专题19.3变量与函数 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 19.3 变量与函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列图像不能表示是的函数的是（ ）
A．B． C．D．
2．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么的值是（ ）
A．-6 B．-9 C．9 D．6
4．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
5．等腰三角形的周长是，腰长是底边长的函数，此函数解析式和自变量取值范围正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
8．为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y（mg）和时间x（min）的数据如表：
时间x（min） 2 4 6 8
含药量y（mg） 16 14 12 10
则下列叙述错误的是（ ）
A．时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg
B．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小
C．挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg
D．室内每立方米空气中的含药量是自变量
9．是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（ ）
A．甲车的速度是 B．乙车的速度是
C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上
二、填空题
11．函数自变量x的取值范围是 ．
12．下列变量间的关系是函数关系的有 （填序号）
①正方形的周长与边长；②圆的面积与半径；
③；④商场中某种商品的单价为a元，销售总额与销售数量
13．若函数，则当函数值时，自变量的值为 ．
14．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为 ．
15．已知，且满足表示不超过的最大整数），则的值可以为 ．
16．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下：
气温 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
从表中可知音速y随温度x的升高而 ．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米．
17．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形的边长为，则矩形的面积与的关系式为 ．
18．如图，在四边形中，，，，设的长为x，四边形的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．
三、解答题
19．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
(1)当所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度是 ；
(2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
(3)当所挂物体的质量为5.5kg时，请求出弹簧的长度；
(4)如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
20．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，在将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……，如此继续下去，结果如下表：
所剪次数 1 2 3 4 …
正三角形个数 4 7 10 13 …
(1)上表中自变量和因变量分别是___________．
(2)当所剪次数为4次时，正三角形的个数是___________
(3)求与的关系式：___________
(4)当所剪次数为10次时，求正三角形的个数___________．
21．开通了，中国联通公司公布了收费标准，其中包月129元时，超出部分国内拨打话元/分．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准．
时间/分 1 2 3 4 5 …
电话费/元 …
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
(2)如果用x表示国内拨打超出时间，y表示国内拨打超出部分的电话费，那么y与x的关系式是什么？
(3)如果国内拨打电话超出10分钟，需多付多少电话费？
(4)某次超出部分国内拨打电话的费用是元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟？
22．为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
(1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利______元；
(2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式；
②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？
23．防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买 40 个以上的外科口罩，超过 40 个部分按优惠价出售．上个月小王家一次性买了外科口罩 90 个，花了 65 元；小李家一次性买了外科口罩 120 个， 花了 80 元．
(1)求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？
(2)设一次性购买外科口罩 x 个，花费 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式．
(3)这个月学校一次性购买该外科口罩1080 个，花了多少钱？
24．如图，在等腰中，，，，动点P以的速度从点B出发，沿边向终点C运动，过P作于点Q，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t（s），与重叠部分图形面积为．
(1)当点M落在边上时，求t的值；
(2)求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围．
试卷第4页，共6页
试卷第3页，共6页
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的图象可知对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应进行判定即可．
【详解】根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．
选项B，对于一个x有两个y与之对应，故不是函数图象，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及函数的表示方法，解题的关键是函数的定义，属于基础题．
2．C
【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案．
【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；
B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；
C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；
D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
3．C
【分析】由于和中的被开方数互为相反数，根据二次根式的性质可以得到，由此即可分别求出、的值，然后再求出的值．
【详解】解：与互为相反数，而，
且，
∴，
解得，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及函数解析式，利用二次根式的非负性确定、的值是解题的关键，然后代入数值计算即可解决问题．
4．C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
5．A
【分析】根据等腰三角形周长公式可求出底边长与腰的函数关系式，由三角形两边之和大于第三边的关系可知的取值范围．
【详解】解：由题意可得：，
化简得：，
又由三角形两边之和大于第三边的关系可知：
，即，
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式、三角形的三边关系及等腰三角形的性质．正确列出函数解析式是解题的关键．
6．B
【分析】根据函数y＝可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.
