专题19.6函数的图象 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题19.6 函数的图象（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．函数的图象上的点一定在第（ ）象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
3．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线，一种是平均价格曲线（如表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．A、B两地相距12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示的折线和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF交于点G．下列说法中错误的是（　　）
A．甲乙出发后0.5h相遇 B．甲骑自行车的速度为
C．两人相遇地点与A地的距离为9km D．甲、乙相距3km时，出发时间为
8．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：
①图象经过；
②当时，有最小值；
③随的增大而增大；
④该函数图象关于直线对称；
正确的是( )
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．②③④
9．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（　　）
A．40 B．10 C．24 D．20
二、填空题
11．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班．
12．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ．
13．图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以1/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是 ．
14．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量表示点运动的路程，变量表示的面积，图2表示变量随的变化情况，则当时，点所在的边是 ．
15．如图1，正方形和正方形的对角线都在直线l上，将正方形沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止．设点D平移的距离为x，两个正方形重合部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则正方形的边长为 ．
16．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之.”意思是：现有良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，问良马几天可以追上驽马？两匹马行走路程S（里）与行走时间t（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ．
17．阅读下面材料：
小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：
x … 1 2 3 …
y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 …
小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”
请回答：小聪判断的理由是 ．请写出函数的一条性质： ．
18．快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④慢车先到达目的地．
其中正确的是 ．
三、解答题
19．小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行小雪开始跑步，中途在某地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发5分钟后，小松才骑自行车匀速回家．小雪到达图书馆恰好用了35分钟．两人之间的距离与小雪离开出发地的时间之间的函数图象如图所示，请根据图象解答下列问题：
(1)小雪跑步的速度为多少米/分？
(2)小松骑自行车的速度为米/分？
(3)当小松到家时，小雪离图书馆的距离为多少米？
20．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
(1)西宁与西安相距 千米，两车出发后 小时相遇；
(2)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时；
(3)求动车的速度；
(4)动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？
21．一水果贩子在批发市场按每千克元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)水果贩子自带的零钱是多少？
(2)降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？
(3)随后他按每千克下降元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？
22．【直观想象】如图1，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定；
【数学发现】当一个动点到一个定点的距离为，我们发现是的函数；
【数学理解】
(1)动点到定点的距离为，当　　时，取最小值；
【类比迁移】
(2)设动点到两个定点的距离和为．
①随着增大，怎样变化？
②直接写出函数表达式并在给出的平面直角坐标系中画出关于的函数图象；
③当时，的取值范围是 　　．
23．如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
(1)图①中 ， ，图②中 ．
(2)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的边上？
24．数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______；
x … 0 2 4 5 …
y … m 0 1 3 4 4 3 2 …
(3)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______；
(4)画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
试卷第4页，共9页
试卷第5页，共9页
参考答案：
1．B
【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到，然后判断得到，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
∵，解得：，
∴，，
∴，
∴点一定在第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
2．C
【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．
【详解】∵函数的图像大致是
，
故选C．
【点睛】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．
3．A
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值．
【详解】∵图像过二、四象限
∴a＜0，
∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知：
b＞0
故选C．
【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系．
5．D
【分析】由股票买卖过程以及股票,买卖的规律性，依次分析可得答案．
【详解】刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，则A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、C错误；
故选：D
【点睛】此题考查函数及图像的基本思想和方法，解题关键是看图识图以及通过理论联系实际．
6．C
【分析】根据题意可得，面积最大是，此时点D与点C重合，根据三角形的面积即可求出，进而求出的长．
【详解】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，,
∴，，
又，
解得（负值舍去），
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．从图象中获取准确信息是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，甲乙出发后0.5h相遇，故A正确，不符合题意；
乙步行的速度为：（km/h），
则甲骑车的速度为：（km/h），故B正确，不符合题意；
两人相遇地点与A地的距离为：（km），故C正确，不符合题意；
设线段对应的与x的函数关系式是，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得，
即线段对应的y甲与x的函数关系式是；
设与x的函数关系式是，
∵点在函数的图象上，
∴，解得，
即与x的函数关系式是，
令，
解得，
即经过小时或小时，甲、乙两人相距，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．B
【分析】描点法画出函数y=（x-2）4的图象，根据图象即可判断.
