勾股定理、翻折的性质。根据题意，求 的面积，需知道高，作垂直。根据 ∠EBC=∠ABC求出CE=BE，结合翻折的性质、∠ABC和BD长，可得BH长，证明，可得高CG，即可求三角形面积。构造全等三角形是解题关键。
17．（2023九上·重庆市开学考） 若关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】8
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解：由①得：x≤2
由②得：x≥a-5
则不等式组的解集是a-5≤x≤2
∵不等式组至少有个整数解
∴ a-5≤-1
解得：a≤4
关于的分式方程的解为非负数
解：
两边同乘1-y，得：4y-2a=2-2y+y+1
解得：
则
解得：a≥
∵ 1-y≠0
∴≠0
∴ a≠1
综上，a的取值范围是且a≠1
∴ 满足条件的整数 是-1，0，2，3，4
则所有满足条件的整数的值之和为 8
【分析】本题考查不等式组的特殊解和分式方程的特殊解。根据不等式组的特殊解，求出a的取值范围，根据分式方程的特殊解，求出a的取值范围，注意要考虑分式方程的根有意义，即分母不等于0的情况，两个范围结合，找出符合条件的a的值即可求和。
18．（2023九上·重庆市开学考）对于一个各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的“魅力数”，并规定例如：时，其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，重新组合后的数为、、、、、，因为的值最小，所以是的“魅力数”，此时，则 ，若、都是各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，且，，其中、均为整数若能被整除，能被整除，则的最大值为 ．
【答案】64；121
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法；定义新运算；整除的意义
【解析】【解答】当P=248时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是6，2，4，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是246，264，426，462，624，642，
∵ 4×2-4×6的值最小
∴ 426是248的“魅力数”
∴ K（248）=
∵ ，
∴，
∵能被5整除，
∴能被5整除，
∵ 1≤a≤9，a为整数
∴ a=4或9
∵能被整除，
∴能被整除，
∵ 1≤b≤4，b为整数
∴ b=1
∴ t=124或129
当t=124时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是3，6，2，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是236，263，326，362，623，632，
∵ 3×2-3×6的值最小
∴ 326是124的“魅力数”
∴ K（124）=；
当t=129时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是3，6，7，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是367，376，637，673，736，763
∵ 6×3-6×7的值最小
∴ 637是124的“魅力数”
∴ K（129）=
∴ 的最大值为 100
【分析】本题考查新定义应用，有理数的计算，有理数的整除，理解题中概念是关键，（1）根据要求，利用“魅力数”求出248的“魅力数”，再根据 计算K（248）即可；根据s，t，求出s+t和s-t，再根据 能被整除和能被整除，求出a，b的值，则可求出t的值，可求出t的“魅力数”，再求出分别计算即可。
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·重庆市开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）整理，得：，
，
或，
解得，．
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查分式的化简和解一元二次方程。（1）在进行分式化简时，先把除法转化成乘法，再通分，进行因式分解，约分化简即可；（2）解一元二次方程时，去括号后，移项，整理成一般式，再选择合适的方法，因式分解法更适合，求解即可，
20．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，过点作交于点点是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点，连接，保留作图痕迹，不写作法，不下结论
（2）求证：四边形是菱形．
证明：，，
，
．
在和中，，
≌，
．
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，
（2）；；；．
【知识点】菱形的判定；作图-角
【解析】【分析】本题考查作图---作已知角的等角和菱形的判定。
（1）熟悉作已知角等角的作图过程，
（2）根据 ，得，则．可证≌，得．
根据得，可证四边形是平行四边形．则四边形是菱形．
21．（2023九上·重庆市开学考）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
：，：，：，：，：．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的个分数分别为：，，，，，，，，，．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
七年级
八年级
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由说明一条理由即可；
（3）若分数不低于分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【答案】（1）解：由题干数据可知，
，
，
七年级等级的学生人数为：人，等级的学生人数为：人，
补全条形统计图如图：
答：，；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）
