专题19.1变量与函数 知识讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 19.1 变量与函数（知识讲解）
【学习目标】
1．理解变量、常量的基本概念，并能识别函数中的常量和变量；
2．能初步理解函数的概念；掌握一些简单的函数中的变量取值范围，给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；
3．初步理解函数的三种表示法-解析法、列表法、图象法；
【要点梳理】
要点一、变量、常量
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量．
要点二、函数的概念
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
概念特征：唯一性、确定性
要点三、函数中自变量取值范围的常见求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数；
（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数；
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围；
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义．
【典型例题】
【类型一】函数概念
1．下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
举一反三：
【变式】
2．下列图形中不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
举一反三：
【变式】
4．有下面四个关系式: ①； ②；③；④，其中y是x的函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【类型二】函数解析式★★函数值
5．已知某款汽车油箱中有汽油，每小时耗油（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．
(1)直接写出油箱中的剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的函数表达式；
(2)当油箱中剩余油量低于时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？
举一反三：
【变式1】
6．已知一支蜡烛长，每小时燃烧．设剩下的蜡烛的长度为，蜡烛燃烧了．
(1)直接写出关于的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是多少？
【变式2】
7．某健身房训练的费用为20元/次，为回馈客户，现推出如下活动方案，方案一：购买一张会员卡，卡费为40元，每次训练费用按六折优惠；方案二：不购买会员卡，每次训练费用按八折优惠．设某客户健身训练x（次），按照方案一所需费用为（元）；按照方案二所需费用为（元）．
(1)请分别写出，与x之间的关系式；
(2)小李计划前往该健身房训练5到20次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【类型三】函数解析式★★自变量取值范围★★自变量的值★★函数值
8．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
(1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当时，求出函数值．
举一反三：
【变式1】
9．求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】
10．已知函数y=2x－1．
(1)当x=－2时，求y的值；
(2)当y=5时，求x的值；
(3)当－3【类型四】表格法表示变量之间关系
11．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 ……
油箱剩余油量Q（升） ……
(1)根据表格，直接写出Q与t之间的关系式为_______；
(2)求汽车行驶了6小时后油箱剩余油量．
举一反三：
【变式】
12．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，在将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……，如此继续下去，结果如下表：
所剪次数 1 2 3 4 …
正三角形个数 4 7 10 13 …
(1)上表中自变量和因变量分别是___________．
(2)当所剪次数为4次时，正三角形的个数是___________
(3)求与的关系式：___________
(4)当所剪次数为10次时，求正三角形的个数___________．
【类型五】关系式法表示变量之间关系
13．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元．
(1)请写出与的函数关系式．
(2)如果该户居民这个月交水费元，那么这个月该户用了多少吨水？
举一反三：
【变式】
14．“十一”期间，小华一家人开车到距家千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油升，当行驶千米时，发现油箱剩余油量为升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量．（耗油量用油量行驶的路程）
(2)写出剩余油量Q（升）与行驶路程（千米）之间的关系式．
(3)当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 说明理由．
【类型六】图象法表示变量之间关系
15．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)请直接写出点B所对应的数；
(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(3)轿车出发多长时间追上货车？
举一反三：
【变式】
16．如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留1s后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像．
(1)填写图2中数据：________，_______，_______，_______；
(2)当_______s时，为的中线；
(3)当_______s时，；
(4)当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动．当_______s时，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可.
【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
C.对于自变量x的每一个值，因变量y有3个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意.
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键.
