北师大版九年级数学下册练与测：课时达标+课后检测（pdf版，含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册练与测：课时达标+课后检测（pdf版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 9.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-07 19:59:34 | ||
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文档简介
S 一书双册 导学互动
教师用书
B面 课时作业本
数 学
九年级[下]
北 师 大 版
姓 名 班 级
练习 讲解 摇 课时 3摇 一元二次方程的近似根 … (B36)(A17)
第一章摇 直角三角形的边角关系 第三章摇 圆
1. 从梯子的倾斜程度谈起 ……………… (B1)(A1) 1. 车轮为什么做成圆形 ……………… (B37)(A18)
摇 课时 1摇 正切和坡度 ………………… (B1)(A1) 2. 圆的对称性 ………………………… (B39)(A19)
摇 课时 2摇 正弦、余弦和三角函数 ……… (B3)(A2) 摇 课时 1摇 圆的对称性及垂径定理 … (B39)(A19)
2. 30毅,45毅,60毅角的三角函数值 ………… (B5)(A3)
摇 课时 2摇 弧、弦、圆心角之间的关系 ………………
3. 三角函数的有关计算 ………………… (B7)(A4)
……………………………………… (B41)(A20)
4. 船有触礁的危险吗 …………………… (B9)(A5)
3. 圆周角和圆心角的关系 …………… (B43)(A21)
5. 测量物体的高度……………………… (B11)(A6)
摇 课时 1摇 圆周角和圆心角的关系(1) ……………
摇 课时 1摇 测量物体的高度(1) ……… (B11)(A6)
……………………………………… (B43)(A21)
摇 课时 2摇 测量物体的高度(2) ……… (B12)(A6)
摇 课时 2摇 圆周角和圆心角的关系(2) ……………
第二章摇 二次函数
……………………………………… (B44)(A21)
1. 二次函数所描述的关系……………… (B14)(A8)
4. 确定圆的条件 ……………………… (B46)(A22)
2. 结识抛物线…………………………… (B16)(A9)
3. 5. 直线和圆的位置关系 ……………… (B48)(A23)刹车距离与二次函数 ……………… (B18)(A10)
4. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 …… (B20)(A11) 摇 课时 1摇 直线和圆的位置关系 …… (B48)(A23)
摇 课时 1摇 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象与性质 摇 课时 2摇 切线的性质与判定 ……… (B50)(A23)
……………………………………… (B20)(A11) 摇 课时 3摇 三角形的内切圆 ………… (B52)(A25)
摇 课时 2摇 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 … 6. 圆和圆的位置关系 ………………… (B54)(A25)
……………………………………… (B22)(A12) 摇 课时 1摇 圆和圆的位置关系(1)…… (B54)(A25)
5. 用三种方式表示二次函数 ………… (B24)(A13) 摇 课时 2摇 圆和圆的位置关系(2)…… (B55)(A25)
摇 课时 1摇 用三种方式表示二次函数(1) ………… 7. 弧长及扇形的面积 ………………… (B57)(A27)
……………………………………… (B24)(A13) 摇 课时 1摇 弧长及扇形的面积(1) …… (B57)(A27)
摇 课时 2摇 用三种方式表示二次函数(2) ………… 摇 课时 2摇 弧长及扇形的面积(2) …… (B58)(A27)
……………………………………… (B25)(A13) 8. 圆锥的侧面积 ……………………… (B60)(A28)
6. 何时获得最大利润 ………………… (B27)(A14) 摇 课时 1摇 圆锥的侧面积(1)………… (B60)(A28)
摇 课时 1摇 何时获得最大利润(1) …… (B27)(A14) 摇 课时 2摇 圆锥的侧面积(2)………… (B61)(A28)
摇 课时 2摇 何时获得最大利润(2) …… (B28)(A14)
第四章摇 统计与概率
7. 最大面积是多少 …………………… (B30)(A15)
1. 50 年的变化 ………………………… (B63)(A30)
摇 课时 1摇 最大面积是多少(1)……… (B30)(A15)
摇 课时 1摇 50 年的变化(1) ………… (B63)(A30)
摇 课时 2摇 最大面积是多少(2)……… (B31)(A15)
摇 课时 2摇 50 年的变化(2) ………… (B64)(A30)
8. 二次函数与一元二次方程 ………… (B33)(A15)
2. 哪种方式更合算 …………………… (B66)(A32)
摇 课时 1摇 二次函数与一元二次方程的根的关系(1)
3. 游戏公平吗 ………………………… (B68)(A33)
……………………………………… (B33)(A16)
摇 课时 2摇 二次函数与一元二次方程的根的关系(2) 摇 课时 1摇 游戏公平吗(1)…………… (B68)(A33)
……………………………………… (B34)(A16) 摇 课时 2摇 游戏公平吗(2)…………… (B69)(A33)
— 1 —
第一章摇 直角三角形的边角关系
第一章摇 直角三角形的边角关系
1. 从梯子的倾斜程度谈起
课 时 1 正切和坡度
tan A 的值等于(摇 B摇 ) .
揖建议用时:10 分钟铱 A. 4 B. 2 C. 1 D. 1
知识点髴 1. 如图 1 - 1. 1 - 1,在 Rt吟ABC 2 4
中,蚁ACB=90毅,CD彝AB 于 D. 分析:由题知吟ACD易吟CBD, AD所以CD =
CD 2
BD,所以 CD =
(1)tan A= 摇 BC CDAC摇 = 摇 AD摇 ; CD 4
图 1-1. 1-1 AD·BD=2伊8 =16,所以 CD=4,因此tan A= AD = 2 =2. 故
(2)tan 蚁BCD= 摇 (2)BDCD摇 . 选 B.
3. 如图 1-1. 1-4,已知一商场自动扶梯的长 l 为10 m,该自
分析:可将蚁A 放在 Rt吟ABC 和Rt吟ACD 中,则 tan A = BCAC = 动扶梯到达的高度 h 为 6 m,自动扶梯与地面所成的角为
CD BD 兹,则 tan 兹 等于(摇 A摇 ) .
AD. 在 Rt吟BCD 中,tan 蚁BCD=CD. A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
知识点髴 2. 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AC = 1,BC = 3,则 4 3 5 5
tan A= 摇 3摇 . 分 析: 根 据 勾 股 定 理 求 出 水 平 距 离 为 l2-h2 =
点拨:先画出直角三角形,再根据正切的定义求解. 102-62 =8(m),所以 tan 兹= 6 = 3 . 故选 A.
知识点髴 3. 在 Rt吟ABC 中,如果各边长都扩大为原来的 2 倍, 8 4
那么锐角 A 的正切值(摇 D摇 ) .
A. 扩大 2 倍 B. 缩小 12
C. 摇 摇 摇 摇 摇扩大 4 倍 D. 不变
分析:锐角 A 的正切值是两直角边的比值,当各边都扩大为 图 1-1. 1-4 图 1-1. 1-5
2 , . D. 4. 如图 1-1. 1-5,已知 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的高,原来的 倍时 比值不变 故选
知识点髵
3
4. 如图 1-1. 1-2,山坡 AB 的坡度为 5 颐12,一辆汽车 且tan B = 4 ,AC 上有一点 E,满足 AE 颐 CE = 2 颐 3,则
从山脚下 A 处出发,把货物送到距山脚 500 m 高的 B 处,求 tan蚁ADE的值是(摇 B摇 ) .
汽车从 A 到 B 所行驶的路程.
A. 3 B. 8 C. 4 D. 7
解: i = tan A = 5由 坡 度 概 念 知 12 =
BC
AC.
5 9 5 9
分析:过 E 点作 EF彝AD 于 F. 设 AD=3k,则 BD=CD= 4k,
又疫 BC=500 m,亦 AC=1 200(m) .
AB=AC= 5k. 8根据相似可求出 EF = k,AF = 6 k,进而求
在 Rt 吟ABC 中, AB = AC2+BC2 = 图 1-1. 1-2 5 5
1 2002+5002 =1 300(m). 89 EF 5 k 8 B摇1
出 DF= 5 k,所以 tan蚁ADE=DF= 9 = . 故选 B.
揖 k
9
建议用时:40 分钟铱 5
(“ 冶“ 冶“ 冶分别代表题目的难度等级为“容易冶 “中等冶 二、填空题
“较难冶) 5. 在吟ABC 中,若 AB=17,AC=15,BC=8,则 tan A= 摇 815 摇 .
点拨:此题先根据三边关系确定三角形为直角三角形,再
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 根据正切定义完成题目.
1郾 如图 1-1郾 1-3,在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,若 6. 如图 1-1. 1-6,蚁BAC 位于6伊6的方格纸中,则 tan蚁BAC=
tan B= 3 ,BC=2 3 ,则 AC 等于(摇 A摇 ) . 摇 32 2 摇 .
A. 3 B. 4
7. 在吟ABC 中,若 AB=AC=3,BC=4,则 tan C= 摇 5 摇 .
C. 4 3 D. 6 图 1-1. 1-3 2
3 分析:作等腰三角形底边上的高,根据三线合一,知 AD 也
分析:根据正切的定义,知 AC=BC·tan B=2 3 伊 2 =3. 故 是底边 BC 上的中线,由勾股定理可求出 AD 的长为 5 ,进
选 A. 5
2. Rt吟ABC ,CD AB , AD=2,DB=8, 而可求出 tan C= .在 中 为斜边 上的高 若 则 2
知识点髴正切摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (填写课后作业题号)
知识点髵坡度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (填写课后作业题号)
九年级数学(下) /北师大版
四、应用题
13. 如图 1-1. 1-11,拦水坝的横截面为梯形 ABCD,斜坡 AB
的坡度为 1 颐 3,坝顶宽 BC = 3 m,坝高为 4 m,斜坡 CD =
5 m.