【详解】解：描点法画出函数y=（x-2）4的图象如图：
①当x=1时，y=（x-2）4=（1-2）4=1，则图象经过（1，1），所以①选项正确；
②当x=2时，y=（x-2）4=（2-2）4=0，所以②选项正确；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，所以③选项错误；
④由图象可知该函数图象关于直线x=2对称，所以④选项正确．
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据描点法画出函数的图象是解题的关键.
9．B
【分析】要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段上移动；②当点P在线段上移动；③当点P在线段上移动；④当点P在线段上移动；探讨得出规律即可．
【详解】①当点P在线段上移动，
即时，；
②当点P在线段上移动，
即时，；
③当点P在线段上移动，
即时，；
④当点P在线段上移动，
即时，，
点P的运动轨迹以16为单位循环，
当时，，
此时，
故答案为：B．
【点睛】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨是解决问题的关键．
10．B
【分析】设，根据题意，，结合函数图像，得到，，结合勾股定理，计算即可．
【详解】解：设，根据题意，，结合函数图像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图像，熟练掌握矩形性质，正确读取图形信息是解题的关键．
11．2
【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间．
【详解】解：由题意得：
七（1）班的速度为：
联络员与七（1）班的速度差为：
即联络员的速度为：
当七（2）班出发时，
联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，
设七（2）班的速度为
列出方程：
，
解得：
即七（2）班的速度为，
则七（2）班追上七（1）班需要的时间为：
故填：2．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度．
12．y=x+2x-2（x≥2）
【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20，
第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21，
第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22，
第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23，
…
以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2，
y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2），
故答案为：y=x+2x-2（x≥2）．
【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．
13．
【分析】图（2）中的图象有三段分别对应图（1）中的线段，可得，当时，则P点为的中点，求得此时的长度，可得图（2）中点P的纵坐标y．
【详解】解：由图象可知：，
当时，即点运动了，
∴此时点P在线段上，，
∴P点为的中点，
又∵，
∴．
∴图（2）中P的纵坐标为5，
∴图（2）中P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，直角三角形斜边上的中线的性质，解题时注意图（2）中的点P的y并不是最小值．
14．或
【分析】先根据函数图象得出，，然后根据图1，得出面积的最大值为，根据当时，，点R在或边上．
【详解】解：∵时，即点R从C到达点D时，的面积开始不变，
∴，
同理可得：，
∵四边形为长方形，
∴，，
当点R在上运动时，的面积不变，且面积最大，面积为：
，
当时，，
∴点R在或边上．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，三角形面积的计算，解题的关键是根据图2得出，．
15．
【分析】由题意易知，重合部分的形状是点或正方形，，即可求出，所以，即可求出正方形的边长．
【详解】解：根据题意和图像的变化情况，可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题以正方形为背景，结合动点问题，考查函数图象的判断，涉及数形结合思想、函数模型思想和分类讨论思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
16．（20，4800）
【分析】设良马x天可以追上驽马，然后根据路程=时间×速度列出方程求解x的天，从而求出良马在追上驽马时，良马的行驶路程，据此即可得到答案．
【详解】解：设良马x天可以追上驽马，
由题意得，
解得，
∴良马需要20天追上驽马，
∴良马在追上驽马时，良马的行驶路程为里，
∵函数图象中点P为两马的函数图象的交点，即在点P处良马追上驽马，
∴点P的坐标即为（20，4800），
故答案为：（20，4800）．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，正确求出良马追上驽马的时间是解题的关键．
17． 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象（答案不唯一） 当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大
【分析】结合函数解析式y的取值范围可判断图象的大概情况，从函数图象可得出相关信息.
【详解】解：(1)因为，函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象，所以是错的；
(2)根据函数的图象看得出： 当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大.
故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象（答案不唯一）；当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大．
【点睛】本题考查了函数的图像，解题关键是能从函数图象获取信息.
