湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·长沙开学考）下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·长沙开学考）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·长沙开学考）如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，，要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·长沙开学考）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．对一批浏阳烟花的质量的调查
B．对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C．对全国中学生的睡眠情况的调查
D．对宇宙空间站的零部件的检查
5．（2023八上·长沙开学考）若，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023七下·招远期末）如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·揭东期中）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023七下·杭州期中）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八上·长沙开学考）如果三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023八上·长沙开学考）若，则 ．
12．（2023八上·长沙开学考）若点在轴上，则点的坐标为 ．
13．（2023八上·长沙开学考）若方程组的解满足，则的值是 ．
14．（2023八上·长沙开学考）若一个边形的每个内角都为，那么边数为 ．
15．（2023八上·长沙开学考）月日为世界读书日，为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
16．（2023八上·长沙开学考）如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为，的面积为，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·长沙开学考）
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（2023八上·长沙开学考）已知代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
（1）求，，的值；
（2）当时，求代数式的值．
19．（2023八上·长沙开学考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2023八上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）画出平移后的三角形；
（3）计算求解的面积．
21．（2023八上·长沙开学考）某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图不完整，请结合图表信息回答下列问题：
分数段分 频数人
合计
（1） ，频数分布直方图的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校学生参加网上测试，成绩在范围内的学生约有多少人？
22．（2022七下·周村期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
23．（2023八上·长沙开学考）如图，，，，，，垂足分别是，，
求证：
≌；
．
24．（2023八上·长沙开学考）若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
25．（2023八上·长沙开学考）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，与的数量关系为 ；
（2）如图，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、∵是有理数，∴A不符合题意；
B、∵是有理数，∴B不符合题意；
C、∵是有理数，∴C不符合题意；
D、∵是无理数，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用无理数的定义逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵只含有2个未知数，且未知数的最高次是1次的整式方程是二元一次方程，
∴符合条件的是选项A，
故答案为：A.
【分析】利用二元一次方程的定义逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠3与∠2是对顶角，，
∴∠3=∠2=110°，
∵，
∴∠1=180°-∠3=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=180°-∠3=180°-110°=70°.
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、∵“ 对一批浏阳烟花的质量的调查 ”适用抽样调查，∴A不符合题意；
B、∵“ 对湘江流域中的生物多样性情况的调查 ”适用抽样调查，∴B不符合题意；
C、∵“ 对全国中学生的睡眠情况的调查 ”适用抽样调查，∴C不符合题意；
D、∵“对宇宙空间站的零部件的检查 ”适用全面调查，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全面调查的定义及优缺点逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据第三象限点坐标的特征求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OB=OC，无法利用“SSA”证出≌，∴A不符合题意；
B、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加∠A=∠D，利用“AAS”证出≌，∴B符合题意；
C、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OA=OD，无法利用“SSA”证出≌，∴C不符合题意；
D、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加，无法证出≌，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
【分析】按照步骤解不等式求出解集，再求出正整数解。
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】做娃娃用布的数量+做沙包用布的数量=36；做娃娃用布的数量×25=×做沙包用布的数量×40；
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为和，
∴5-2<第三边<5+2，
∴3<第三边<7，
∴2+3+5<三角形的周长<2+5+7，
∴10<三角形的周长<14，
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边的关系求出第三边长的取值范围，再求解并判断即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
11．【答案】-1
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴b-1=0，a+2=0，
∴b=1，a=-2，
∴，
故答案为：-1.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b，再将a、b的值代入计算即可.
12．【答案】（0，5）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上，
∴m-2=0，
∴点P的坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）.
【分析】利用y轴上的点坐标的特征求解即可.
13．【答案】-8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①+②，可得：y+x=m+8，
∵，
∴m+8=0，
∴m=-8，
故答案为：-8.
【分析】利用加减消元法可得y+x=m+8，再结合，可得m+8=0，再求出m的值即可.
14．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个边形的每个内角都为，
∴一个边形的每个内角都为180°-120°=60°，
∴多边形的边数=360°÷60°=6，
故答案为：6.
【分析】先求出每个外角的度数，再利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角”计算即可.
15．【答案】300
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，
∴该调查中的样本容量是300，
故答案为：300.
【分析】利用样本容量的定义求解即可.
16．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图所示：
∵BH⊥AC，
∴∠CHD=90°，
∵△DCH的面积为4，CH=3，
∴DH=，
∵CD平分交于点，
∴DE=DH=，
∵的面积为，
∴×DE×BC=××BC=8，
解得：BC =6，
故答案为：6.
