专题19.9正比例函数 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 19.9 正比例函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列函数中，属于正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　）
A．3 B． C． D．
3．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
4．是点关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则y=kx的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点
C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大
7．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．在正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和上，点A(0，2)，B点在x轴正半轴上．已知四边形ABCD是正方形，则k＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第 象限．
12．已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝7，则y与x的函数关系式为 ．
13．已知正比例函数的图像过点、，若，则 ．
14．如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 ．
15．在平面直角坐标中，点、，直线与线段AB有交点，则k的取值范围为 ．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 ．
17．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 kg.”
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点的坐标为（1，0），过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ．
三、解答题
19．已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________．
20．如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．
(1)求m，n的值；
(2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值．
21．已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
22．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸从家驾车沿相同的路线经1小时到达滨海公园．如图是他们离家路程与离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
(1)小明家到滨海公园的路程为______km，小明在中心书城逗留的时间为______h；
(2)小明出发______小时后爸爸驾车出发；
(3)图中A点表示实际意义是______；
(4)小明爸爸驾车的平均速度为______；
(5)小明从家到中心书城，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为______．
23．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知：如图，直线上有一点，直线上有一点．
(1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．
(2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值．
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是正比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．
2．C
【分析】当自变量为时，函数值为，代入解析式化简计算即可．
【详解】∵正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质及其解析式的确定，熟练掌握性质是解题的关键．
3．B
【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．
【详解】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），
∴点A，B分别在一、三象限，
∴m＞0，n＜0．
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．
4．D
【分析】先求得的坐标，然后设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出k的值即可．
【详解】解：是点关于x轴的对称点．
，
设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．D
【分析】根据正比例函数图象的性质可知．
【详解】∵是正比例函数，
∴b=0，
∴图象必经过原点，
∵函数值随着x的增大而减小，
∴函数图象经过第二四象限．
故选D．
【点睛】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
6．B
【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、函数是正比例函数，原说法正确，不符合题意，选项错误；
B、当时，，函数图象过点，原说法不正确，符合题意，选项正确；，
C、，该函数图象经过一、三象限，原说法正确，不符合题意，选项错误；
D、，y随着x的增大而增大，原说法正确，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，解题关键是掌握正比例函数的图象是直线，当时，经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，经过第二、四象限，随的增大而减小．
7．C
【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．
【详解】解：如图：过点B作于点C，
，
，
是等边三角形，
，，
，
点B的坐标为，
把点B的坐标代入解析式，
得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据正比例函数的性质可得，解不等式可得m的取值范围，再根据各象限内点的坐标符号即可解答.
【详解】正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，
解得：m＜0
点在第二象限
故选B.
【点睛】本题主要考查正比例函数，解题关键是熟练掌握正比例函数的性质.
9．A
【分析】当AB与直线y=-x垂直时，AB最短，则△OAB是等腰直角三角形，作B如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为BC⊥x轴即可求得OD，BD的长，从而求得B的坐标．
【详解】解析：过点作垂直于直线的垂线，
点在直线上运动，
，
为等腰直角三角形，
过作垂直轴垂足为，
则点为的中点，
则，
作图可知在轴下方，轴的右方．
横坐标为正，纵坐标为负．
所以当线段最短时，点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质的综合应用，正确根据垂线段最短确定：当AB与直线y=-x垂直时，AB最短是关键．
10．C
【分析】如图（见解析），设点B的坐标为，则，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据线段的和差可得，从而可得点D的坐标，代入直线可求出b的值，同理可得出点C的坐标，将其代入直线即可得．
【详解】如图，过点D作轴于点F，过点C作轴于点E，
设点B的坐标为，则，且，
．
四边形ABCD是正方形，
，
，
．
在和中，
，
点D的坐标为，
将代入直线得：，解得，
同理可得：，
点C的坐标为，
将代入直线得：，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
11．二、四
【分析】根据正比例函数定义可得：m2＝1且m 1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：m2＝1且m 1≠0，解得：m＝ 1，
∴函数解析式为y＝ 2x，
∵k＝ 2＜0，
∴该正比例函数的图像经过第二、四象限，
故答案为：二、四．
【点睛】此题主要考查了正比例函数定义和性质，掌握正比例函数是一次函数，自变量的指数为1是解决问题的关键．
12．
【分析】根据题意设，把x＝2时，y＝7代入求出k的值，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
把x＝2时，y＝7代入可得，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k的值是解题的关键．