摇 摇 (1)比较斜坡 AB 和 CD 哪个更陡;
图 1-1郾 1-6 图 1-1. 1-7 图 1-1郾 1-8 (2)求坝底 AD 的长.
8. 如图 1 - 1. 1 - 7,在等腰梯形 ABCD 中,CD = 4 cm,DE =
6 cm,AB=8 cm,则 tan A= 摇 3摇 .
分析:先由等腰梯形的性质求出 AE,再在 Rt吟ADE 中求出
tan A的值. 如图,过 C 作 CF彝AB 于点 F,则 AE=BF. 所以 摇 摇 摇
AB-CD DE 6 图 1-1. 1-11 (第 13 题图)AE= 2 =2. 又 DE=6 cm,则 tan A= AE = 2 =3. 解:(1)如图,过点 B 作 BE彝AD,过点 C 作 CF彝AD,垂足
分别为 E,F. 则 BE=CF=4 m.
在 Rt吟CFD 中,CD=5 m,
根据勾股定理,得 DF= CD2-CF2 = 52-42 =3(m),
亦 tan D=CF = 4DF 3 .
(第 8 题图) 又疫 tan A= 13 ,亦 tan D>tan A,9. 如图 1-1. 1-8,若某人沿坡度 i=3 颐 4的斜坡前进 10 m,则
他所在的位置比原来的位置升高了摇 6摇 m. 亦 斜坡 CD 更陡.
分析:此题坡度 i 为 3 颐 4,不妨设 AC 为 3k,BC 为 4k. 根据 (2)在 Rt吟ABE 中,疫 BEAE =
1 ,
勾股定理可得(3k) 2 +(4k) 2 = 102 . 解得 k = 2,k = -2(舍 3
去),所以 AC=6 m,所以此人所在位置比原来的位置升高 亦 AE=3BE=3伊4 =12(m) .
了 6 m. 亦 AD=AE+EF+FD=12+3+3 =18(m),
10. 如图 1-1. 1-9,菱形的两条对角线 故坝底 AD 的长为 18 m.
长分别是 24 和 10. 若其中较长的
一条对角线与菱形的一边的夹角 14. (2012·山东济南中考)如图 1-1. 1-12,在 8伊4 的矩形网
为 兹,则 tan 兹= 摇 5 摇 . 格中,每个小正方形的边长都是 1,若吟ABC 的三个顶点12 图 1-1郾 1-9 在图中相应的格点上,则 tan蚁ACB 的值为(摇 A摇 ) .
分析: tan 兹 = AOBO =
2AO
2BO =
AC 1 1 2
BD = A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
10 = 5 . 分析:如图,过点 A 作 AD彝BC 交 CB 的延长线于点 D,则24 12
三、解答题 tan蚁ACB= tan蚁ACD=
AD = 2 = 1DC 6 3 . 故选 A.
11. 若三角形三边的比是 25 颐 24 颐 7,求最小角的正切值.
分析:先判断三角形的形状和最小角,再应用正切的定义
求解.
解:因为三角形三边的比是 25 颐 24 颐 7,不妨设三边长分 摇 摇 摇
别为 25k,24k,7k.
又因为三边满足(25k) 2 =(24k) 2+(7k) 2, 图 1-1. 1-12 (第 14 题图)15. (2013·广东广州中考)如图 1-1. 1-13,四边形 ABCD 是
所以此三角形为直角三角形. 梯形,AD椅BC,CA 是蚁BCD 的平分线,且 AB彝AC,AB =
B摇2 7k 7所以最小角的正切值为24k= 24 . 4,AD=6,则 tan B=(摇 B摇 ) .
12. 如图 1-1. 1-10,在等腰直角三角形 ABC 中,蚁C = 90毅, A. 2 3 B. 2 2 C. 114 D.
5 5
4
AC=6,D 是 AC 上一点,若tan 蚁DBA= 15 ,求 AD 的长.
摇 摇 摇
图 1-1. 1-13 (第 15 题图)
摇 摇 摇 分析:疫 CA 是蚁BCD 的平分线,亦 蚁DCA=蚁ACB.
图 1-1. 1-10 (第 12 题图) 又疫 AD椅 BC, 亦 蚁ACB = 蚁CAD, 亦 蚁DAC = 蚁DCA,
分析:因为蚁DBA 不在直角三角形中,故应先构造直角三 亦 DA=DC. 如图,过点 D 作 DE椅AB,交 AC 于点 F,交 BC
角形,再结合等腰直角三角形的性质进行解答. 于点 E.
解:如图,过点 D 作 CE彝AB 于点 E,由等腰直角三角形 疫 AB彝AC,亦 DE彝AC. 亦 点 F 是 AC 中点,亦 AF = CF.
ABC 可知蚁A=蚁ABC=45毅,AC=BC,所以 AE=DE. 1 AF DF
tan 蚁DBA=DE= 1 , AE = 1
亦 EF是吟CAB 的中位线,亦 EF= 2 AB=2. 疫 FC = EF = 1,
又 EB 5 即EB 5 . 淤 亦 EF=DF=2. 在 Rt吟ADF 中,AF = AD2-DF2 = 4 2 ,则
又 AB= AC2+BC2 = 2 AC=6 2 =AE+EB,于 AC 8 2
由淤于可得 AE= 2 , AD= 2 AE=2. AC=2AF=8 2 ,tan B=所以 AB= 4 =2 2 . 故选 B.
第一章摇 直角三角形的边角关系
课 时 2 正弦、余弦和三角函数
值为(摇 B摇 ) .
揖建议用时:10 分钟铱
知识点髴 1. 在吟ABC 中,蚁C = 90毅,若 BC = 2,sin A = 23 ,则边
AC 的长是(摇 A摇 ) .
A. 5 B. 3 C. 43 D. 13
: BC BC 2 图 1-1. 2-3分析 根据三角函数的定义,得 sin A = AB,所以AB = 3 . 又
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
BC= 2, 所 以 AB = 3. 由 勾 股 定 理, 得 AC = AB2-BC2 = 2 2 2 3
32-22
分析:以 AB 为斜边构造腰长为 4 的等腰直角三角形,再求
= 5 . 故选 A.
解即可. 故选 B.
知识点髴 2. 如图 1 -1. 2 -1,在吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 8,
3 2. 在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅, sin A =
4
5 ,则 cos B 的值等cos A= 4 ,则 AC 的长是摇 6摇 .
于(摇 B摇 ) .
: cos A=AC= 3 ,AB=8, AC= 3 AB= 3分析 因为 AB 4 所以 4 4 伊8 =6. A. 3 4 3 55 B. 5 C. 4 D. 5
分析:在 Rt吟ABC 中,cos B= sin A= 45 . 故选 B.
3郾 在吟ABC 中,若蚁C=90毅,蚁B=2蚁A,则 cos A 等于(摇 A摇 ).
摇 摇 A郾 32 B郾
1
2 C郾 3 D郾
3
图 1-1. 2-1 图 1-1. 2-2 3
髵 8 分析:由蚁B+蚁A=2蚁A+蚁A=90毅,得蚁A=30毅,再根据 30毅知识点 3. 如图 1-1. 2-2,在吟ABC 中,蚁C= 90毅,sin A= 17, 角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理完成此题. 故
则 BC 颐AC=(摇 A摇 ) . 选 A.
A. 8 颐15 B. 15 颐8 4.在吟ABC 中,蚁C=90毅,a 颐b= 3 颐 1,则 sin A,cos A,tan A的值
C. 8 颐17 D. 15 颐17 分别是(摇 A摇 ) .
分析:由 sin A=BCAB =
8
17,可设 BC = 8a,则 AB = 17a. 由勾股定 A. 32 ,
1
2 , 3 B.
1 , 32 2 , 3
理,得 AC = AB2-BC2 = (17a) 2-(8a) 2 = 15a. 所以 BC 颐 3 1 3 3 1 3
AC=8a 颐15a=8 颐15. 故选 A. C. 3 , 2 , 2 D. 2 , 2 , 2
知识点髵 4. 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,sin A= 35 ,则 tan B 分析:因为 a 颐b= 3 颐1 = tan A,可设 a= 3 x,则 b= x. 由勾股
的值为(摇 A摇 ) . , c = a2+b2 = 2x. sin A = a 3 x 3定理 得 所以 c = 2x = 2 ,
A. 4 B. 4 C. 5 D. 33 5 4 4 cos A= b x 1c = 2x = 2 . 故选 A.
分析:在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,则 sin A = BC 3AB = 5 ,如果设 二、填空题 B摇3
BC=3x,则 AB=5x,根据勾股定理,得(3x) 2 +AC2 = (5x) 2,解 5郾 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 5,AC = 3,则sin B =
得 AC=4x. 所以 tan B= AC = 4x = 4 . 故选 A. 摇 3 45 摇 ,cos B= 摇 5 摇 ,tan B= 摇
3
4 摇 .BC 3x 3
髵 5. 蚁琢 分析:先根据条件画出图形,再根据勾股定理求出 BC知识点 已知 是锐角,且 sin 琢 = 513,求 cos 琢 的值 . 的长.