【分析】先利用三角形的面积求出DH的长，再结合的面积为，可得×DE×BC=××BC=8，再求出BC的长即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
由得到，，
由得到，，
．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
18．【答案】（1）解：代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
，
解得
所以，，的值分别是、、
（2）解：由，得
把代入上式，得
上式，
所以当时，代数式的值是．
【知识点】代数式求值；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，再计算即可；
（2）根据（1）可得，再将代入计算即可.
19．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：，
，
，
．
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得.
20．【答案】（1）（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵三角形中任意一点，经平移后对应点为，
∴△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
∵，，，
∴点的坐标为：（-2，4）；点的坐标为：（-5，2）； 点的坐标为（-1，-1），
故答案为：（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）.
【分析】（1）先证出△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，再结合点A、B、C的坐标，求出点A'、B'、C'的坐标即可；
（2）根据点A'、B'、C'的坐标作出△A'B'C'即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可.
21．【答案】（1）25；10
（2）解：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
（3）解：，
人，
成绩在范围内的学生约有人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）a=100-10-18-35-12=25；频数分布直方图的组距是61-51=10，
故答案为：25；10.
【分析】（1）根据总人数求出a的值，再根据表格可得组距；
（2）根据频数分布表中的数据作出频数分布直方图即可；
（3）先求出“”的频率，再乘以2500可得答案.
22．【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：6≤m＜．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据题意列出不等式组求解即可；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据题意列出不等式组求解即可。
23．【答案】解：证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】①利用“HL”证出≌即可；
②根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式及等量代换可得.
24．【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再判断即可；
（2）先分别求出不等式组C和D的解集，再根据“D对于不等式组中点包含”，可得，再求出m的取值范围即可；
（3）先分别求出不等式组E和F的解集，再根据“ 不等式组对于不等式组中点包含”，可得，求出，再结合“ 所有符合要求的整数之和为”，求出符合题意的m值，再求解即可.
25．【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
（3）解：存在，当≌时，
，，
，此时；
当≌时，
，，
，，
综上：，或，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出△ABD≌△CAE，再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）先利用“AAS”证出 ≌，可得，，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当≌时，②当≌时，再分别利用全等三角形的性质求解即可.
1 / 1湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·长沙开学考）下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、∵是有理数，∴A不符合题意；
B、∵是有理数，∴B不符合题意；
C、∵是有理数，∴C不符合题意；
D、∵是无理数，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用无理数的定义逐项判断即可.
2．（2023八上·长沙开学考）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵只含有2个未知数，且未知数的最高次是1次的整式方程是二元一次方程，
∴符合条件的是选项A，
故答案为：A.
【分析】利用二元一次方程的定义逐项判断即可.
3．（2023八上·长沙开学考）如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，，要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠3与∠2是对顶角，，
∴∠3=∠2=110°，
∵，
∴∠1=180°-∠3=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=180°-∠3=180°-110°=70°.
4．（2023八上·长沙开学考）下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．对一批浏阳烟花的质量的调查
B．对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C．对全国中学生的睡眠情况的调查
D．对宇宙空间站的零部件的检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、∵“ 对一批浏阳烟花的质量的调查 ”适用抽样调查，∴A不符合题意；
B、∵“ 对湘江流域中的生物多样性情况的调查 ”适用抽样调查，∴B不符合题意；
C、∵“ 对全国中学生的睡眠情况的调查 ”适用抽样调查，∴C不符合题意；
D、∵“对宇宙空间站的零部件的检查 ”适用全面调查，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全面调查的定义及优缺点逐项判断即可。
5．（2023八上·长沙开学考）若，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据第三象限点坐标的特征求解即可.
6．（2023七下·招远期末）如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OB=OC，无法利用“SSA”证出≌，∴A不符合题意；
B、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加∠A=∠D，利用“AAS”证出≌，∴B符合题意；
C、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OA=OD，无法利用“SSA”证出≌，∴C不符合题意；
D、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加，无法证出≌，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可.
7．（2023八下·揭东期中）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
【分析】按照步骤解不等式求出解集，再求出正整数解。
8．（2023七下·杭州期中）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】做娃娃用布的数量+做沙包用布的数量=36；做娃娃用布的数量×25=×做沙包用布的数量×40；
9．（2023八上·长沙开学考）如果三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为和，
∴5-2<第三边<5+2，
∴3<第三边<7，
∴2+3+5<三角形的周长<2+5+7，
∴10<三角形的周长<14，
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边的关系求出第三边长的取值范围，再求解并判断即可.