【详解】由题意得，x－5≥0，
解得x≥5．
在数轴上表示如下：
故选B．
【点睛】本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.
7．A
【分析】直接利用已知运算公式公式得出b的值，进而代入求出x=3时对应的值．
【详解】解：∵输入x的值是4时，输出的y的值为7，
∴7=2×4+b，
解得：b=-1，
若输入x的值是2，则输出的y的值是：y=-1×2+3=1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数值，正确得出b的值是解题关键．
8．D
【分析】根据表中数据表示出函数的解析式以及表格，两个变量之间的变化关系即可正确解答本题．
【详解】解：根据表格数据可以得出两个变量的关系式为y＝ x＋18，
A、当x＝14min时，y＝ 14＋18＝4mg，故选项不符合题意；
B、在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小，故选项不符合题意；
C、挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg，故选项不符合题意；
D、因为室内每立方米空气中的含药量随时间的变化而变化，所以时间是自变量，每立方米空气中的含药量是时间的函数，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义和性质，解题关键是能读懂表格中数据的特征，理解函数的定义．
9．C
【分析】水位随着水减少而下降，且饮水机是圆柱形，是同等变化的下降．
【详解】根据图片位置分析：水减少的体积随着水位下降的高度而增加，且饮水机是圆柱形，所以均匀增加
故答案选：C
【点睛】本题考查用图象法表示变量之间的关系，掌握变量之间的变化关系解题关键．
10．D
【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项．
【详解】解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1，
解得：a=60，b=4，
甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h，
故A，B，C正确，不符合题意；
∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h，
∴甲车出发后被乙车追上，
故D错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键．
11．
【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
所以函数自变量x的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键．
12．①②④．
【详解】在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定值，y都有唯一的值与之对应，则称y是x的函数，在③中，当x取一个值时，对应的y值有两个，故不是函数，
故答案为①②④.
13．或
【分析】将分别代入函数解析式，求出x的值，然后根据取值范围得出x的值．
【详解】解：当时，则时，
解得：，
∵，
∴；
当时，时，
解得：，符合题意，
∴综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型．根据取值范围确定自变量的值是解题的关键．
14．
【分析】根据用水不超过立方米的收费标准、用水超过立方米时的收费标准分别得出与的函数关系式，然后根据确定与的关系式即可
【详解】解：由题意可得：每户每月应交水费元与用水量立方米之间的函数关系式为
，
因为月份用水量为立方米，应交水费元，则关于的函数表达式为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握立方米这个分界点是解答本题的关键．
15．36或37
【分析】首先理解表示的含义，再结合得出中有多少个，多少个，然后求出的取值范围，即可求解；
【详解】，，
，，，等于0或1，
，
其中有18个1，
，，
，，
，
，
的值可以是36或37，
故答案为：36或37．
【点睛】本题主要考查取整函数的知识点，能够准确理解题意，得出一定的规律是解题的关键．
16． 增大 68.6
【分析】从表格可以看到y随x的增大而增大；根据距离=速度×时间即可求出这人到发令点的距离．
【详解】解：从表格可以看到y随x的增大而增大；
时，音速为343米/秒，米，
这个人距离发令点68.6米；
故答案为：增大；68.6．
【点睛】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．
17．
【分析】用含的式子表示出的长，用矩形的面积公式表示出与的关系式即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
即：；
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求函数表达式．熟练掌握矩形的面积公式，是解题的关键．注意，自变量的取值范围．
18．
【分析】过作与点，设，则，根据等角的余角相等得到，易证得，所以，，得到，在中，根据勾股定理得到，所以有，即；根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积，即可得到．
【详解】解：过作于点，如图，
设，则，
，，
∴，
，
而，，
∴，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，即，
又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理、函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是三角形全等的判定与性质．
19．(1)13.5
(2)y＝0.5x＋12
(3)14.75cm
