专题19.10正比例函数 培优篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 19.10 正比例函数（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知无论n取什么实数，点P（n, 4n-3）都在直线l上，若Q（a， b）是直线l上的点，则4a-b的平方根等于（　　）
A． B．1 C． D．
2．在平面直角坐标系中，一条直线经过第三象限内A、B两点，过A、B分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形周长均为10，则该直线的函数表达式为( )
A．y=x–5 B．y=x–10 C．y=–x–5 D．y=–x–10
3．已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．已知一个口袋中装有七个完全相同的小球，小球上分别标有七个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数用表示，将的值分别代入函数和方程，恰好使得函数的图像经过二、四象限，且方程有整数解，那么这7个数中所有满足条件的的值之和是（ ）
A．1 B． C． D．
5．一次函数的图象与轴，轴的交点分别为、，若为的中点，则点到直线的距离等于（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，该直线与轴、轴分别交于点，以为边在第一象限内作正△ABC.若点在第一象限内，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A．A点处
B．线段的中点处
C．线段上，距A点米处
D．线段上，距A点400米处
8．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
11．我们把[a，b]称为一次函数y＝ax+b的“特征数”．如果“特征数”是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为 ．
12．如图,已知点C(1，0)，直线y= －x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为 ．
13．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是 ．
14．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=460；④a=25．其中正确的是 （填序号）．
15．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
16．如图，过点作x轴的垂线与正比例函数和的图象分别相交于点B，C，则的面积为 ．
17．新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限．
18．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别是直线和，过点作轴的垂线交于点···过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点······依次进行下去，点的坐标为 ．
三、解答题
19．已知如图：直线AB解析式为，其图像与坐标轴x,y轴分别相交于A、B两点，点P在线段AB上由A向B点以每秒2个单位运动，点C在线段OB上由O向B点以每秒1个单位运动（其中一点先到达终点则都停止运动），过点P与x轴垂直的直线交直线AO于点Q. 设运动的时间为t秒（t≥0）.
（1）直接写出：A、B两点的坐标A( )，B( ).
∠BAO=______________度；
（2）用含t的代数式分别表示：CB＝ ，PQ＝ ；
（3）是否存在t的值，使四边形PBCQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）（3分）是否存在t的值，使四边形PBCQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，
并探究如何改变点C的速度（匀速运动），使四边形PBCQ在某一时刻为菱形，求点C的速度和时
间t.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点 A .
(I)求直线与 x 轴的交点坐标，并在坐标系中标出点 A 及画出直线 的图象；
(II)若点P是直线在第一象限内的一点，过点P作 PQ//y 轴交直线 于点Q，△POQ 的面积等于60 ，试求点P 的横坐标.
21．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升8微克（1000微克=1毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升4微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后：
（1）求y与x之间的解析式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于3微克或3微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少小时？
22．如图，正比例函数经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作轴于H，且的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若点B（1，0）和点C都在x轴上，当的面积是5时，求点C的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，N为平面内任意一点，是否存在点N，使得以点A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】试题解析：∵令n=0，则P（0，-3）；再令n=1，则P（1，1），由于n不论为何值此点均在直线l上，
∴设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴此直线的解析式为：y=4x-3，
∵Q（a，b）是直线l上的点，
∴4a-3=b，即4a-b=3，
∴4a-b的平方根等于
故选D.
2．C
【详解】如图，设A点坐标为（x，y），过A点分别作AD⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵A点在第三象限，∴AC=–x，AD=–y，∵矩形ADOC的周长为10，∴2（–x–y）=10，∴x+y=–5，即y=–x–5，故选C．
3．A
【分析】将原方程组进行因式分解得到，再根据在经过原点的一条直线l上得到，代入即可．
【详解】解：对方程组通分化简得到
①-②得， ③
对③式进行移项，因式分解得，
∴或
又∵在经过原点的一条直线l
∴与是正比例函数关系，即
∴，即
代入得
故答案为A．
【点睛】此题考查了因式分解和正比例函数的有关知识，解题的关键是对方程组进行化简然后再因式分解，求得与的关系．
4．C
【分析】根据正比例函数的图象过二、四象限确定a的取值范围，根据分式方程有整数解进一步确定a的值，将满足条件的a的值取和即可.
【详解】解：∵的图象经过二、四象限，
∴，
解得，
解分式方程得，
，
∵此方程有整数解，
∴或，
解得
∵在数字 这七个数中，
满足的值有这三个数，
∴这7个数中所有满足条件的的值之和是
故选：C.
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、解分式方程等知识.用含a的式子表示分式方程的解，并根据分式方程的解是整数来判断a的值是解题的关键.