18．②③④
【分析】根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，据此可得慢车的速度为，进而得出快车的速度为，根据“路程和=速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．
【详解】解：由函数图象的倾斜程度可得：
相遇后慢车停留了，快车停留了，
故①不符合题意；
根据题意可知，两车的速度和为：，
慢车的速度为：，
则快车的速度为， 所以快车速度比慢车速度多；故②符合题意；
∵，
所以图中，故③结论符合题意；
快车到达终点的时间为（小时），
慢车到达终点的时间为（小时）， 因为，
所以慢车先到达目的地，故④结论符合题意．
所以正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由函数图象可知小雪跑步5分钟的路程为米，即可根据路程速度时间求出答案；
（2）先求出小雪步行的速度，然后设小雪在第t分钟改为步行，根据小雪第分钟到达图书馆建立方程求出t的值，再由函数图象可知小雪改为步行时两人相距求出小松骑车的速度即可；
（3）先求出小松到家的时间，再根据路程速度时间求出答案即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知小雪跑步5分钟的路程为，
∴小雪跑步的速度为；
（2）解：由（1）得小雪步行的速度为，
设小雪在第t分钟改为步行，
∴，
解得，
∴由函数图象可知，当第10分钟时，小雪改为步行，此时两人相距，
∴小松骑车的速度为；
（3）解：由（2）得小松到家的时间为，
∴小雪离图书馆的距离为．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
20．(1)，3
(2)，
(3)动车的速度为千米/小时
(4)动车行驶小时或小时与普通列车相距千米
【分析】（1）一开始两车之间的距离为西宁与西安相距，直接求解即可；两车出发后相遇即两车之间的距离为0时对应的时间．
（2）看图找到时间，然后直接求解即可．
（3）行程问题中的相遇问题，直接列方程求解即可．
（4）相距140千米需要分类讨论，然后直接求解即可．
【详解】（1）由时，，知西宁到西安两地相距千米，
由时，，知两车出发后3小时相遇，
（2）由图象知时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需14小时，
普通列车的速度是（千米/小时），
（3）设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：，
答：动车的速度为千米/小时；
（4）①相遇前动车行驶与普通列车相距千米，
（小时），
∴动车行驶小时与普通列车相距千米；
②相遇后动车行驶与普通列车相距千米，
（小时），
（小时）
∴动车行驶小时与普通列车相距千米；
综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米．
【点睛】此题考查一次函数图像的应用，解题关键是找准运动状态中的特殊点坐标代表的实际含义，然后代值求解．
21．(1)50元
(2)元
(3)千克
【分析】(1)根据图象即可解答；
(2)根据0到80时的收入即可求得降价前西瓜的售价；
(3)计算出降价后卖出的西瓜的数量+未降价卖出的西瓜的数量=总共的西瓜数量，即可求解．
【详解】（1）解：根据图象可知：水果贩子自带的零钱是50元；
（2）解：由图象可得：降价前他每千克西瓜出售的价格为：
(元)，
故降价前他每千克西瓜出售的价格为元；
（3）解：降价后卖出西瓜的数量为：
，
，
故他一共批发了千克的西瓜．
【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，用图象解决实际问题，结合图象，读懂题意是解题的关键．
22．(1)2
(2)①先变小然后不变再变大；②见解析；③或
【分析】（1）当重合时，最小，此时．
（2）①利用图像法可得结论；②分三种情形，分别画出函数图像即可；③利用图像法解决问题即可．
【详解】（1）解：（1）当重合时，最小，此时．
故答案为：2．
（2）①动点到两个定点的距离和为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴y先变小然后不变再变大．
②画出函数图象如图，
∴y先变小然后不变再变大．
③观察图像可知，满足条件的x的取值范围为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数图像，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)，，
(2)或
【分析】（1）根据函数图象由时，，得出，，则时，，当时，点在处，的面积；
（2）分点在边上，落在边上时，点在边上时，根据折叠的性质以及勾股定理进行计算即可求解．
【详解】（1）解：点从边的中点出发，速度为每秒个单位长度，
，
由图象得：时，，
，，
时，，
当时，点在处，的面积，
故答案为：，，；
（2）①当点在边上，落在边上时，连接 ，如图所示：
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
又，
，解得：；
②当点在边上时，如图，
，，
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得，，，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，，
解得．
综上，当为或时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理与折叠问题，数形结合是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(4)时，x的取值范围是或
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案；
（4）根据图象，可得答案．
【详解】（1）解：当时，分母都不为0，
故答案为：；
（2）解：当时，，
故答案为：；
（3）解：画出函数的图象如图：
；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）解：画出函数的图象，如上图，
观察图象，时，x的取值范围或．
【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
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