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023八上·长沙开学考）若，则 ．
【答案】-1
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴b-1=0，a+2=0，
∴b=1，a=-2，
∴，
故答案为：-1.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b，再将a、b的值代入计算即可.
12．（2023八上·长沙开学考）若点在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】（0，5）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上，
∴m-2=0，
∴点P的坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）.
【分析】利用y轴上的点坐标的特征求解即可.
13．（2023八上·长沙开学考）若方程组的解满足，则的值是 ．
【答案】-8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①+②，可得：y+x=m+8，
∵，
∴m+8=0，
∴m=-8，
故答案为：-8.
【分析】利用加减消元法可得y+x=m+8，再结合，可得m+8=0，再求出m的值即可.
14．（2023八上·长沙开学考）若一个边形的每个内角都为，那么边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个边形的每个内角都为，
∴一个边形的每个内角都为180°-120°=60°，
∴多边形的边数=360°÷60°=6，
故答案为：6.
【分析】先求出每个外角的度数，再利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角”计算即可.
15．（2023八上·长沙开学考）月日为世界读书日，为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
【答案】300
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，
∴该调查中的样本容量是300，
故答案为：300.
【分析】利用样本容量的定义求解即可.
16．（2023八上·长沙开学考）如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为，的面积为，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图所示：
∵BH⊥AC，
∴∠CHD=90°，
∵△DCH的面积为4，CH=3，
∴DH=，
∵CD平分交于点，
∴DE=DH=，
∵的面积为，
∴×DE×BC=××BC=8，
解得：BC =6，
故答案为：6.
【分析】先利用三角形的面积求出DH的长，再结合的面积为，可得×DE×BC=××BC=8，再求出BC的长即可.
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·长沙开学考）
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
由得到，，
由得到，，
．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
18．（2023八上·长沙开学考）已知代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
（1）求，，的值；
（2）当时，求代数式的值．
【答案】（1）解：代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
，
解得
所以，，的值分别是、、
（2）解：由，得
把代入上式，得
上式，
所以当时，代数式的值是．
【知识点】代数式求值；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，再计算即可；
（2）根据（1）可得，再将代入计算即可.
19．（2023八上·长沙开学考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：，
，
，
．
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得.
20．（2023八上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）画出平移后的三角形；
（3）计算求解的面积．
【答案】（1）（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵三角形中任意一点，经平移后对应点为，
∴△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
∵，，，
∴点的坐标为：（-2，4）；点的坐标为：（-5，2）； 点的坐标为（-1，-1），
故答案为：（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）.
【分析】（1）先证出△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，再结合点A、B、C的坐标，求出点A'、B'、C'的坐标即可；
（2）根据点A'、B'、C'的坐标作出△A'B'C'即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可.
21．（2023八上·长沙开学考）某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图不完整，请结合图表信息回答下列问题：
分数段分 频数人
合计
（1） ，频数分布直方图的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校学生参加网上测试，成绩在范围内的学生约有多少人？
【答案】（1）25；10
（2）解：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
（3）解：，
人，
成绩在范围内的学生约有人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）a=100-10-18-35-12=25；频数分布直方图的组距是61-51=10，
故答案为：25；10.
【分析】（1）根据总人数求出a的值，再根据表格可得组距；
（2）根据频数分布表中的数据作出频数分布直方图即可；
（3）先求出“”的频率，再乘以2500可得答案.
22．（2022七下·周村期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：6≤m＜．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据题意列出不等式组求解即可；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据题意列出不等式组求解即可。
23．（2023八上·长沙开学考）如图，，，，，，垂足分别是，，
求证：
≌；
．
【答案】解：证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】①利用“HL”证出≌即可；
②根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式及等量代换可得.
24．（2023八上·长沙开学考）若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再判断即可；
（2）先分别求出不等式组C和D的解集，再根据“D对于不等式组中点包含”，可得，再求出m的取值范围即可；
（3）先分别求出不等式组E和F的解集，再根据“ 不等式组对于不等式组中点包含”，可得，求出，再结合“ 所有符合要求的整数之和为”，求出符合题意的m值，再求解即可.
25．（2023八上·长沙开学考）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，与的数量关系为 ；
（2）如图，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
（3）解：存在，当≌时，
，，
，此时；
当≌时，
，，
，，
综上：，或，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出△ABD≌△CAE，再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）先利用“AAS”证出 ≌，可得，，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当≌时，②当≌时，再分别利用全等三角形的性质求解即可.
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