分析:本题可根据定义把蚁琢 放入直角三角形中来解. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,0)和点B(0,-4),
解: 5设直角三角形中的一个锐角为 琢,由 sin 琢 = 13,可设蚁琢 则 cos蚁OAB 的值是摇
3
5 摇 .
的对边长为 5k,则斜边长为 13k,则由勾股定理可知蚁琢 的邻 分析:画出图形,则得吟OAB 为直角三角形,再根据余弦的
边长为 12k,则 cos 琢=12k 12 定义即可求解.13k = 13 . 7. 在 Rt吟ABC 中,若蚁C = 90毅, AC=2,BC = 1,则 tan B =
5
揖建议用时:40 分钟铱 摇 2摇 ,sin A= 摇 5 摇 .
AC BC
分析:tan B=BC,sin A= AB,AB= 2
2+12 = 5 .
一、选择题
1. 在正方形网格中,吟ABC 的位置如图 1-1. 2-3,则 cos B 的 8. 若等腰梯形的上底为 2 cm,下底为 4 cm,面积为3 3 cm2,
知识点髴正弦、余弦摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵三角函数摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
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则下底角的余弦值为摇 1 摇 . 斜边 AC 的中点,EF彝DC 于 F,所以 EF 是吟ADC 的中位2
线,EF= 12 AD = 6,DF =
1
2 DC = 2. 5,所以 tan蚁EDC =分析:由题意,画出示意图,如图,过 A
作 AE彝BC 于 E,过 D 作 DF彝BC 于 EF = 12 .
F,则 BE = CF = 1 cm. 又由 S = DF 5梯形ABCD
1 12. 已知 a,b,c 分别是吟ABC 中蚁A,蚁B,蚁C 的对边,关于 x
2 (AD+BC)·AE = 3 3 可解得 AE = 的一元二次方程 a(1-x
2) +2bx+c(1+x2)= 0 有两个相等
(第 8 题图) 的实数根,且 3c=a+3b.
3 . 在 Rt吟ABE 中,由勾股定理可得 (1)判断吟ABC 的形状;
AB=2,所以 cos B=BE= 1 . (2)求 sin A+sin B 的值.AB 2 分析:(1)首先将方程整理成关于 x 的一元二次方程的一般
三、解答题 形式(c-a)x2+2bx+(c+a)= 0.由方程有两个相等的实数根可
2 2 2
9. 1-1. 2-4, 吟ABC ,蚁C= 90毅,sin A= 4 ,AB = 15, 得判别式为 0,即可得到 a +b = c ,由勾股定理的逆定理可如图 在 中 5 得吟ABC 为直角三角形;(2)将 a2 +b2 = c2 与 3c = a+3b 联
求吟ABC 的周长和 tan A 的值. a b
系起来可求 c , c ,从而求出 sin A,sin B 的值.
解:在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 15, 解:(1)整理原方程,得(c-a)x2+2bx+(c+a)= 0.
sin A=BC 4 依题意,得判别式为(2b)
2-4(c-a)(c+a)= 0,
AB = 5 , 整理可得 a2+b2 = c2 .
亦 BC = 12, 由 勾 股 定 理, 得 AC = 亦 吟ABC 是直角三角形.
2 2 2 2 2AB -BC = 152-122 = 9,亦 吟ABC 的 (2)由 3c= a+3b,得 a = 3c-3b,代入 a + b = c ,得( b-
BC 图 1-1. 2-4 c)(5b-4c)= 0.
周长为 36,tan A= AC =
4
3 . 疫 c>b,亦 5b-4c=0,即 b= 4 c,亦 a=3c-3伊 ( 4 c) = 3 c.
10. 如图 1 - 1. 2 - 5,在吟ACB 中, AD 是 BC 边上的高, 5 5 5
tan B=cos蚁DAC. 亦 sin A= a = 3 ,sin B= b = 4 ,
(1)求证:AC=BD; c 5 c 5
7
(2)若 sin C= 12 亦 sin A+sin B= .13 ,BC=12,求 AD 的长. 5
(1)证明:在 Rt吟ABD 和 Rt吟ADC 中,
疫 tan B = AD, cos 蚁DAC = AD, 13. (2012·山东滨州中考)把吟ABC 三边的长度都扩大为原BD AC 来的 3 倍,则锐角 A 的正弦函数值(摇 A摇 ) .
tan B=cos 蚁DAC, A. 不变
亦 AD =ADBD AC,亦 AC=BD.
图 1-1. 2-5 B. 缩小为原来的 13
(2)解:在 Rt吟ADC 中,由 sin C=AD 12AC = 13 ,可设 AD= 12k,
C. 扩大为原来的 3 倍
D. 不能确定
则 AC=13k. 由勾股定理,得 CD= AC2-AD2 =5k. 分析:因为吟ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍,所得
又由(1)可知 BD=AC=13k. 三角形与原三角形相似,所以锐角 A 的大小没有改变,所
亦 BC=13k+5k. 以锐角 A 的正弦函数值也不变. 故选 A.
2 14. (2012·四川乐山中考) 如图 1 - 1. 2 - 7,在Rt吟ABC
又疫 BC=12,亦 13k+5k=12,解得 k= 3 . 中,蚁C=90毅,AB=2BC,则 sin B 的值为(摇 C摇 ) .
亦 AD=12伊 2 =8. A. 1 B. 2 33 2 2 C. 2 D. 1
B摇4 分析:根据勾股定理可得 AC = AB
2-BC2 = 3 AB,亦 在
四、综合题 2
11. 已知:如图 1-1郾 2-6,在吟ABC 中,AD 是边 BC 上的高,E Rt吟ABC ,sin B= AC 3中 = . 故选 C.
为边 AC 的中点,BC=14,AD=12,sin B= 4 . AB 25
求:(1)线段 DC 的长;
(2)tan蚁EDC 的值.
分析:(1)利用三角函数的定义和勾股
定理来计算;(2)蚁EDC 不在直角三角
形中,要求 tan蚁EDC 的值,有两个思路: 摇 摇 摇
淤转化;于构造直角三角形. 图 1-1. 2-7 图 1-1. 2-8
4 15. (2012·浙江宁波中考) 如图 1 - 1. 2 - 8,在Rt吟ABC
解:(1) 因为 sin B = 5 ,AD = 12,所以 图 1-1. 2-6 中,蚁C=90毅,AB=6,cos B= 2 ,则 BC 的长为(摇 A摇 ) .
AB = 15. 在 Rt 吟ABD 中, 由 勾 股 定 理, 得 BD = 3
152-122 =9. 故 DC=BC-BD=14-9 =5. A. 4 B. 2 5 C. 18 13 D. 12 13
(2)淤转化法:因为 E 为斜边 AC 的中点,所以 DE = AE = 13 13
BC 2 BC 2
CE,所以蚁EDC=蚁C,所以 tan蚁EDC= tan C= ADDC=
12 . 分析:疫 cos B = AB,且 cos B = 3 ,亦 AB = 3 . 疫 AB = 6,5
于 2构造直角三角形法:过 E 点作 EF彝DC 于 F,因为 E 为 亦 BC= 3 伊6 =4. 故选 A.
第一章摇 直角三角形的边角关系
2. 30°,45°,60°角的三角函数值
2. 点 A( cos 60毅, - tan 30毅) 关于原点对称的点 A忆的坐标
揖建议用时:10 分钟铱 是(摇 A摇 ) .
知识点 1. sin 30毅的值等于(摇 A摇 ) . A. 1 - , 3 ÷ B. - 3 , 3 ÷
A郾 1 B郾 2
è 2 3 è 2 3
2 2 C郾
3
2 D郾 1 C. - 1 ,- 3 D. 1 3 ÷ - , ÷
分析:方法一:利用直角三角形中 30毅角所对的边是斜边的一 è 2 3 è 2 2
半,得 sin 30毅 = 12 ;方法二:由特殊角的锐角三角函数值知
1
分析:因为 cos 60毅 = 2 ,tan 30毅 =
3
3 ,所以 A
1 3
,- ÷ 关
è 2 3
sin 30毅 = 12 . 故选 A. 于原点对称的点 A忆的坐标为 -
1 , 3 ÷ . 故选 A.
è 2 3
知识点 2. tan 45毅+2sin 60毅+cos 60毅的结果是(摇 B摇 ) .
3 3. 在 吟ABC 中, 蚁C = 90毅, sin B =
1
2 , 则 tan A 的 值A. 2 B. 3 + 2 为(摇 A摇 ) .
C. 2 D. 52 A. 3 摇 摇 摇 B. 1摇 摇 摇 C. 33 摇 摇 摇 D. 1
: =1+2伊 3 + 1分析 原式 2 2 =
3
2 + 3 . 故选 B. 分析:因为 sin 30毅 =
1
2 ,所以蚁B = 30毅. 故蚁A = 90毅 -
知识点 3. 若在吟ABC 中,sin A=cos B= 22 ,则下列最确切的结
30毅 =60毅. 故 tan A= tan 60毅 = 3 . 故选 A.
4. 如图 1 - 2 - 2,菱形 ABCD 的边长为 2,
论是(摇 C摇 ) . 蚁ABC=45毅,则点 D的坐标为(摇 C摇 ).