(4)16kg
【分析】（1）根据表格，找到所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度即可；
（2）由表格可知，质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm，确定y与x的关系式即可；
（3）将代入解析式，求出值，即可得解；
（4）将，代入解析式，求出的值，即可得解。
【详解】（1）解：由表可知当所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度是13.5，
故答案为：13.5；
（2）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，
∴弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为；
（3）当kg时，代入，
解得cm，
即弹簧总长为14.75cm．
（4）当cm时，代入，
解得，
即所挂物体的质量为16kg．
【点睛】本题考查了函数的关系式及函数值，解题关键是根据表格信息列出解析式．
20．(1)所剪次数，正三角形个数；
(2)13；
(3)；
(4)31
【分析】（1）根据表格中数的关系可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可以解答本题；
（3）根据表格中的数据可以得到与n的关系式；
（4）根据（3）中的关系式可以解答本题．
【详解】（1）解：由表格可知，
所剪次数是自变量，正三角形个数是因变量，
故答案为：所剪次数，正三角形个数；
（2）由表格可知，
当所剪次数为4次时，正三角形的个数是13，
故答案为：13；
（3）由表格可得，
，
故答案为：；
（4）当时，，
故答案为：31．
【点睛】本题考查函数关系式、图形的变化类、常量与变量，解答本题的关键是明确函数的定义，利用函数的思想解答．
21．(1)这个表反映了超出时间与超出部分的电话费之间的关系，超出时间是自变量；
(2)；
(3)需多付元电话费；
(4)小明的爸爸国内拨打电话超出36分钟．
【分析】（1）根据题意和表格可知，这个表反映了超出时间与超出部分的电话费之间的关系，
再根据超出部分的电话费随着超出时间的变化而变化，即可得出超出时间是自变量；
（2）根据超出部分国内拨打话元/分，据此即可得到y与x的关系式；
（3）将代入（2）所得关系式中进行计算，即可得到答案；
（4）将代入（2）所得关系式中进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意和表格可知，这个表反映了超出时间与超出部分的电话费之间的关系，
超出部分的电话费随着超出时间的变化而变化，
超出时间是自变量；
（2）解：超出部分国内拨打话费为元/分，
；
（3）解：当时，，
国内拨打电话超出10分钟，需多付元电话费；
（4）解：当时，，
解得：，
小明的爸爸国内拨打电话超出36分钟．
【点睛】本题考查了自变量、利用关系式表示变量之间的关系、求自变量的值或函数值，读懂题意，正确求出超出部分的电话费和超出时间之间的关系是解题关键．
22．(1)
(2)①；②此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售箱苹果
【分析】（1）根据售价减去进价乘以数量即可求解；
（2）①根据售价减去进价乘以数量列出函数关系式即可求解；②根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意（元）；
故答案为：．
（2）解：设购进苹果m箱，则购进橙子箱，获得的利润为W元．
∴
∴
②依题意，，
解得：，
答：此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售箱苹果
【点睛】本题考查了有理数的运算，列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
23．(1)销售一个外科口罩的原价为1元，优惠价为0.5元
(2)
(3)560元
【分析】（1）设销售一个外科口罩的原价为m元，优惠价为n元，根据小王家一次性买了外科口罩 90 个，花了 65 元；小李家一次性买了外科口罩 120 个， 花了 80 元列出方程组求解即可；
（2）分和两种情况求出对应的关系式即可；
（3）把代入（2）所求关系式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设销售一个外科口罩的原价为m元，优惠价为n元，
由题意得，
解得，
∴销售一个外科口罩的原价为1元，优惠价为0.5元，
答：销售一个外科口罩的原价为1元，优惠价为0.5元；
（2）解：当时，；
当时，；
综上所述，；
（3）解：当时，元，
答：这个月学校一次性购买该外科口罩1080 个，花了560元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式，求函数值，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）先证明得到，再根据平行四边形的性质得到，，再证明为等腰直角三角形，求出，由，得到，则；
（2）分当时，如图2所示，此时重叠部分面积为，当时，如图3所示，此时重叠面积为，聚餐求解即可
【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
当点M在边上时，如图1，
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，如图2，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
②∵在中，．
∵，，
∴，
∴当时，如图3，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
综上所述，
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
答案第14页，共14页
答案第13页，共14页