人．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图 、中位数、众数及意义。（1）八年级的中位数在C等级中，C等级的分数按从小到大的顺序，处于中间位置的是73和73，则中位数a=是；八年级A等级和B等级的占比相同，用1减去C、D、E的占比后除以2即可得m的值，根据七年级D等级的占比，可得人数，则可得E等级人数；（2）平均数、众数相同时，比较中位数即可；（3）计算出调查样本七、八年级不低于80分的人数占比，即可知该校七八年级所有学生符合要求的人数。
22．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．
（1）若，求的长度；
（2）若，求．
【答案】（1）解：如图所示：由题知：、和是直角三角形
∵ tanC=，DE=2
∴ CE=4，
∵ D为BC中点，DE⊥AC
∴ CE=EF=BF=4
∴ CB=
∴ AB=
（2）解：如图所示：过D作DH⊥BF于H
∴ 四边形DEFH为矩形
∴ DH=EF，
∵ ∠C=30°，DE⊥AC，DE=2
∴ CE=，CD=4，
∵ D为BC的中点
∴ CE=EF=DH=，BF=4
∴ BE==
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】本题考查直角三角形锐角三角函数和勾股定理。（1）根据tanC=和DE=2得CE=EF=BF=4，勾股定理得CB，则可得AB；（2）根据 和DE⊥AC得，，得，则可知。
23．（2023九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，动点以每秒个单位的速度，从点出发，沿折线方向运动，当点到达点时停止运动，设运动时间为，动点是射线上一点，且，记的面积为，的面积为．
（1）请直接写出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ；
（3）结合函数图象，估计当时的近似值近似值保留一位小数，误差不超过
【答案】（1）解：四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
过点向作垂线交于点，
过点向作垂线交于点，
与是等腰直角三角形，当在运动时．如图，
动点以每秒个单位的速度，
，
，
，
当点在上运动时．如图，
，
，
，
，
，点到的距离为，
，
．
（2）图象如图， 函数是分段函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小．
（3）结合函数图象，当时，函数交于一点，即．
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；一次函数-动态几何问题；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形、一次函数、反比例函数和动点几何等知识，熟悉正方形的性质，运用分类讨论的思想解决问题。（1） 根据正方形ABCD得是等腰直角三角形，则，过点向作垂线交于点，过点向作垂线交于点可知与是等腰直角三角形，当在运动时．则，可知
当点在上运动时．，有，则，
根据，，
根据，点到的距离为，得，则．
（2）描述增减性时，注意自变量的范围。（3）结合函数图象，可知x=2时，
24．（2023九上·重庆市开学考）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看今年月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共人．
（1）求月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少，在个小时内，这两个接待中心共接待名游客，求的值．
【答案】（1）解：设月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，
根据题意得：，
解得：．
答：月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用。（1）根据北坡和西坡两个地方接待人数的数量关系，可列二元一次方程组，求解即可；（2）根据题意，列出一元二次方程，求解，注意结合实际问题验根，正确取值。
25．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与直线交于点，已知，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上一动点且位于点的左侧，、为轴上两个动点，点位于点上方，且，当时，求最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时停止运动，已知动点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
，
设，
当时，，
，
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
轴，，
，
，
最小值为；
（3）解：存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，
，，，
直线沿直线方向平移，
平移后直线的解析式为，
当经过原点时，，
解得，
，，
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标或；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标为或；
综上所述：点横坐标为或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、最短路径、存在图形的点的坐标等知识，理解最短路径的依据，掌握最短路径的辅助线思路，分类讨论存在图形的情况是解题关键。
（1）根据和 得 和，则 ；
（2） 过点作轴交于点，
根据得，设，根据，得，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，得，四边形是平行四边形，则，，
，根据轴，得，
可知最小值 ；
（3）设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，得，，，根据平移后的解析式得，，设，，当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；综上所述：可得N点横坐标.