A. 吟ABC 是直角三角形
B. 吟ABC 是等腰三角形 A. (2, 2 ) 摇 摇 摇 摇 摇
C. 吟ABC 是等腰直角三角形 B. (2,2+ 2 )
D. 吟ABC 是锐角三角形 C. (2 + 2 , 2 ) 摇 摇 摇 摇 摇 图 1-2-2
分析:疫 sin A=cos B= 22 ,亦 蚁A=蚁B=45毅,亦 吟ABC
D. ( ,2)
是等腰 2
分析:过点 A 作 AE彝x 轴于点 E. 在 Rt吟AOE 中,AE =
直角三角形. 2 2
知识点 4. 课外活动小组测量学校旗 AO·sin 45毅 =2伊 2 = 2 ,OE =OA·cos 45毅 = 2伊 2 = 2 .
杆的高度. 如图 1 -2 -1,当太阳光 所以 A( 2 , 2 ) . 又因为 AD=2,AD椅x 轴,所以 D(2+ 2 ,
线与地面成 30毅角时,测得旗杆 AB
2 ),故选 C.
在地面上的投影 BC 长为 24 m,则
旗杆 AB 的高度约是摇 13. 9摇 m( 二、填空题结
1 1
果保留 1 位小数, 3抑1. 732) . 图 1-2-1 5. 计算:sin 60毅·cos 30毅- 2 = 摇 4 摇 .
分析:本题是解由太阳光线、旗杆 分析:先求出各特殊角的三角函数值,再运用实数运算法
及其影长构成的一个直角三角形,利用锐角 30毅的正切函数 则计算.
, tan 30毅 = AB 3 3 3值 得 BC= 3 ,所以 AB=BC·
2
3 =24伊 3 抑13. 9. 6. 已知蚁A 为锐角,且 tan A=1,则 cos A= 摇 2 摇 .
知识点 5. 计算: 分析:根据蚁A 为 锐 角,且 tan A = 1,得蚁A = 45毅,所 以
(cos 60毅) -1衣(-1) 2 012+ |2- 8 | - 2 伊(tan 30毅-1) 0 .
2 -1 cos A=
2
2 . B摇5
分析:解题时注意任何非 0 数的 0 次幂等于 1. 2 1
1 -1 2 ( ) 7. 在锐角三角形 ABC 中,若 sin A = 2 ,cos B = 2 ,则蚁C=: 2 +1解 原式= ( 2 ) 衣1+( 8 -2)- 伊1( 2 +1 ) ( 2 -1 ) 摇 75毅摇 .
=2+2 2 -2-2 2 -2 = -2. 分析: 2在锐角三角形 ABC 中,由 sin A = 2 ,得蚁A = 45毅.
1
揖建议用时:40 分钟铱 由 cos B = 2 ,得蚁B = 60毅. 根据三角形内角和为 180毅,
得蚁C=180毅-45毅-60毅 =75毅.
一、选择题 8. 计算: sin 30毅 ·cos 30毅 - tan 30毅 = 摇 - 3 摇 (结果保留
1. 在吟ABC 中,如果 sin B = cos(90毅 -C) = 12 ,那么吟ABC
12
根号) .
是(摇 A摇 ) . 分析:根据特殊角的三角函数值直接计算. sin 30毅 ·
A. 等腰三角形摇 摇 摇 摇 摇 B. 等边三角形 1 3 3 3
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 cos 30毅-tan 30毅 = 2 伊 2 - 3 = -12 .
分析: 1因为 sin 30毅 = cos 60毅 = 2 ,所以蚁B = 30毅,90毅 -
三、解答题
1 2
蚁C=60毅,则蚁C=30毅,蚁A=120毅. 故选 A. 9. 计算:(1)tan 45毅+ 2 tan 60毅+ (1-cos 30毅) ;
知识点摇 30毅,45毅,60毅角的三角函数值摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
(2)2-1+ 3 tan 30毅-(仔-2 012) 0 . 蚁B=45毅,
解:(1)tan 45毅+ 12 tan 60毅+ (1-cos 30毅)
2 亦 AD=DB=AB·sin 45毅 = 6 伊 22 = 3 .
2 AD
=1+ 1 伊 3 + 1- 3
在 Rt吟ACD 中,疫 tan C=
÷
2 CD
,
è 2
亦 CD= AD 3 3
=1+ 3 +1- 3 =2. tan C
= tan 60毅 = =1,3 摇 (第 12 题图)2 2
1 3 亦 BC=BD+DC= 3 +1,(2)2-1+ 3 tan 30毅-(仔-2 012) 0 = 2 + 3 伊 3 -1 亦 AC= ADsin C=
AD 3
1 1 sin 60毅
= =2.
3
= 2 +1-1 = 2 . 2
10. 在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅. 五、探究题
(1)已知 BC=8,蚁B=60毅,求 AB 及 AC; 13. 如图 1-2-5,在 Rt吟ABC 中,蚁ACB=90毅,AB=6,P 是 AB
(2)已知蚁B=45毅,AC= 6 ,求 AB 及 tan A. 上一点,连接 CP,设蚁BCP=m蚁ACP,当BPAP =7+4 3时,是
解:(1)疫 cos B=BCAB,tan B=
AC
BC,BC=8,蚁B=60毅, 否存在正整数 m,使 CP彝AB 如果存在,求出 m 的值;如
果不存在,说明理由.
亦 AB= BCcos 60毅 =16,AC=BC·tan 60毅 =8 3 .
(2)疫 蚁B=45毅,蚁C=90毅,亦 蚁A=45毅.
AC 2 摇 摇 摇亦 tan A=1,cos A=AB= 2 , 图 1-2-5 (第 13 题图)
AC 分析:先假设存在,若存在可找出答案. 若不存在,可得亦 AB= = 6 伊 2 =2 3 . 出矛盾. 由于 CP 与 AP,BP 的比值不是特殊值,蚁A,蚁B
2 很难求出. 通过对 CP,BP,AB 的数值进行分析,取 AB 的
2 中点 O,构造出 Rt吟OPC,它是含特殊角的三角形,从而
11. 如图 1-2-3,吟ABC 是某市的一块三角形空地,现准备在 使问题得解.
上面种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 BP
售价为 a 元,问购买这种草皮至少花费多少元 解:如图,假设存在正整数 m,使 CP彝AB. 因为AP = 7+
4 3 ,AB=6, 6-PA = 7+4 3 , PA = 6-3 3所以 PA 所以 2 ,PB =
6+3 3
图 1-2-3 2
. 因为 CP彝AB 于 P,所以蚁CPB=90毅. 取 AB 的中
分析:要求所需费用,只要求出购买这种草皮的面积,把 点 O,连接 OC. 因为蚁ACB = 90毅, OC = 1所以 AB = 3. 因
AC 看做是底,则 AC 边上的高 BD 可看做 Rt吟ABD 的一 2
条边,在 Rt吟ABD 中,AB = 20,蚁DAB = 30毅,利用正弦的 为 OP=BP-OB = 3 32 ,所以在 Rt吟OCP 中,cos蚁COP =定义可求 BD.
OP 3
OC= 2 ,所以蚁COP = 30毅. 因为 OC = OB,所以蚁B =
1
2 蚁AOC = 15毅, 所 以 蚁BCP = 75毅, 蚁ACP = 15毅, 所
以 m=5.
(第 11 题图)
解:如图,过 B 作 BD彝CA,交 CA 的延长线于点 D.
B摇6 疫 蚁BAC=150毅,亦 蚁BAD=180毅-150毅 =30毅. 14. (2012·山东济南中考)2sin 30毅- 16 = 摇 -3摇 .
1
亦 BD=AB·sin 蚁BAD=20sin 30毅 =20伊 12 =10(m) .
分析:2sin 30毅- 16 =2伊 2 -4 = -3.
1 1 15. (2013·重庆中考) 如图 1 - 2 - 6,在吟ABC 中,蚁A =亦 S吟ABC = 2 AC·BD= 2 伊30伊10 =150(m
2) . 45毅,蚁B = 30毅,CD彝AB,垂足为 D,CD = 1,则 AB 的长
亦 花费的费用为 150a 元. 为(摇 D摇 ) .
答:购买这种草皮至少花费 150a 元. A. 2摇 摇 摇 B. 2 3 摇 摇 摇 C. 33 +1摇 摇 摇 D. 3 +1
分 析: 疫 CD 彝 AB,
四、综合题 亦 蚁ADC = 蚁BDC = 90毅.
12. 如图 1-2-4,在吟ABC 中,已知 AB = 亦 tan A = CD, tan B = CD,
6,蚁B=45毅,蚁C=60毅,求 AC,BC的长. AD BD
分析:BC 不在直角三角形中,应作辅 亦 AD= CD = 1
助线将其转化到直角三角形中,因此 tan A tan 45毅
,BD = 图 1-2-6
可作 AD彝BC 于 D,此时组成 BC CD 1 1的
图 1-2-4 tan B
= tan 30毅 = = 3 .
两条线段 BD,CD 可分别在 Rt吟ABD 3
和 Rt吟ACD 3中求得.
解:如图,过 点 A 作 AD彝 BC 于 D. 在 Rt 吟ABD 中, 亦 AB=AD+BD=1+ 3 . 故选 D.
第一章摇 直角三角形的边角关系
3. 三角函数的有关计算
5. 已知 sin 63毅 =0. 891 0,若 cos 琢=0. 891 0,不用计算就可求
揖建议用时:10 分钟铱 得 琢= 摇 27毅摇 .
知识点髴 1. 用计算器求下列各式的值:(小数点后保留四位) 点拨:sin A=cos(90毅-A) .