13．10
【分析】把点的坐标代入函数解析式，再变形即可得到答案．
【详解】解：正比例函数的图像过点、，
，，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用整体代入思想解题是关键．
14．．
【分析】设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积=△OPD面积+梯形PDCB面积-△PAO面积-△ABC面积计算即可．
【详解】解：设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，
∴S△PAB=S△OPD+S四边形PDCB-S△OPA-S△ABC，
=，
=，
=，
=，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键．
15．##
【分析】因为直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，所以当直线y＝kx（k≠0）过时，k值最大；当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，然后把B点和A点坐标代入y＝kx（k≠0）可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：∵直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，
∴当直线y＝kx（k≠0）过B（﹣1，﹣2）时，k值最大，则有﹣k＝﹣2，解得k＝2；
当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，则﹣3k＝﹣2，解得k＝，
∴k的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．
16．（5，6）
【分析】根据平移的性质知BF=AD，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度．
【详解】∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，
∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4．
又∵点B的对应点F是直线上的一点，
∴，解得x＝7．
∴点F的坐标是（7，4），
∴BF＝5．
∴根据平移的性质知AD＝BF＝5，
∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移的性质得到AD=BF是解题的关键．
17．20
【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解．
【详解】
两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k1t，把（1，8）代入得k1=8，
∴y=8t．此时小明加工了28千克，
∴t=3.5．
同理设图2的解析式为：y=k2t，把（7，40），
代入得7k2=40，
解得：k2=，
∴y=t．
因为他们用的时间是相等的，
∴当t=3.5时，y=20．
故答案为20．
【点睛】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.
18．
【分析】根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、作正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果．
【详解】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=，
由题意得、是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴，
∴正方形A2B2C2D2的面积=，
同理，A3D3=OA3=，
∴正方形A3B3C3D3的面积=， … ，
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=，
∴正方形A2020B2020C2020D2020的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．
19．(1)y＝﹣7x
(2)21
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据一次函数的性质，在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，把x＝﹣3代入求得即可．
【详解】（1）解：∵ y是x的正比例函数，设y＝kx，
∴ 当x＝﹣2时，y＝14，
∴ 14＝﹣2k，
解得，k＝﹣7，
∴ y＝﹣7x；
（2）∵ k＝﹣7＜0，
∴ y随x的增大而减小，
∴ 在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，
此时，y＝﹣7×（﹣3）＝21，
∴ 函数最大值是21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，求得正比例函数的解析式是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可；
（2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， 最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．
∴
∴．
（2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， PA＋PB＝．
过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，
在Rt△中，∠H＝90°，
则，
∴PA＋PB的最小值为 ．
【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键．
21．（1）正比例函数解析式为y=﹣2x；（2）m=﹣1；（3）点P不在这个函数图象上，理由见解析．
【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数解析式中求出k的值，即可确定出正比例解析式；（2）将点B（m，m+3）代入所求的解析式，即可求得m的值；（3）把x=- 代入所求的解析式，求得y的值，比较即可.
【详解】（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即可．
22．(1)30，1.7
(2)2.5
(3)爸爸在小明出发小时距家20千米的地方追上小明（只要表达合理即可）
(4)30km/h
(5)
【分析】（1）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（2）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间；
（3）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义；
（4）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（5）待定系数法求出解析式，即可求解．
【详解】（1）由图可知，小明家到滨海公园的路程为30km，小明在中心书城逗留的时间为
故答案为：30，1.7；
（2）由图可知，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发．
故答案为：2.5；
（3）图中A点表示实际意义是：爸爸在小明出发小时距家20千米的地方追上小明．
故答案：爸爸在小明出发小时距家20千米的地方追上小明；
（4）小明爸爸驾车的平均速度为：km/h．
故答案为：30km/h；
（5）设小明从家到中心书城，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为：，
由图像可知：过，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
23．(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4，，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．
24．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标，
（2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解；
（3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在直线上
∴，
∴,
∵点在直线
∴
解得，
∴，
（2）∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，，，
，
，
∵的面积等于的面积的两倍
∴，
即，
解得，则，
（3）当时，，则，的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴;
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页