26．（2023九上·重庆市开学考）在正方形中，、分别为边上的两点，连接、并延长交于点，连接，为上一点，连接、．
（1）如图，若为的中点，且，，求线段的长；
（2）如图，过点作，且，连接，刚好交的中点，当时，求证：；
（3）如图，在的条件下，点为线段上一动点，连接，作于点，将沿翻折得到，点、分别为线段、上两点，且，，连接、交于点，连接，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，
，舍去，
；
（2）证明：如图，
作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
作，交于，作于，作于，
∽，∽，，
，∽，
，，
，
，
，
当最大时，最大，的面积最大，
，
在以为直径的圆上运动，
当时，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的性质；三角形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定及动点问题。
（1） 根据正方形ABCD得，，根据是的中点得，
设，则，根据可知；
（2）作于
根据正方形ABCD得，根据得，
结合知，根据得，根据G是CH的中点得可证≌，再证≌，可得；
（3） 作，交BR于T，作于X，作于V，得∽，，，则，，得，
则，，则当VN'最大时，OX最大，的面积最大，根据知在以为直径的圆上运动，当时，，
则可得．
1 / 1重庆重点学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·重庆市开学考） 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·重庆市开学考） 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．（2023九上·重庆市开学考） 进入月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若月第周营业收入为亿元，月第周的营业收入为亿元，设平均每周的增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·重庆市开学考）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·重庆市开学考）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走米当墩墩领先容融米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离米与它们出发时间分钟的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为米分钟
B．墩墩休息了分钟
C．第分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距米
9．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在函数的图象上，，边在轴上，点为斜边的中点，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·重庆市开学考）对任意代数式，每个字母及其左边的符号不包括括号外的符号称为一个数，如：，其中称为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数”和“数”进行“换位思考”，得到：；又如对“数”和“数”进行“换位思考”，得到：下列说法：
代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到. 种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2023九上·重庆市开学考） 计算： ．
12．（2023九上·重庆市开学考）现有三张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足为偶数的概率为 ．
13．（2023九上·重庆市开学考） 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值 ．
14．（2023九上·重庆市开学考） 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．
15．（2023九上·重庆市开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ．
16．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点为上一点，连接交于点，若，，，则的面积为 ．
17．（2023九上·重庆市开学考） 若关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
18．（2023九上·重庆市开学考）对于一个各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的“魅力数”，并规定例如：时，其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，重新组合后的数为、、、、、，因为的值最小，所以是的“魅力数”，此时，则 ，若、都是各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，且，，其中、均为整数若能被整除，能被整除，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·重庆市开学考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，过点作交于点点是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点，连接，保留作图痕迹，不写作法，不下结论
（2）求证：四边形是菱形．
证明：，，
，
．
在和中，，
≌，
．
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
21．（2023九上·重庆市开学考）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
：，：，：，：，：．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的个分数分别为：，，，，，，，，，．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
七年级
八年级
（1）直接写出，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由说明一条理由即可；
（3）若分数不低于分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
22．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．
（1）若，求的长度；
（2）若，求．
23．（2023九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，动点以每秒个单位的速度，从点出发，沿折线方向运动，当点到达点时停止运动，设运动时间为，动点是射线上一点，且，记的面积为，的面积为．
（1）请直接写出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ；
（3）结合函数图象，估计当时的近似值近似值保留一位小数，误差不超过
24．（2023九上·重庆市开学考）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看今年月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共人．
（1）求月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少，在个小时内，这两个接待中心共接待名游客，求的值．
25．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与直线交于点，已知，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上一动点且位于点的左侧，、为轴上两个动点，点位于点上方，且，当时，求最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时停止运动，已知动点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2023九上·重庆市开学考）在正方形中，、分别为边上的两点，连接、并延长交于点，连接，为上一点，连接、．
（1）如图，若为的中点，且，，求线段的长；
（2）如图，过点作，且，连接，刚好交的中点，当时，求证：；
（3）如图，在的条件下，点为线段上一动点，连接，作于点，将沿翻折得到，点、分别为线段、上两点，且，，连接、交于点，连接，请直接写出面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：不是轴对称图形，不合题意；
B：不是轴对称图形，不合题意；
C：不是轴对称图形，不合题意；
D：是轴对称图形，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查轴对称图形的定义。 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.