(1)sin 35毅; (2)tan 85毅; 6. 如图 1-3-2,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面
(3)sin 72毅38忆25义; (4)cos 47毅15忆. 高度 AC 为 3 m,引桥的坡角蚁ABC 为 15毅,则引桥的水平
解:(1)sin 35毅抑0. 573 6. 距离 BC 的长约是摇 11. 2摇 m(精确到 0. 1 m) .
(2)tan 85毅抑11. 430 1.
(3)sin 72毅38忆25义抑0. 954 5.
(4)cos 47毅15忆抑0. 678 8.
知识点髵 2. 根据下列各式求锐角 A 的大小(用度、分、秒表 图 1-3-2
示): 分析:在 Rt吟ABC AC中, = tan蚁ABC, BC = AC所以 抑
(1)sin A=0. 981; BC tan 15毅
(2)cos A=0. 860 7; 11. 2.
(3)tan A=56. 78. 7郾 如图 1-3-3,从点 C 测得树的仰角为
解:(1)蚁A抑78毅48忆48义. 33毅, BC = 20 m, 则 树 高 AB 抑
(2)蚁A抑30毅36忆17义. 摇 13.0摇 m(用计算器计算,结果精确
(3)蚁A抑88毅59忆28义. 到 0.1 m).
分析:在 Rt吟ABC 中,根据三角函
揖 :40 铱 图 1-3-3建议用时 分钟
数的定义,得 tan蚁ACB = ABBC,所以
AB=BC·tan蚁ACB=20·tan 33毅,用计算器计算,得 AB抑
一摇 摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 20伊0. 649 4抑13. 0.
1. 若已知 tan 兹=0. 342 9,则 兹 约为(摇 C摇 ) .
三、解答题
A. 17毅 B. 18毅 C. 19毅 D. 20毅
8. 用计算器计算:
点拨:注意按键顺序.
sin 15毅18忆+cos 7毅30忆-tan 54毅42忆.
2. 某人沿倾斜角为 25毅的斜坡前进了 100 m,则他上升的最
(摇 A摇 ) . 解:原式抑0. 263 87+0. 991 44-1. 412 35 = -0. 157 04.大高度约为
A. 42. 3 m B. 236. 6 m 9. 已知吟ABC,蚁C = 90毅,蚁A,蚁B,蚁C 所对的边分别为 a,
C. 46. 6 m D. 72. 5 m b,c,且 a=8,b=6,试求较小的锐角度数.
分析:上升高度为 100伊sin 25毅抑42. 3(m) . 故选 A. 解:疫 a=8>b = 6,亦 蚁B 是较小的角. 疫 tan B = b = 6a 8 =
3郾 如图 1-3-1,某飞机于空中 A 处探测到目标 B,此时飞机
3
高度 AC=1 200 m,从飞机上看目标 B 的俯角 琢 = 18毅,则 4 ,借助计算器可求蚁B抑36毅52忆12义.
飞机 A 到目标 B 的距离约为(摇 C摇 ) . (精确到 1 m,参考 10. 如图 1-3-4,小明在楼顶 A 处测得对面大楼楼顶 C 处的仰
数据:sin 18毅抑0. 31,cos 18毅抑0. 95,tan 18毅抑0. 32) 角为 52毅,楼底 D 处的俯角为 13毅. 若两座楼 AB 与 CD 相
距 60 m,求楼 CD 的高度(结果保留 1 位小数) . B摇7
(参考数据:sin 13毅抑0郾 225 0,cos 13毅抑0郾 974 4,tan 13毅抑
0郾 230 9,sin 52毅抑0郾 788 0,cos 52毅抑0郾 615 7, tan 52毅抑
1郾 279 9)
图 1-3-1
A. 3 771 m B. 3 869 m
C. 3 871 m D. 3 875 m
分析: AC由题图可知蚁B = 蚁琢 = 18毅, sin B = AB. 由 AC =
1 200 m,得 AB= AC 1 200sin 18毅抑0. 31 抑3 871(m) . 故选 C.
二、填空题 图 1-3-4
4. 用计算器求下列锐角的三角函数值: 解:作 AE彝CD 于 E,得矩形 ABDE,故 AE=BD=60 m.
(1)sin 25毅16忆抑摇 0. 43摇 (保留 2 位小数); 又疫 蚁EAD=13毅,蚁CAE=52毅,
(2)cos 10毅36忆抑摇 0. 982 9摇 .
知识点髴用计算器求一般锐角的三角函数值摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵使用计算器由已知锐角三角函数值求相对应的锐角摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
亦 tan 蚁CAE = CE, tan 52毅 = CE, CE 抑1. 279 9 伊 60 = 解:设 x1,x2 是关于 x 的方程 x
2-4x+m=0 的两个正整数
AE 60 根,所以 x1+x2 =4,所以 x1 = x2 = 2 或 x1 = 1,x2 = 3 或 x1 =
76. 794. 3,x2 =1. 所以 b 只能取 1,2,3. 因为 a = 3,c = 5,所以 2<
tan蚁EAD=DE,tan 13毅 =DEAE 60 ,DE抑0. 230 9伊60 =13. 854.
b<8,所以 b = 3,则有 AC = BC = 3,如图,过点 C 作 CD彝
亦 CD=CE+DE=76. 794+13. 854 =90. 648抑90. 6(m) . AB 于 D,
1 5
得 AD = 2 AB = 2 . 因为在Rt吟ADC中,cos A =
亦 楼 CD 的高度约为 90. 6 m. 5
11. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔. 如图 1-3-5, AD= 2 = 5 ,所以蚁A抑34毅.
新电视塔高 AB 为 610 m,远处有一栋大楼,某人在楼底 C AC 3 6
处测得塔顶 B 的仰角为 45毅,在楼顶 D 处测得塔顶 B 的
仰角为 39毅. 13. (2012·湖北宜昌中考)在“测量旗杆的高度冶的数学课
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC; 题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为
(2)求大楼的高度 CD(精确到 1 m) . 27毅,如图 1-3-6,此时旗杆在水平地面上的影子的长度
为 24 米,则旗杆的高度约为(摇 D摇 ) .
图 1-3-5 图 1-3-6
分析:(1)由于蚁ACB=45毅,蚁A=90毅,因此吟ABC 是等腰 A. 24 米 B. 20 米
直角三角形,所以 AC = AB = 610 m;(2)过 D 作 DE彝AB C. 16 米 D. 12 米
于 E,根据矩形的对边相等可知:DE = AC = 610 m,在 Rt 分析:旗杆的高度=24伊tan 27毅抑12(米) . 故选 D.
吟BDE 中,运用直角三角形的边角关系即可求出 BE 的 14. (2012·江苏南京中考)如图 1-3-7,将 45毅的蚁AOB 按
长,用 AB 的长减去 BE 的长度即为大楼的高度 CD. 下面的方式放置在一把刻度尺上:定点 O 与尺下沿的端
解:(1)由题意,得 AC=AB=610 m. 点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺上沿的交点 B 在刻度
(2)过 D 作 DE彝AB 于 E,则得 DE=AC=610 m. 尺上的读数恰为 2 cm. 若按相同的方式将 37毅的蚁AOC
放置在该刻度尺上,则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的
在 Rt吟BDE 中,tan蚁BDE=BEDE,故 BE=DE·tan 39毅. 读数为 摇 2. 7 摇 cm. (结果精确到 0. 1 cm,参考数据:
因为 CD = AE,所以 CD = AB-DE· tan 39毅 = 610 -610 伊 sin 37毅抑0. 60,cos 37毅抑0. 80,tan 37毅抑0. 75)
tan 39毅抑116(m) .
答:大楼的高度 CD 约为 116 m.
点拨:注意近似值的取舍.
摇 摇 摇
B摇8 四、学科内综合题 (第 14 题图) 图 1-3-7
12. 在吟ABC 中,蚁A,蚁B,蚁C 的对边分别是 a,b,c,且 a = 分析:如图,过点 B 作 BD彝OA 于点 D,过点 C 作 CE彝OA
3,c=5,b 是关于 x 的方程 x2 -4x+m= 0 的两个正整数根 于点 E. 在 吟BOD 中, 疫 蚁BDO = 90毅, 蚁DOB = 45毅,
之一,求蚁A 的度数(结果精确到 1毅) . 亦 BD = OD = 2 cm, 亦 CE = BD = 2 cm. 在 吟COE 中,
分析:先利用一元二次方程根与 蚁CEO= 90毅,蚁COE = 37毅, 疫 tan蚁COE = CEOE抑0. 75,
系数的关系以及三角形三边关
亦 OE抑2. 7 cm. 亦 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数
系确定出 b 的值,从而确定三角
约为 2. 7 cm.
形的形状,再作辅助线构造直角 (第 12 题图)
三角形来解题.
第一章摇 直角三角形的边角关系
4. 船有触礁的危险吗
BD=AB·cos 30毅 =150,所以 CD=BC-BD=200-150= 50,所以
揖建议用时:10 分钟铱 AC= AD 2+CD 2 = (50 3 )2+502 =100(m) .
知识点 1. 在一次夏令营活动中,小霞同学从营地 A 点出发,要
到距离 A 点 1 000 m 的 C 地去,先沿北偏东 70毅方向到达 B 揖建议用时:40 分钟铱
地,然后再沿北偏西 20毅方向走了 500 m 到达目的地 C,此时
小霞在营地 A 的(摇 C摇 ) .