5．B
【分析】根据直线解析式可以求出、的长度，可以得出是等腰直角三角形，，可以得到是等腰直角三角形，根据勾股定理可以求出的值．
【详解】解：当时，
，
当时
函数的图象与轴，轴的交点分别为、
，
，
为的中点
在中由勾股定理得
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴围成的三角形之间的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理得的运用．
6．A
【分析】根据直线AB的解析式可求出A、B的坐标，此时可得出∠OBA=60°，那么AC∥y轴，因此C点的横坐标与A点的横坐标相同，C点的纵坐标是B点纵坐标的2倍据此可求出C点的坐标．由点在第一象限内，且满足，得到P在过点C且与AB平行的直线l上．设直线l为y=x+b，把C（，2）代入求得b的值，进而得出直线l的解析式，从而得出结论．
【详解】解：由直线y=﹣x+1，求得点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，1），
∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1，
∴AB=2，tan∠OBA=，
∴∠OBA=60°，
∴∠OAB=90°﹣∠OBA=30°．
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB=2，∠CAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°，
∴点C的坐标为（，2）．
∵S△AOB=OB×OA==，S△ABC==，又点在第一象限内，且满足，
∴P在过点C且与AB平行的直线l上．设直线l为y=﹣x+b，把C（，2）代入，
得：－1+b=2，解得：b=3．
∴直线l为:y=x+3．
∵点在第一象限内，故0＜n＜3．
故选A．
【点睛】本题是一次函数的综合题．考查了一次函数的性质和求一次函数的解析式以及等边三角形的性质．解题的关键是得出P在过点C且与AB平行的直线l上．
7．A
【分析】设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米，然后表示出两处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和即可．
【详解】解：设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米，
所有同学走的路程总和：
L=30x+20（1000﹣x）=10x+20000
此时0≤x≤1000，要使L最小，必须x=0，
此时L最小值为20000；
所以选A点处．
故选A．
【点睛】此题主要考查一次函数在实际生活中的意义，设A处的同学走x米，能根据题意列出总路程L关于x的一次函数是解题的难点．
8．B
【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2021的坐标．
【详解】解：由题意可得，点A1的坐标为（1，2），
设点B1的坐标为（a，a），
∵，解得，a＝2，（负根舍去）
∴点B1的坐标为（2，1），
同理可得，点A2的坐标为（2，4），点B2的坐标为（4，2），
点A3的坐标为（4，8），点B3的坐标为（8，4），
……
∴点B2021的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
9．B
【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
【详解】解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
10．D
【分析】设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设点C的横坐标为m，
∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥x轴，BC=AB，
又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），
∴﹣﹣m＝﹣3m，
解得：k＝，
经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．
11．﹣1
【分析】根据正比例函数是截距为0的一次函数可得n+1=0，进而求出n值即可．
【详解】∵“特征数”是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，
∴n+1＝0，
解得：n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，理解新定义并掌握正比例函数的一般形式y=kx（k≠0），是解题关键．
12．##
【分析】作点C关于y轴的对称点 ，关于直线AB的对称点，连接交直线AB于点D，交y轴于点E，此时△CDE周长最小. 设直线的解析式为，求出函数解析式，进而即可求解.
【详解】作点C关于y轴的对称点 ，关于直线AB的对称点，连接交直线AB于点D，交y轴于点E，此时△CDE周长最小.
∵ C(1，0)
∴，
设直线的解析式为，
则
解得
∴直线的解析式为
解方程得，
当时，
∴D
故答案为.
【点睛】本题考查一次函数的图形和性质，掌握待定系数法以及轴对称的性质是关键.
13．（15，16）．
【分析】根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16），
故答案为（15，16）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
14．①②④
【详解】试题解析：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9=80（m/分），
当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），
运动距离为：15×80=1200（m），
∴乙的运动速度为：1200÷6=200（m/分），
∴200÷80=2.5，（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；
此时乙运动19-9=10（分钟），
运动总距离为：10×200=2000（m），
∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），
故a的值为25，（故④正确）；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），
∴b=2000-1520=480，（故③错误）．
故正确的有：①②④．
故答案为①②④．
15．
【分析】如图，利用正方形的性质得到，由于直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则，然后根据三角形面积公式计算出的长，从而可得点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式.
【详解】解：如图，
经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
而，
，
，
点坐标为，．
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得求分割点A的位置是解题关键.
16．4.
【分析】把点A（2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x和y=3x，求得B、C点的坐标，进一步求得BC的长度，利用三角形的面积求得答案即可．
【详解】解：把分别代入和中，可得点B的坐标是，点C的坐标是，所以．因为点，所以，所以．
【点睛】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B、C两点的坐标是解决问题的关键．
17．二．
【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
【详解】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为二．
【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值.
18．
【分析】先根据直线和的函数解析式求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】由题意得：点的横坐标为1
将代入得：
则点的坐标为
由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3
将代入得：，解得
则点的坐标为
同理可得：，，，
由此可知，点的横坐标为，纵坐标为
点的横坐标为，纵坐标为
点的横坐标为，纵坐标为
归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为（其中n为正偶数）
则点的横坐标为，纵坐标为
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、正比例函数的图象，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
19．（1），∠BAO=30°；（2）；（3）见解析;(4) 当点C的速度变为每秒个单位时，时四边形PBCQ是菱形.