2．【答案】A
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
∵
∴ 2-x＞0
∴ x＜2
故答案为A
【分析】本题考查函数自变量的取值范围。当解析式为整式 时，自变量的取值范围是 全体实数 ；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
3．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
4．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】根据一元二次方程应用平均增长率的公式a（1+x） =b可得1.3（1+x） =2
故答案为B
【分析】本题考查一元二次方程的应用平均增长率的问题。根据基数，增长时间和增长后的数据，可列出方程a（1+x） =b，其中a为基数，x为平均增长率，b为增长后的数，2代表连续2年增长。
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】
当a＞0，b＞0时，一次函数y=ax-b过第一、三、四象限，反比例函数过第一、三象限；
故答案为A
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质。遇到此类型题，假设系数的正负，可得出正确结果。
6．【答案】B
【知识点】相似图形；相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴ ，
∴
∵
∴
故答案为B
【分析】本题考查位似图形的性质。 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。 位似比，指的是新图形与参照的原图形之间的相似比，位似比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，AO=CO，AB=DC=1，∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
∵ ∠BDC=∠ADB
∴ ∠BDC=60°
∴ BC=
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=∠BEA=45°
∴ BE=AB=1
∴ EC=
∵ F为AE的中点，AC=CO
∴ FO=
∴ FO=
故答案为D
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。熟悉矩形的边、角、对角线的性质是解题关键。
8．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
A： 容融的速度为3600÷90=40米分钟，选项错误，不合题意；
B：墩墩休息的时间为1000÷40=25分钟；选项错误，不合题意；
C： 墩墩地速度=40+1000÷50=60米/分钟，50+25+（3600-60×50）÷60=85，第85分钟时，墩墩到达终点，选项错误，不合题意；
D：（90-85）×40=200， 领先者到达终点时，两者相距200米.
故答案为D
【分析】本题考查一次函数的应用---行程问题，理清题意，利用数形结合的思想来解答。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ 中，∠ACB=90°，D为AB中点
∴ DC=BD
∴ ∠DBC=∠DCB
∵ ∠DCB=∠ECO
∴ ADBC=∠ECO
∵ ∠EOC=∠ACB=90°
∴
∴
∴ EO×BC=AC×OC
∵的面积为
∴ EO×BC=AC×OC=6=
∵ 反比例函数 图象的一支在第一象限
∴ k=6
故答案为C
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定与性质。反比例中k的几何意义，即过函数上一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形面积为，是反比例常考的一个知识点。
10．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；定义新运算
【解析】【解答】
代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到种结果；∵括号前都是＋，换位后不影响，则选项正确，符合题意；
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b-（a+c-d-e）=-a+b-c+d+e；
当a、c“换位思考”，得c-（b+a-d-e）=-a-b+c+d+e；
当a、d“换位思考”，得-d-（b+c+a-e）=-a-b-c-d+e；
当a、e“换位思考”，得-e-（a+c-d+a）=-a-b-v+d-e；
当b、c“换位思考”，得a-（c+b-d-e）=a-b-c+d+e；
当b、d“换位思考”，得a-（-d+c+b-e）=a-b-c+d+e；
当b、e“换位思考”，得a-(-e+c-d+b)=a-b-c+d+e；
当c、d“换位思考”，得 a-(b-d+c-e)=a-b-c+d+e；
当c、e“换位思考”，得a-(b-e-d+c)=a-b-c+d+e；