A. 20毅 摇一、摇选摇择摇题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇北偏东 方向上
B. 1.如图 1-4-4,从热气球 C 上测定建筑物 A,B 底部的俯角分北偏东 30毅方向上
C. 40毅 别为 30毅和 60毅,如果这时气球的高度 CD 为 150 m,且点 A,北偏东 方向上
D. 30毅 D,B 在同一直线上,那么建北偏西 方向上
分析: 如 图, 作 BD 椅 AE, 筑 物 A, B 间 的 距 离由 题 意 可 知
蚁BAE = 20毅, 蚁ABD = 蚁BAE = 为(摇 C摇 ) .则
20毅,蚁CBF = 20毅,蚁CBD = 90毅 -蚁CBF = A. 150 3 m
70毅,因此蚁ABC=蚁ABD+蚁CBD= 90毅. 在 B. 180 3 m
Rt吟ABC 中, AC= 1 000, BC = 500, 因 C. 200 3 m 图 1-4-4
此 蚁BAC = 30毅, 故 蚁CAE = 蚁BAC + (第 1 题图) D. 220 3 m
蚁BAE=50毅,所以 C 在 A 的北偏东 40毅方 CD
向上. 故选 C. 分析:由题意,得蚁A = 30毅,蚁B = 60毅,AD = tan A = 150 3 ,
知识点 2. 如图 1-4-1,小明为了测量其所
BD= CDtan B=50 3 ,则 AB=AD+BD= 150 3 +50 3 = 200 3 .在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,
沿着与 AB 垂直的方向走了m m,到达点 故选 C.
C,测得蚁ACB=琢,那么 AB等于(摇 B摇 ) . 2. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C
A. m·sin 琢 m B. m·tan 琢 m 的俯角为 60毅,又知水平距离 BD=10 m,楼高 AB=24 m,则
图 1-4-1
树高 CD 为(摇 A摇 ) .
C. m·cos 琢 m D. mtan 琢 m
A. (24-10 3 ) m B. 24-10 3 ÷ m
分析: tan 琢 = AB由正切定义可知 AC,所以 AB = AC·tan 琢 =m·
è 3
C. (24-5 3 ) m D. 9 m
tan 琢. 故选 B. 分析:本题可以运用三角函数知识来解,设树高为 x m,再
知识点 3. 如图 1-4-2,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行, 解直角三角形. 故选 A.
在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60毅方向上,航行半小时后到 3. 如图1-4-5,将圆桶中的水倒入一个直径
达 B 处,此时观测到灯塔 M 在北偏东 30毅方向上,那么该船 为 40 cm,高为 55 cm 的圆口容器中,圆
继续航行摇 15摇 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置. 桶与水平面夹角为 42毅.若使容器中的水
分析:过点 M 作 MN彝AB 于点 N,则点 N 为渔船到达离灯塔 面与圆桶相接触,则容器中水的深度至
距离最近的位置. 由题意易知蚁MAB = 蚁AMB = 蚁BMN = 少应是(摇 D摇 )(精确到 1 cm).
30毅,所以 AB=BM=2BN. 因为船匀速从 A 到 B 需半小时,所 A. 10 cm B. 20 cm
以从 B 到 N 需一半时间,即 15 分钟. C. 30 cm D. 35 cm 图 1-4-5
点拨:有关方位角的题目,往往需要解直角三角形,当题目中 分析:过点 A 作 AC彝BD 于点 C. 在 Rt B摇9
没有直角三角形时,我们可以作辅助线构造直角三角形,作 吟ABD 中,因为蚁ABD = 42毅,BD = 40 cm,亦 AB = BD·
辅助线时要考虑如何充分和便利地使用已知条件. cos 42毅抑29. 7(cm) . 在 Rt吟ABC 中,AC = AB·sin 42毅抑
20(cm) . 亦 容器中水的深度至少应为 55-20 = 35(cm) . 故
选 D.
二、填空题
4. 如图 1-4-6,在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AM 是 BC 边上的
中线,sin蚁CAM= 35 ,则 tan B 的值为摇
2
3 摇 .
摇 摇
分析:设 CM= x,利用 sin蚁CAM =CM 5AM,得 MA= x,再由勾图 1-4-2 图 1-4-3 3
知识点 4. 如图 1 - 4 - 3,小明从 A 地沿北偏东 30毅 方向 4股定理可求出 AC= 3 x. 因为 M 是 BC 的中点,所以 BC =
走 100 3 m 到 B 地,再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地, AC 2
此时小明离 A 地摇 100摇 m. 2x. 所以 tan B=BC= 3 .
分析:设 BC 与东西方向的线交于 D 点,则 AD= 12 AB=50 3 ,
知识点摇 运用三角函数解决实际问题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
解:在 Rt吟ABD 中,AB = 3,
蚁ADB=45毅,
AD = AB所 以 tan蚁ADB =
摇 摇 3 3
tan 45毅 = 1 =3.图 1-4-6 图 1-4-7
5. 在 Rt 吟ACD 中, AD =如图 1-4-7,若一水库迎水坡 AB 的坡度 i= 1 ︰ 3 ,则该坡
3,蚁ADC=60毅, 图 1-4-10
的坡角 琢= 摇 30毅摇 .
所以 AC=AD·tan蚁ADC=3伊tan 60毅 =3伊 3 =3 3 .
分析:坡度指的是坡角的正切值,则有 tan 琢 = 1 颐 3 ,所
所以路况显示牌 BC 的高度为 (3 3 -3 ) m.
以蚁琢=30毅. 10. (2012·湖南张家界中考)黄岩岛是我国南海上的一个
6. 如图 1 - 4 - 8,在吟ABC 中, 蚁B= 岛屿,其平面图如图 1-4-11 甲,小明据此构造出该岛的
45毅,cos C= 3 ,AC= 5a,则吟ABC 的 一个数学模型如图 1-4-11 乙,其中蚁B=蚁D=90毅,AB=5
BC=15 千米,CD=3 2千米,请据此解答如下问题:
面 积 用 含 a 的 式 子 表 示 是
摇 14a2 摇 . 图 1-4-8
分析:过点 A 作 AD彝BC 于 D. 在
Rt吟ADC中,cos C= 35 ,AC = 5a,所以 DC = 3a,AD = 4a. 又
因为在 Rt吟ADB 中,蚁B = 45毅,所以 BD = AD = 4a. 因此,
吟ABC 1 AD·BC= 1 ·4a·7a=14a2 . 图 1-4-11的面积为 2 2 (1)求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据 2抑
7. 如果方程 x2-4x+3 =0 的两个根分别是Rt吟ABC的两条边, 1. 141, 3抑1. 73, 5抑2. 45);
(2)求蚁ACD 的余弦值.
吟ABC 最小的角为蚁A,那么 tan A 的值为摇 1 23 或 4 摇 . 解:(1)如图,连接 AC.
分析:可以求得方程的两个根分别为 1 和 3,即Rt吟ABC 的 疫 AB=BC=15 千米,蚁B=90毅,
两条边长分别为 1 和 3. 当 1 和 3 分别为两直角边时,tan A 亦 蚁BAC=蚁ACB=45毅,AC=15 2千米.
1 又疫 蚁D=90毅,
的值为 3 ;当 1 和 3 分别为直角边和斜边时,tan A 的值 亦 AD = AC2-CD2 = (第 10 题图)
2
为 . (15 2 )
2-(3 2 ) 2 =12 3 (千米) .
4 亦 该岛的周长为 AB+BC+CD+AD = 15+15+3 2 +12 3 抑
三、解答题 30+3伊1. 414+12伊1. 73抑55(千米) .
8. 某市准备在相距 2 km 的 A,B 两工厂间修一条笔直的公路, 1
该岛的面积为 AB·BC+ 1 CD·AD = 1 伊15伊15+ 1 伊
但在 B 地北偏东60毅方向、A 地北偏西45毅方向的 C 处,有一 2 2 2 2
个半径为 0. 6 km 的住宅小区,如图 1-4-9. 问修筑公路时, 3 2 伊12 3抑112. 5+44. 0抑157(平方千米) .
这个小区是否有居民需要搬迁 (参考数据: 2 抑1. 41, (2)cos 蚁ACD=CD 3 2 1AC = = 5 .
3抑1郾 73) 15 2
解:过点 C 作 CD彝AB 于 D,
CD 11. (2013·山东泰安中考)如图 1-4-12,某海监船向正西方
则 有 AD = tan 45毅 = CD, BD = 向航行,在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45毅B1摇 0 CD 方向,海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45毅方
tan 30毅 = 3CD. 向,又航行了半小时到达 C 处,望见渔船 D 在南偏东 60毅
疫 BD + AD = AB = 2, 3 CD + 图 1-4-9 方向,若海监船的速度为 50 海里 /小时,则 A,B 之间的距即
CD=2. 离为摇 67.5海里摇 (取 3抑1.7,结果精确到 0.1 海里).
亦 CD= 2 = 3 -1抑1. 73-1 =0. 73>0. 6.
3 +1
亦 修筑公路不会穿越该住宅小区,故该小区没有居民需要 摇 摇
搬迁. 图 1-4-12 (第 11 题图)
分析:疫 蚁DBA=蚁DAB=45毅,亦 吟DAB 是等腰直角三角形.