【分析】(1)设x=0，y=0可分别求出A,B的坐标；
（2）纵坐标的差等于线段长度；
（3）当PQ=BC时 ， 即，是平行四边形；
（4）时，，，所以不可能是菱形；若四边形PBCQ构成菱形则，PQ=BC，且PQ=PB时成立.
【详解】解：（1）直接写出：A、B两点的坐标，∠BAO=30°
（2）用含t的代数式分别表示：；
（3）∵
∴当PQ=BC时 ， 即，时，四边形PBCQ是平行四边形.
（4）∵时，，，
∴四边形PBCQ不能构成菱形．
若四边形PBCQ构成菱形则，PQ=BC，
且PQ=PB时成立.
则有时
BC=BP=PQ= ， OC=OB-BC=
∴当点C的速度变为每秒个单位时，时四边形PBCQ是菱形.
【点睛】本题考核知识点：一次函数，平行四边形，菱形的判定.此题是综合题，要用数形结合思想进行分析.
20．(I)见解析；(II) 点的横坐标为12.
【分析】(I)将直线与直线联立方程求解，即可得到点A的坐标,然后可以在坐标系中标出点A；求出直线 与x轴的交点B，连接AB即是直线y2.
(II)用x表示出PQ的长度和Q点的横坐标，根据△POQ 的面积等于60，用等面积法即可求出点Q的横坐标.
【详解】(I)在中，令，则，解得：,
∴与轴的交点的坐标为.
由解得.
所以点.
过、两点作直线的图象如图所示.
(II)∵点是直线在第一象限内的一点，
∴设点的坐标为，又∥轴，
∴点.
∴.
∵，
又的面积等于60，
∴，解得：或（舍去）.
∴点的横坐标为12.
【点睛】本题主要是考查了一次函数.
21．（1）x＜2时，y=4x；x＞2时，y=-x+9；（2）11.25小时.
【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，注意当x＜2时y与x成正比例函数，当x＞2时y与x成一次函数关系；
（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为3微克是在两个函数图象上都有，所以分别把y=3，代入y=4x和y=﹣x+9，求得开始到有效所用的时间，求其差即可求得答案．
【详解】解：（1）当x＜2时，设y=kx，把（2，8）代入上式，得k=4，
∴x＜2时，y=4x；
当x＞2时，设y=kx+b，把（2，8），（10，4）代入上式，
得：，
解得：k=﹣，b=9，
∴x＞2时，y=﹣x+9；
（2）把y=3代入y=4x，可得x=，
把y=3代入y=﹣x+9，可得x=12，
∴这个有效时间是12﹣=11.25小时．
【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代入求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
22．(1)
(2)（6，0）或（，0）
(3)存在，点N坐标为（3，）或（3，）或（，）或
【分析】（1）根据点A的横坐标、的面积求出点A的纵坐标，再利用待定系数法即可求得解析式；
（2）利用面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得C点坐标；
（3）以为边，、为对角线分三种情况分别求出N点坐标即可．
【详解】（1）解：点A（3，a），点A在第四象限，
，，
的面积为3，
，
，
，
正比例函数经过点A（3，），
，
解得，
正比例函数的解析式为；
（2）解：的面积是5，
，
，
，
点B（1，0），点C都在x轴上，
当点C在点B右侧时，C（6，0）；
当点C在点B左侧时，C（，0）；
点C（6，0）或（，0）；
（3）解：存在，理由如下：
在Rt中，，
当为边时，如图，
四边形为菱形，
，，
点A（3，），
点N的坐标（3，）或（3，）；
当为对角线时，设M（0，m），
四边形为菱形，
，
，
，
解得，
，
四边形为菱形，
，
点A（3，），
N点坐标为，
N点坐标为；
当为对角线时，
四边形为菱形，且，
N和A关于y轴对称，
点A（3，），
点N坐标为（，），
综上所述，存在，点N坐标为（3，）或（3，）或（，）或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，考查分类讨论的思想，画出菱形的图形，根据菱形的性质求出点N的坐标是解题的关键．
23．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>3+
【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点的“倾斜系数”，由=2或=2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，此时，=，则，求得a=+1；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，此时，，则，求得：a=3+；即可求得时，a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得，，
∵3>，
∴点的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b；
当=2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b
∵，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP=；
当=2时，则b=2a，
∵，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP=；
综上，OP=；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，
此时，=，
则，
解得：a=+1；
∵则;
当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时，，
则，
解得：a=3+，
∵,则;
综上，若P的“倾斜系数”，则a>3+．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值．
答案第1页，共2页
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