当d、e“换位思考”，得 a-(b+c-e-d)=a-b-c+d+e；
化简后可以得到种结果；选项正确，符合题意
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b+[a-(c-d-e)]=a+b-c+d+e；
当a、c“换位思考”，得c+[b-(a-d-e)]=-a+b+c-d-e
当a、d“换位思考”，得-d+[b-(c+a-e)]=-a+b-c+d-e
当a、e“换位思考”，得-e+[b-(c-d+a)]=-a+b-c+d-e
当b、c“换位思考”，得a+[c-(b-d-e)]=a-b+c+d+e
当b、d“换位思考”，得a+[-d-(c+b-e)]=a-b-c-d+e
当b、e“换位思考”，得a+[-e-(c-d+b)]=a-b-c+d-e
当c、d“换位思考”，得 a+[b-(-d+c-e)]=a+b-c+d+e
当c、e“换位思考”，得a+[b-(-e-d+c]=a+b-c+d+e
当d、e“换位思考”，得 a+[b-(c-e-d)]=a+b-c+d+e
化简后可以得到. 种结果；则选项正确，符合题意；
代数式进行一次“换位思考”，
当a、b“换位思考”，得b+[a+c-(d-e)]=a+b+c-d+e
当a、c“换位思考”，得c+[b+a-(d-e)]=a+b+c-d+e
当a、d“换位思考”，得d+[b+c-(a-e)]=-a+b+c+d+e
当a、e“换位思考”，得-e+[b+c-(d+a)]=-a+b+c-d-e
当b、c“换位思考”，得a+[c+b-(d-e)]=a+b+c-d+e
当b、d“换位思考”，得a+[d+c-(b-e)]=a-b+c+d+e
当b、e“换位思考”，得a+[-e+c-(d+b]=a-b+c-d-e
当c、d“换位思考”，得a+[b+d-(c-e)]=a+b-c+d+e
当c、e“换位思考”，得a+[b-e-(d+c)]=a+b-c-d-e
当d、e“换位思考”，得 a+[b+c-(-e+d)]=a+b+c-d+e
化简后可以得到7钟结果；则选项错误，不合题意；
故答案为C
【分析】本题考查新定义和去括号原则。根据题意，分别讨论“换位思考”的结果即可。
11．【答案】
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【解答】
=-1-2-2+
=-5+
【分析】本题考查实数的运算，注意区别（-1） 和-1 ；负整数指数幂，绝对值运算时要判断绝对值内的数的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对于代数式，脱去绝对值时要注意带括号。
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】从中抽取一张，放回后再随机抽取一张，则可能的结果一共有9种，其中m·n为偶数的情况有5种，则 足为偶数的概率为.
奇 偶 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇
【分析】本题考查树状图法或者列法表示概率。根据题意，用树状图表示出所有的结果，找出符合条件的结果，求出概率即可。
13．【答案】2037
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵，是方程的两个实数根，
∴m+n=2
∵
=+7m+2023
=7n+7m+2023
=7（m+n）+2023
=7×2+2023
=2037
【分析】本题考查根与一元二次方程的关系、韦达定理和在整体代入的思想。一元二次方程的根满足方程，代入后得出关于根的等式，变形后代入所求代数式中，再根据韦达定理（两根之和=，两根之积=）得出两根之和，代入所求代数式即可。
14．【答案】-8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】如图所示：过F作FC⊥x轴于C，
设E（x，）
∵ 点E、F在反比例函数 上，且EA⊥x轴
∴ k＜0，A（x，0），FC×OC=-k，
∵ F为OB中点
∴ FC为的中位线
∴ AC=CO
∴ C（，0），F（，）
∴ EA=，AC=-，FC=
∵四边形的面积为，
∴=+=+
= =10
解得：k=-8
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义和三角形的中位线及三角形的面积计算。根据题意，写出E、F的坐标，作垂线后，根据中位线表示出C的坐标，则四边形的面积可表示出来，则可求出k值。
15．【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】
∵一次函数的图象分别与、轴交于点、，
∴ 令x=0，则y=8，则B（0，8）；令y=0，则x=6，则A（6，0）
∵ M是AB的中点
∴ M（3，4）
∴
∵ MN⊥OM
∴
∴
∴ N（0，）
∴ MN==
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、两点间的距离公式等知识。先根据一次函数求出A、B点的坐标，结合M中点，得M坐标，可知直线OM解析式，根据MN⊥OM，得直线MN解析式k值，代入点M坐标，可得MN解析式，求出N坐标，代入两点间距离公式即可。两直线平行，则两直线解析式自变量系数.当A（），B（），则AB两点间距离=