、 如图,过点D 作DE彝AB 于点E,则DE=
1
2 AB.设 DE= x,则四 应用题
9. 某市为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警 AB= 2x. 在 Rt吟CDE 中,蚁DCE = 30毅,则 CE = 3DE =
队在一些主要路口设立了交通路况显示牌,如图 1-4-10. 3 x. 在 Rt吟BDE 中,蚁DBE = 45毅,则 DE = BE = x. 由题
已知立杆 AB 高度是 3 m,从侧面 D 点测得显示牌顶端 C
B 60毅 45毅, BC 意,得 CB= CE-BE = 3 x-x = 25,
25( 3 +1)
解得 x = 2 . 故点和底端 点的仰角分别是 和 求路况显示牌
的高度. AB=25( 3 +1)抑67. 5(海里) .
第一章摇 直角三角形的边角关系
5. 测量物体的高度
课 时 1 测量物体的高度(1)
D. 利用直角三角形的边角关系可计算物体的高度
揖建议用时:10 分钟铱 分析:测倾器可用来测量倾斜角,包括仰角和俯角,故 A
知识点髴 1. 某校在周一举行升国旗仪式,小明同学站在离旗 正确;显然 B 也正确;直尺只能测量物体长度,故 C 错;实
杆 20 m 处,如图 1-5. 1-1. 随着国歌响起,五星红旗冉冉升 际生活中常利用直角三角形的边角关系来计算物体高度,
起,当小明同学目视国旗的仰角为 37毅时(假设该同学的眼 故 D 正确.
睛距地面的高度为 1. 6 m),求此时国旗离地面的距离(精确 2. 如图 1-5. 1-3,风景区为
到 0. 1 m) . 了方便游人参观,计划从
解:由 已 知, 得 蚁ADE = 37毅, DE = 山峰 A 处架设一条缆车线
BC=20 m,CD=BE=1. 6 m, 路到另一山峰 C 处,若在
在 Rt吟ADE 中,AE =DE·tan 37毅抑 A 处测得 C 处的俯角为
20伊0. 753 6抑15. 1(m) . 30毅,两山峰的底部 BD 相
距 900 m,则缆车线路的
故 AB=15. 1+1. 6 =16. 7(m),
长为(摇 B摇 ) . 图 1-5. 1-3
即此时国旗离地面约 16. 7 m.
髵 A. 300 3m B. 600 3m知识点 2. 在数学活动课上,老师带 图 1-5. 1-1
领学生去测河宽,如图 1-5. 1-2,某学生在点 A 处观测到河 C. 900 3m D. 100 m
分析:过点 C 作 AB 的垂线段,构造直角三角形求解.故选 B.
对岸水边处有一点 C,并测得蚁CAD = 45毅,在距离 A 点 30 m
的 B 处测得蚁CBD=30毅,求河宽 CD( 二、填空题结果保留根号) .
3. 如图 1-5. 1-4,为测楼房 BC 的高,若在距楼房30 m的 A
处, 测 得 楼 顶 的 仰 角 为 琢, 则 楼 房 BC 的 高 度
为摇 30tan 琢m摇 .
图 1-5. 1-2
解:在 Rt吟ACD 中,
tan蚁CAD=CD, 图 1-5. 1-4AD 三、解答题
亦 CD=AD·tan蚁CAD=AD·tan 45毅 =AD. 4. 如图 1-5. 1-5,山脚下有一棵树 AB,小华从 B 沿山坡向上
Rt吟BCD ,tan蚁CBD=CD在 中 , 走 50 m 到达点 D,用高为 1. 5 m 的测倾器 CD 测得树顶的BD
仰角为 10毅,已知山坡的坡角为 15毅,求树 AB 的高.
亦 CD=BD·tan蚁CBD=BD·tan 30毅 = 3 BD. (结果精确到 0. 1 m. 参考数据:sin 10毅抑0. 17,cos 10毅抑3
0. 98,tan 10毅 抑0. 18, sin 15毅 抑0. 26, cos 15毅抑0. 97,
亦 AD= 33 BD. 又疫 BD-AD=AB=30, tan 15毅抑0. 27)
B1摇 1
解:延长 CD 交 PB 于点 F,则 DF彝PB. 所以 DF = BD·
亦 BD- 33 BD=30,亦 BD=15 3 +45. sin 15毅抑50伊0. 26 = 13. 0. 所以 CE = BF = BD·cos 15毅抑
50伊0. 97 = 48. 5. 所以 AE = CE· tan 10毅抑48. 5 伊 0. 18 =
亦 CD= 33 BD=15+15 3 , 8. 73. 所以 AB=AE+CD+DF=8. 73+1. 5+13. 0抑23. 2(m),即
树 AB 的高约为 23. 2 m.
即河宽为(15+15 3 )m.
揖建议用时:15 分钟铱
一、选择题
1. 下列叙述中不正确的是(摇 C摇 ) .
A. 测量俯角可以用测倾器
图 1-5. 1-5
B. 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成
C. 测量倾斜角可以用直尺
知识点髴测量底部可以到达的物体的高度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵测量底部不可以到达的物体的高度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
课 时 2 测量物体的高度(2)
(精确到 0. 1 m, 3抑1. 73) .
揖建议用时:45 分钟铱 4. 如图 1-5. 2-4,在一个坡角为 15毅的斜坡上有一棵树,高为
AB.当太阳光与水平线成 50毅角时,测得该斜坡上的树影 BC
的长为 7 m,则树高为摇 6.2 m摇 . (精确到 0. 1 m.参考数据:
一、选择题 sin 15毅抑0. 258 8, cos 15毅抑0. 965 9, tan 50毅 抑 1. 191 8,
1. 小强和小明去测量一座古塔的高度,如图 1-5. 2-1,他们 sin 50毅抑0. 766 0)
在离古塔 60 m 的 A 处,用测角仪测得塔顶的仰角为 30毅,
已知测角仪高 AD=1. 5 m,则古塔 BE 的高为(摇 B摇 ) .
摇 摇 摇 摇
图 1-5. 2-4 (第 4 题图)
分析:如图,过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D,则
AD彝CD. 所以蚁BCD = 15毅,蚁ACD = 50毅. 在 Rt吟CDB 中,
CD=7·cos 15毅,BD=7·sin 15毅. 在Rt吟CDA中,AD=CD·
图 1-5. 2-1 tan 50毅 = 7· cos 15毅· tan 50毅. 所以 AB = AD -BD = 7·
A摇 . 摇(2摇0 摇3 -摇 1摇. 5摇)m摇 摇 摇 摇 B摇 . 摇(2摇0 摇3 +摇 1. 5)m cos 15毅· tan 50毅 - 7 · sin 15毅 = 7(cos 15毅·tan 50毅-
C. 31. 5 m D. 28. 5 m sin 15毅)抑6. 2(m),即树高约为 6. 2 m.
2. 一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高 三、解答题
度CD.已知他的眼睛与地面的距离为1.6 m,小迪在B 处测量 5. 建于明洪武七年(1374 年),高度 33 m 的光岳楼是目前我
时,测角器中的蚁AOP=60毅(量角器零度线 AC 和铅垂线 OP 国现存的最高大、最古老的楼阁之一,如图 1-5. 2-5(1) .
的夹角),如图1-5.2-2,然后他向小山走 50 m 到达点 F 喜爱数学实践活动的小伟,在 30 m 高的光岳楼顶 P 处,利
处(点 B,F,D在同一条直线上),这时测角器中的蚁EO忆P忆= 用自制测角仪测得正南方向一商店 A 点的俯角为 60毅,又
45毅,那么小山的高度 CD 约为(摇 C摇 ). (参考数据: 3 抑 测得其正前方的海源阁宾馆 B 点的俯角为 30毅,如图 1-
1郾 732, 2抑1.414) 5. 2-5(2) . 求商店与海源阁宾馆之间的距离(结果保留
根号) .
图 1-5. 2-5
图 1-5. 2-2 分析:求商店与海源阁宾馆之间的距离即求线段 AB 的长
度,分别在 Rt吟POB 和 Rt吟POA 中运用三角函数求得
B1摇 2 A. 123 m B. 121 m C. 70 m D. 68 m OB,OA 即可.
分析:设 CG= x m,由题中条件可知蚁CAG = 30毅,蚁CEG =
解:由题意,知蚁PAO=60毅,蚁B=30毅.
45毅,则在 Rt吟ACG 中,AC = 2x,AG = 3 x. 在 Rt吟CEG 中,
在 Rt吟POA 中, tan蚁PAO = PO, tan 60毅 = 30 ,OA = 30 =
EG=GC= x. 又 AG-EG = 50,即 3 x-x = 50,解得 x = 25 3 + OA OA 3
25. CD=CG+GD=25 3 +25+1. 6抑70(m) . 故选 C. 10 3 .
二、填空题 PO 30 摇 30摇
3. 九年级三班小亮同学学习了“测量物 在 Rt吟POB 中, tan B = OB, tan 30毅 = OB,OB = =3
体的高度冶一节课后,他为了测得风 3
筝的高度,如图 1-5. 2-3,进行了如 30 3 ,
下操作:
(1) A , 所以 AB=OB-OA=30 3 -10 3 =20 3 .在放风筝的点 处安置测倾器
测得风筝 C 的仰角蚁CBD=60毅; 即商店与海源阁宾馆之间的距离为 20 3 m.