3．C
【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案．
【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；
B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；
C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；
D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4．D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①；③；④．当x取值时，y有唯一的值对应；
故，①③④中y是x的函数，
故选：D．
【点睛】此题考查了函数的定义，掌握函数的定义并准确理解其含义是解题的关键．
5．(1)
(2)小时
【分析】（1）根据剩余油量等于总油量减去耗油量，即可求解；
（2）根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解∶ ．
（2）解∶ 根据题意，得：，
解得：．
答：该款汽车在听到警报前，最多可行驶小时．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
6．(1)
(2)当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是小时
【分析】（1）根据剩下的蜡烛长度=总长度-已燃烧的长度，建立等量关系就可以求出解析式；
（2）将代入（1）的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设剩下的蜡烛的长度为，蜡烛燃烧了，根据题意得，
，
∵
∴，
解得：
∴；
（2）将，代入，
即，
解得：．
即当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是小时．
【点睛】本题考查了列函数关系，求函数自变量的值以及范围，求得解析式是解题的关键．
7．(1)，
(2)当小李前往该健身房训练5到9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练11到20次时，方案一所需费用更少．
【分析】（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
（2）分别求出选择不同方案时，x的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
即，与x之间的关系式分别为，；
（2）解：当，即时，两种方案费用一样多；
当，即时，方案二所需费用更少；
当，即时，方案一所需费用更少；
∴当小李前往该健身房训练5到9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练11到20次时，方案一所需费用更少．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
8．(1)
(2)2
【分析】（1）根据三角形的周长等于三边之和，求出函数解析式即可；
（2）将代入函数解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
∴，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：，
解得：．
∴；
（2）解：当时，．
【点睛】本题考查一次函数的应用．根据题意，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
9．(1)
(2)且
(3)且
【分析】（1）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得，由此即可得；
（2）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得；
（3）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
所以函数中自变量的取值范围为．
（2）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
（3）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
10．(1)-5
(2)3
(3)－1【分析】（1）将x＝ 2代入函数关系式求解即可；
（2）将y＝5代入函数关系式求解即可；
（3）当－3【详解】（1）解：当x=－2时，
则．
（2）解：当y=5时，
由题意得，2x－1=5，解得x=3．
（3）解：当－3由题意得，－3<2x－1<0，
解得－1【点睛】本题考查了求函数值或自变量的取值及求自变量的取值范围，读懂题意是解题的关键　．
11．(1)；
(2)汽车行驶6小时后，油箱中的剩余油量是升；
【分析】（1）根据表格可得，每小时油量减少6升，即可得到答案；
（2）将代入（1）的解析式即可得到答案；
【详解】（1）解：由表格可得，
，
∴每小时油量减少6升，
∴；
（2）解：当时，
，
∴汽车行驶6小时后，油箱中的剩余油量是升．
【点睛】本题考查变量之间的关系，解题的关键是根据表格得到变量之间的关系求出解析式．
12．(1)所剪次数，正三角形个数；
(2)13；
(3)；
(4)31
【分析】（1）根据表格中数的关系可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可以解答本题；
（3）根据表格中的数据可以得到与n的关系式；
（4）根据（3）中的关系式可以解答本题．
【详解】（1）解：由表格可知，
所剪次数是自变量，正三角形个数是因变量，
故答案为：所剪次数，正三角形个数；
（2）由表格可知，
当所剪次数为4次时，正三角形的个数是13，
故答案为：13；
（3）由表格可得，
，
故答案为：；
（4）当时，，
故答案为：31．
【点睛】本题考查函数关系式、图形的变化类、常量与变量，解答本题的关键是明确函数的定义，利用函数的思想解答．
13．(1)
(2)这个月该户用了8吨水
【分析】（1）根据所给的收费标准列出对应的函数关系式即可；
（2）先求出，再把代入到中进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴这个月该户用了8吨水，
答：这个月该户用了8吨水．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数对应的自变量的值，正确列出与的函数关系式是解题的关键．
14．(1)该车平均每千米的耗油量为升；
(2)（）；
(3)能，理由见解析．
【分析】（1）依据耗油量用油量行驶的路程求解即可；
（2）由剩余油量等于总油量减去耗油量（每千米的耗油量乘以行驶路程）求解即可；
（3）求出行驶千米后的剩余油量，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：该车平均每千米的耗油量为：
，
∴该车平均每千米的耗油量为升；
（2）由（1）得：
，
即（）；
（3）他们能在汽车报警前回家，
理由如下：
由（2）可知，当千米时，
（升），
，
∴他们能在汽车报警前回家．
【点睛】本题主要考查了函数与变量的关系；解题的关键在于能够准确根据题意得到．
15．(1)1.5
(2)轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米
(3)轿车出发2.4小时追上货车
【分析】（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象先算出货车的速度，用轿车到达乙地所用的时间乘以货车的速度可算出货车与甲地的距离；
（3）由图象可知两车相遇在第2.5小时之后，算出轿车在CD段的速度，根据等量关系，轿车行驶路程＝货车行驶路程，列出方程解决问题即可．
【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时除法，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点B所对应的数是1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是（千米/小时），
（千米），
∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（3）解：∵轿车在CD段的速度是：（千米/小时），
设轿车出发x小时追上货车，
∴，
解得，
∴轿车出发2.4小时追上货车．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，能够在图象中提取有用信息并解决问题是解决本题的关键．
16．(1)，，，；
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）由三角形的面积公式可求出 ，由图2可求出 ，由三角形的面积公式可求出 ，由的长度与点 运动的速度以及到达 时停留1s以原速度继续运动即可求出 ；
（2）由 为 的中点，得出 ，再由点 的速度即可得出结果；
（3）先求出，， ，计算出 ，，求出 ，当在上时，则；当在延长线上时，分情况讨论即可求出的值；
（4）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值．
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
，
，
故答案为：，，，；
（2）解：为的中线，
为中点，
，
，
（s），
故答案为：；
（3）解：由（1）得：，，
，
， ，
，
，
当在上时，
（s）
当在延长线时，
是到达点时停留1s后以原速度继续运动，
（s）
综上所述，当s或s时，
，
故答案为：或；
（4）解：，
时，，
，
当在的左侧时，，
，
当在的右侧时，，
，
综上所述，当或时，,
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算公式，一元一次方程的应用以及分类讨论，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
答案第1页，共2页
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