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
∵在中，，，将沿向下翻折得到，
∴ ∠CBC'=80°， 四边形ABCD为菱形
如图所示，过C作CG⊥AB于G，过点B作BH⊥DC于H
∵ BD=4
∴ BH=
∵ ∠EBC=∠ABC
∴ CE=BE
∵ ∠CEG=∠BEH，∠CGE=∠BHE=90°
∴
∴ CG=BH=
∵ AE=6
∴的面积=
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、勾股定理、翻折的性质。根据题意，求 的面积，需知道高，作垂直。根据 ∠EBC=∠ABC求出CE=BE，结合翻折的性质、∠ABC和BD长，可得BH长，证明，可得高CG，即可求三角形面积。构造全等三角形是解题关键。
17．【答案】8
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解：由①得：x≤2
由②得：x≥a-5
则不等式组的解集是a-5≤x≤2
∵不等式组至少有个整数解
∴ a-5≤-1
解得：a≤4
关于的分式方程的解为非负数
解：
两边同乘1-y，得：4y-2a=2-2y+y+1
解得：
则
解得：a≥
∵ 1-y≠0
∴≠0
∴ a≠1
综上，a的取值范围是且a≠1
∴ 满足条件的整数 是-1，0，2，3，4
则所有满足条件的整数的值之和为 8
【分析】本题考查不等式组的特殊解和分式方程的特殊解。根据不等式组的特殊解，求出a的取值范围，根据分式方程的特殊解，求出a的取值范围，注意要考虑分式方程的根有意义，即分母不等于0的情况，两个范围结合，找出符合条件的a的值即可求和。
18．【答案】64；121
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法；定义新运算；整除的意义
【解析】【解答】当P=248时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是6，2，4，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是246，264，426，462，624，642，
∵ 4×2-4×6的值最小
∴ 426是248的“魅力数”
∴ K（248）=
∵ ，
∴，
∵能被5整除，
∴能被5整除，
∵ 1≤a≤9，a为整数
∴ a=4或9
∵能被整除，
∴能被整除，
∵ 1≤b≤4，b为整数
∴ b=1
∴ t=124或129
当t=124时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是3，6，2，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是236，263，326，362，623，632，
∵ 3×2-3×6的值最小
∴ 326是124的“魅力数”
∴ K（124）=；
当t=129时， 将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数是3，6，7，将这三个新数字重新组合成不同的三位数分别是367，376，637，673，736，763
∵ 6×3-6×7的值最小
∴ 637是124的“魅力数”
∴ K（129）=
∴ 的最大值为 100
【分析】本题考查新定义应用，有理数的计算，有理数的整除，理解题中概念是关键，（1）根据要求，利用“魅力数”求出248的“魅力数”，再根据 计算K（248）即可；根据s，t，求出s+t和s-t，再根据 能被整除和能被整除，求出a，b的值，则可求出t的值，可求出t的“魅力数”，再求出分别计算即可。
19．【答案】（1）解：
；
（2）整理，得：，
，
或，
解得，．
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查分式的化简和解一元二次方程。（1）在进行分式化简时，先把除法转化成乘法，再通分，进行因式分解，约分化简即可；（2）解一元二次方程时，去括号后，移项，整理成一般式，再选择合适的方法，因式分解法更适合，求解即可，
20．【答案】（1）解：如图，
（2）；；；．
【知识点】菱形的判定；作图-角
【解析】【分析】本题考查作图---作已知角的等角和菱形的判定。
（1）熟悉作已知角等角的作图过程，
（2）根据 ，得，则．可证≌，得．
根据得，可证四边形是平行四边形．则四边形是菱形．
21．【答案】（1）解：由题干数据可知，
，
，
七年级等级的学生人数为：人，等级的学生人数为：人，
补全条形统计图如图：
答：，；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）
人．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图 、中位数、众数及意义。（1）八年级的中位数在C等级中，C等级的分数按从小到大的顺序，处于中间位置的是73和73，则中位数a=是；八年级A等级和B等级的占比相同，用1减去C、D、E的占比后除以2即可得m的值，根据七年级D等级的占比，可得人数，则可得E等级人数；（2）平均数、众数相同时，比较中位数即可；（3）计算出调查样本七、八年级不低于80分的人数占比，即可知该校七八年级所有学生符合要求的人数。
22．【答案】（1）解：如图所示：由题知：、和是直角三角形
