专题19.7正比例函数 知识讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 19．7 正比例函数（知识讲解）
【学习目标】
1． 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；
2． 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题；
3．初步利用“设参求值”解决正比例函数中的几何问题；
4．初步掌握待定系数法求正比例函数解析式
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数．其中叫做比例系数．
2、正比例函数的等价形式
（1）是的正比例函数；
（2）（为常数且≠0）；
（3）若与成正比例；
（4）（为常数且≠0）．这些都表示y与x是正比例函数关系．
要点二、正比例函数的图象与性质
（1）图象:正比例函数 （为常数，且≠0）的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线．
（2）性质:当k>0时，直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y= kx经过二，四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小．
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值．
【典型例题】
【类型一】正比例函数 定义的理解
1．若是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
举一反三：
2．已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
3．若是正比例函数，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【类型二】正比例函数 图象 位置
4．已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．
（1）如果点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，求a，b的值；
（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，S△OPQ＝，求Q的坐标．
举一反三：
5．正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值．
6．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．
【类型三】正比例函数 性质 待定系数法
7．一个正比例函数的图象经过点，，求的值．
举一反三：
8．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的取值范围．
9．已知与成正比例，当时，
(1)求与的函数表达式；
(2)当时，求函数值；
(3)当时，求自变量的值．
【类型四】正比例函数 性质 增减性 图象位置
10．已知函数是正比例函数．
(1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
举一反三：
11．已知函数是关于x的正比例函数．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若它的图象有两点，当时，试比较的大小．
12．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．
【类型五】正比例函数 性质 几何综合
13．如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点.
（1）若此正方形边长为2，k=_______.
（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值.
举一反三：
14．如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限．过点A做AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，正比例函数经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作轴于H，且的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若点B（1，0）和点C都在x轴上，当的面积是5时，求点C的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，N为平面内任意一点，是否存在点N，使得以点A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据正比例函数的定义，可得：，，从而求出k值．
【详解】解：∵根据正比例函数的定义，可得：，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2．D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．
【详解】∵函数，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴，
解得，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
3．D
【分析】根据求正比例函数的定义求出m的值，即可判断点所在的象限．
【详解】解∶∵是正比例函数，
∴且，
∴，
∴即为，
∴在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第二象限中的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限中的点的横坐标小于0，纵坐标）小于0；第四象限中的点的横坐标大于0，纵坐标小于0．根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键．
4．（1）， （2）（0，）或（0，）
【分析】（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把（﹣2，4）代入求出k的值，进而得出其解析式，把点（a，1）和（﹣1，b）代入求出a、b的值即可；
（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），根据三角形面积公式即可得出P点坐标，进而求得Q的坐标.
【详解】（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数图象经过（﹣2，4），
∴4＝﹣2k，
解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，
∴1＝﹣2a，b＝﹣1×（﹣2），
解得，b＝2；
（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），
∵S△OPQ＝，
∴﹣x（﹣2x）＝，
解得x＝，
∴Q（0，）或（0，-）.
【点睛】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比例函数与几何图形面积问题.
5．2
【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵函数函数为正比例函数，
∴，
∴，
又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，
∴m＞0，
∴
【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．
6．，图见解析
【分析】根据S△ADP= DP AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC，得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．
【详解】解：S△ADP= DP AD=x×4=2x，
∴y=2x（0＜x≤4）；
故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2），
因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．
如图所示：
【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．
7．
【分析】将点代入解析式，求出的值，再将点代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．利用待定系数法，正确的求出正比例函数的解析式，是解题的关键．
8．(1)；
(2)
【分析】（1）根据正比例函数的定义可设y=kx，然后把x=1时，y=3代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；
（2）求得x=-2和x=1时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【详解】（1）设该正比例函数的解析式为，
把，代入，得．
与之间的函数解析式为．
（2）当时，，
当时，．
，
随的增大而增大．
∴当时，
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案；
（2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案；
（3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴．
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴与的函数表达式为；
（2）当时，；
（3）当时，．
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键．
10．(1)；
(2)
【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值；
（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值．
【详解】（1）解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得：．
∵函数关系式中y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴．
（2）∵函数的图象过第一、三象限，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．
11．（1）；（2）．
【分析】（1）由正比例函数的定义可得到a所满足的方程，可求得a的值，可求得函数解析式；
（2）利用正比例函数的增减性可比较大小．
【详解】解：（1）∵是关于x的正比例函数，
∴|a| 3＝0且a＋3≠0，解得a＝3，
∴y＝ 12x；
（2）在y＝ 12x中，k＝ 12＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）是解题的关键．
12．（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．
【分析】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；
（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；
（4）求出，，则的面积．
【详解】解：（1）当，时，，
，
故答案为；
（2）函数图象过第一、三象限，
，
故答案为；
（3）随的增大而减小，
函数图象经过第二、四象限，
，
故答案为；
（4），点的横坐标为1，
，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键．
13．（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可；
（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值．
【详解】解：（1）
正方形边长为2，
.在直线中，
当时，
，将代入中，
得，解得.
（2）k的值不会发生变化
理由：正方形边长为a
，
在直线中，当时，，
.
将代入中，得,
解得，
∴k值不会发生变化.
【点睛】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中．灵活运用正方形的性质是解题的关键．
14．(1)y=-x；(2)存在， 点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．
【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
【详解】解∶（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5，
∴OH×AH÷2=4.5，
∴3×AH÷2=4.5，
∴AH=3，
∴点A的纵坐标为-3，
∴点A的坐标为（3，-3）．
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=-3，
解得：k=-1，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
（2）设OP=x．
∵△AOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），
∴，
∴OP=4，
∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．
【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．
15．(1)
(2)（6，0）或（，0）
(3)存在，点N坐标为（3，）或（3，）或（，）或
【分析】（1）根据点A的横坐标、的面积求出点A的纵坐标，再利用待定系数法即可求得解析式；
（2）利用面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得C点坐标；
（3）以为边，、为对角线分三种情况分别求出N点坐标即可．
【详解】（1）解：点A（3，a），点A在第四象限，
，，
的面积为3，
，
，
，
正比例函数经过点A（3，），
，
解得，
正比例函数的解析式为；
（2）解：的面积是5，
，
，
，
点B（1，0），点C都在x轴上，
当点C在点B右侧时，C（6，0）；
当点C在点B左侧时，C（，0）；
点C（6，0）或（，0）；
（3）解：存在，理由如下：
在Rt中，，
当为边时，如图，
四边形为菱形，
，，
点A（3，），
点N的坐标（3，）或（3，）；
当为对角线时，设M（0，m），
四边形为菱形，
，
，
，
解得，
，
四边形为菱形，
，
点A（3，），
N点坐标为，
N点坐标为；
当为对角线时，
四边形为菱形，且，
N和A关于y轴对称，
点A（3，），
点N坐标为（，），
综上所述，存在，点N坐标为（3，）或（3，）或（，）或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，考查分类讨论的思想，画出菱形的图形，根据菱形的性质求出点N的坐标是解题的关键．
答案第1页，共2页
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