广东省阳江市2023-2024学年高二上学期10月期中测试数学试题（含答案）

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阳江市2023-2024学年高二上学期10月期中测试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式的解集是，函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2 B． C． D．-2
4．若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为．记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（　　）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，存在点，使四点共面
D．当时，存在点，使三条直线交于同一点
10．在棱长为1的正方体中，，，分别为线段，，上的动点（，，均不与点重合），则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，，，使得平面
B．存在点，，，使得
C．当平面时，三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为
D．记，，与平面所成的角分别为，，，则
11．已知，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．若方程有两个根，则
C．若直线与有两个交点，则或
D．函数有3个零点
12．已知O为坐标原点，，，，P，Q分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点M到直线的距离为 B．若，则点Q的坐标为
C．点M关于直线对称的点的坐标为 D．周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，点在边上，平分，若，，则 ．
14．已知三棱锥的体积为，其外接球的表面积为，若，，，，则为 .
15．已知，则 .
16．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若，求的面积．
18．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.

(1)证明：；
(2)若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
19．2021年7月中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，随后各学校积极响应，认真落实.“双减”不仅仅是减轻了学生家庭的经济负担、学生的课业负担，同时也增加了学生每天的体育锻炼时间.经过对某市义务教育阶段各学校学生平均每天体育锻炼时间的抽样调查，得出“双减”政策出台前（图1）与“双减”政策出台后（图2）的两个频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：
(1)根据上面两个频率分布直方图，估计“双减”政策出台后，学生平均每天的体育锻炼时间增加多少分钟；
(2)如果把每天平均体育锻炼时间在69分钟以上（含69分钟）的情况定义为“良”，把上述两个样本数据的频率视为概率，试估算出该市在“双减”政策出台后，学生平均每天的体育锻炼时间为“良”的概率.
20．在三棱台中，平面ABC，，．

(1)证明：平面平面；
(2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值．
21．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
22．已知函数．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若函数在上为减函数，求的取值范围．
阳江市2023-2024学年高二上学期10月期中测试
数学试题参考答案及评分标准：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BCD 10．AD 11．ABD 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1 14. 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.【详解】（1）根据，由正弦定理可得，
又，所以可得，即；
因为，所以
即．（4分）
（2）由结合（1）中的结论，
由余弦定理可得，即，
解得，即，
所以．
即的面积为.
18．【详解】（1）因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.（6分）
（2）因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，

因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.（6分）
19．【详解】（1）设“双减”政策出台前、后样本的平均值分别为，，
则
，
所以（分钟），
所以“双减”政策出台后，学生平均每天的体育锻炼时间增加5.12分钟.（6分）
（2）由题意知，样本每天平均体育锻炼时间在69分钟及以上定义为“良”，
“双减”政策出台后，体育锻炼为“良”的学生的概率为
即“双减”政策出台后，体育锻炼为“良”的学生占82%.（6分）
20．【详解】（1）取AC的中点D，则AD与平行且相等，
可得四边形为平行四边形，则有，
又，故．
又，，，AC，平面，故平面，又因为平面，故，
又因为，，，平面，故平面，
而平面，故平面平面；（6分）
（2）以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，则，
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设，，则，，
由题意知P，M，Q三点共线，可设，则，
解得，故，，
则，
故，
即平面，故所求线面角的正弦值为0．（6分）
21．【详解】（1）当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．（4分）
（2）圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径 ，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．...............................................（8分）
22．【详解】（1）
若为偶函数，则对任意的，都有，
即，，对任意的都成立．由于不恒等于0，故有，即∴当时，是偶函数．
若为奇函数，则对任意的，都有，
即，对任意的都成立．由于不恒等于0，故有，即∴当时，是奇函数．
∴当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数． （4分）
（2）因函数在上为减函数，故对任意的，都有，
即恒成立．
由，知恒成立，即恒成立．
由于当时
∴....................................................................................................（8分）