∵ tanC=，DE=2
∴ CE=4，
∵ D为BC中点，DE⊥AC
∴ CE=EF=BF=4
∴ CB=
∴ AB=
（2）解：如图所示：过D作DH⊥BF于H
∴ 四边形DEFH为矩形
∴ DH=EF，
∵ ∠C=30°，DE⊥AC，DE=2
∴ CE=，CD=4，
∵ D为BC的中点
∴ CE=EF=DH=，BF=4
∴ BE==
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】本题考查直角三角形锐角三角函数和勾股定理。（1）根据tanC=和DE=2得CE=EF=BF=4，勾股定理得CB，则可得AB；（2）根据 和DE⊥AC得，，得，则可知。
23．【答案】（1）解：四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
过点向作垂线交于点，
过点向作垂线交于点，
与是等腰直角三角形，当在运动时．如图，
动点以每秒个单位的速度，
，
，
，
当点在上运动时．如图，
，
，
，
，
，点到的距离为，
，
．
（2）图象如图， 函数是分段函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小．
（3）结合函数图象，当时，函数交于一点，即．
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；一次函数-动态几何问题；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形、一次函数、反比例函数和动点几何等知识，熟悉正方形的性质，运用分类讨论的思想解决问题。（1） 根据正方形ABCD得是等腰直角三角形，则，过点向作垂线交于点，过点向作垂线交于点可知与是等腰直角三角形，当在运动时．则，可知
当点在上运动时．，有，则，
根据，，
根据，点到的距离为，得，则．
（2）描述增减性时，注意自变量的范围。（3）结合函数图象，可知x=2时，
24．【答案】（1）解：设月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，
根据题意得：，
解得：．
答：月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用。（1）根据北坡和西坡两个地方接待人数的数量关系，可列二元一次方程组，求解即可；（2）根据题意，列出一元二次方程，求解，注意结合实际问题验根，正确取值。
25．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
，
设，
当时，，
，
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
轴，，
，
，
最小值为；
（3）解：存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，
，，，
直线沿直线方向平移，
平移后直线的解析式为，
当经过原点时，，
解得，
，，
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标或；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标为或；
综上所述：点横坐标为或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、最短路径、存在图形的点的坐标等知识，理解最短路径的依据，掌握最短路径的辅助线思路，分类讨论存在图形的情况是解题关键。
（1）根据和 得 和，则 ；
（2） 过点作轴交于点，
根据得，设，根据，得，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，得，四边形是平行四边形，则，，
，根据轴，得，
可知最小值 ；
（3）设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，得，，，根据平移后的解析式得，，设，，当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；综上所述：可得N点横坐标.
26．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，
，舍去，
；
（2）证明：如图，
作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
作，交于，作于，作于，
∽，∽，，
，∽，
，，
，
，
，
当最大时，最大，的面积最大，
，
在以为直径的圆上运动，
当时，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的性质；三角形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定及动点问题。
（1） 根据正方形ABCD得，，根据是的中点得，
设，则，根据可知；
（2）作于
根据正方形ABCD得，根据得，
结合知，根据得，根据G是CH的中点得可证≌，再证≌，可得；
（3） 作，交BR于T，作于X，作于V，得∽，，，则，，得，
则，，则当VN'最大时，OX最大，的面积最大，根据知在以为直径的圆上运动，当时，，
则可得．
1 / 1