(2)根据手中剩余线的长度算出风筝 6. 如图 1-5. 2-6,为了测量山的高度,勘测人员从 B 点出发,
图 1-5. 2-3
线 BC 的长度为 70 m; 沿坡角为 15毅的坡面以 5 km / h 的速度行到 D 点,用了
(3)量出测倾器的高度 AB=1. 5 m. 12 min,然后沿坡角为 20毅的坡面以 3 km / h 的速度到达山
根据测量数据,计算出风筝的高度 CE 约为摇 62.1摇 m 顶 A 用了 10 min,求山高 AC 及 A,B 两点间的水平距离
BC. (结果精确到 0郾 01 km)
第一章摇 直角三角形的边角关系
亦 AB=mtan 琢tan 茁+h.
tan 茁-tan 琢
摇 摇 摇 8. 如图 1-5. 2-8,某居民小区 A,B 两楼之间的距离 MN =
图 1-5. 2-6 (第 6 题图) 30 m,两楼的高度都是 20 m,A 楼在 B 楼正南方向,B 楼窗
分析:过点 D 作 DF彝AC,DE彝BC,垂足分别为 F,E. 利用 户朝南. B 楼内一楼住户窗户的底部离小区地面的距离
Rt吟BDE与 Rt吟ADF 求解. DN=2 m,窗户高 CD=1. 8 m. 当正午时刻太阳光线与地面
: BD=5伊12 =1(km), 成 30毅角时,A 楼的影子是否影响 B 楼一楼住户的釆光 解 依题意可知 60 若影响,挡住该住户窗户多高 若不影响,请说明理
AD=3伊10 =0. 5(km) . 由. (参考数据: 2抑1. 414, 3抑1. 732, 5抑2. 236)60
作 DE彝BC 于点 E,DF彝AC 于点 F,
则 DE=FC,DF=EC. 在 Rt吟BDE 中,
DE=BD·sin蚁DBE=1·sin 15毅抑0. 259(km),
BE=BD·cos蚁DBE=1·cos 15毅抑0. 966(km) . 摇
在 Rt吟ADF 中,
图 1-5. 2-8 (第 8 题图)
AF=AD· sin蚁ADF= 12 sin 20毅抑0. 171(km),
分析:通过计算 A 楼影子在 B 楼的长度来说明是否影响
釆光.
DF=AD·cos蚁ADF= 12 cos 20毅抑0. 470(km) . 解:如图,设 GE 为太阳光线,作 EF彝GM 于点 F.
亦 AC =AF+FC=AF+DE=0. 171+0. 259 =0. 43(km), 在 Rt吟GEF 中,蚁GEF=30毅,EF=MN=30 m,
BC =BE+EC=BE+DF=0. 966+0. 470抑1. 44(km) . 亦 GF=EF·tan 30毅=30伊 3 =10 3抑17.32(m).
答:山高 AC 约为 0. 43 km,A,B 两点之间的水平距离 BC 3
约为 1. 44 km. 亦 FM=EN=20-17. 32 =2. 68(m) .
点拨:此题说明了一种简单易行的测量山高的方法,有一 疫 DN=2 m,
定的实用性. 亦 EN-DN=0. 68(m) .
亦 影响釆光,挡住 B 楼一楼住户的窗户约 0. 68 m.
四、方案设计题 点拨:若 EN>DN,则影响采光.
7. 如图 1-5. 2-7,小山上有一棵小树,现有测倾器和皮尺、标
杆三种工具,请你设计一种方案,在山脚水平地面上测量 9. (2012·江苏泰州中考)如图 1-5. 2-9,一居民楼底部 B 与
出小树顶端 A 到水平地面的距离 AB.
山脚 P 位于同一水平线上,小李在 P 处测得居民楼顶 A
要求:(1)画出测量示意图;
(2) ( 的仰角为 60毅,然后他从 P 处沿坡角为 45毅的山坡向上走写出测量步骤 测量数据用字母表示);
(3)根据测量的数据计算 AB 的长. 到 C 处,这时,PC=30 m,点 C 与点 A 在同一水平线上,A,
B,P,C 在同一平面内.
(1)求居民楼 AB 的高度;
(2)求 C,A 之间的距离.
(精确到 0. 1 m,参考数据: 2 抑1. 41, 3 抑1. 73 , 6 抑
2. 45)
解: ( 1 ) 过 点 P 作
摇 摇 摇 PD彝AC 于点 D,由
图 1-5. 2-7 (第 7 题图)
题意, 得 AC 椅 BP,
解:(1)测量示意图如图. 亦 蚁DAP = 蚁BPA =
(2)测量步骤:第一步:在地面上选择点 C 安装测倾器,测
得此时树顶 A 的仰角蚁AHE=琢; 60毅, 同 理 B1摇 3
第二步:沿 CB 前进到 D,用皮尺量出 C,D 之间的距离 蚁DCP=45毅.
CD=m; 亦 PD = PC · 图 1-5. 2-9
第三步:在点 D 安装测倾器,测得此时树顶 A 的仰角 sin蚁DCP=30伊 2
蚁AFE=茁; 2
=
第四步:用皮尺测出测倾器的高 h. 15 2抑21. 2(m) .
(3)计算:设 AE= x, 亦 居民楼 AB 的高度约为 21. 2 m.
则 tan 琢= xHE,故 HE=
x
tan 琢. (2)同(1),得 CD = PC·cos蚁DCP = 30伊 2 = 15 2 ,AD =
疫 tan 茁= x
2
EF,亦 EF=
x
tan 茁. PD =15 2 =5 6 ,
疫 HE-FE=HF=CD=m, tan蚁PAD 3
亦 x - x =m, 亦 AC=CD+AD=15 2 +5 6抑33. 4(m),tan 琢 tan 茁 即 C,A 之间的距离约为 33. 4 m.
亦 x=m·tan 琢·tan 茁.
tan 茁-tan 琢
九年级数学(下) /北师大版
第二章摇 二次函数
1. 二次函数所描述的关系
达式变形为 y2 = -x-1,由此可知 x 的最高次数不是 2,且 y
揖建议用时:8 分钟铱 的次数不是 1,所以 A 项不是;把 B 项中的表达式变形为
髴 1. (摇 C摇 ) . y=2x-2,由此可知 x 的最高次数不为 2,所以 B 项不是;知识点 下列函数不属于二次函数的是
1 C 项中等式的右边是关于 x 的无理式,不是整式,所以 CA. y=(x-1)(x+2) B. y= (x+1) 22 项不是;把 D 项中的表达式变形为 y= -x
2 +2,符合二次函
数的定义,所以 D 项符合题意,故选 D.
C. y=ax2+2x-3 D. y=1- 3 x2 2 m2-m
分析:把每一个函数式整理为一般形式,A 中 y=(x-1)·(x+ 3. 若 y=(m +m)x 是二次函数,则 m 的值是(摇 B摇 ) .
1 1 A. 1 B. 2 C. -2 D. 1 和 22)= x2+x-2,是二次函数,正确;B 中 y = 2 ( x+1)
2 = 2 x
2 + {m2+m屹0,分析: 由 二 次 函 数 的 定 义 可 知 2 解 得m -m=2,
x+ 12 ,是二次函数,正确;C 中 y = ax
2 +2x-3,当 a = 0 时是一 {m屹0 且 m屹-1,
次函数,错误;D 中 y=1- 3 x2 = - 3 x2+1,是二次函数,正确. m=2
所以 m=2. 故选 B.
或 m= -1,
故选 C. 4. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品,该商店
知识点髴 2. 在二次函数 y = -x2 +1 中,二次项系数、一次项系 可以自行定价. 若每件商品的售价为 x 元,则可卖出(350-
数、常数项分别为摇 -1,0,1摇 . 10x)件商品,那么商品所赚钱数y 元与售价 x 元之间的函
分析:把二次函数整理成一般形式后,可判断各项的系数(包 数表达式为(摇 B摇 ) .
A. y= -10x2括各项前面的符号),对于缺项的,系数是 0. -560x+7 350摇 摇 B. y= -10x
2+560x-7 350
髵 3. 60 cm、 40 cm C. y= -10x
2+350x 摇 摇 D. y= -10x2+350x-7 350
知识点 在一幅长 宽 的矩形风景画的四周镶
, , 2-1-1. 分析:疫 每件的利润为( x-21) 元,亦 y = ( x-21) (350 -一条金色纸边 制成一幅矩形挂图 如图 如果要使整
10x)= -10x2+560x-7 350. 故选 B.
个挂图的面积是y cm2,设金色纸边的宽度为 x cm,那么 y 与
x (摇 A摇 ) . 点拨:商品所赚钱=每件的利润伊卖出件数,把相关数值代之间的函数表达式是
入即可求解.
二、填空题
5. 下列函数:淤y = -x2;于y = 2x;盂y = 22 +x2 -x3;榆m= 3- t-
t2 . 其中是二次函数的是摇 淤榆摇 (其中 x,t 为自变量) .
分析:淤y= -x2,二次项系数为-1,是二次函数;于y=2x,是
一次函数;盂y=22 +x2 -x3,自变量的最高次数为 3,不是二
次函数;榆m=3-t-t2,是二次函数. 故填淤榆.
6. 已知方程 ax2+bx+cy=0(a,b,c 为常数,a屹0),请你通过变
图 2-1-1 形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式,则函数表
a 2 b
A. y=(60+2x)(40+2x) 摇 摇 B. y=(60+x)(40+x) 达式为摇 y=- c x - c x摇 ,成立的条件是摇 c屹0摇 ,此时
C. y=(60+2x)(40+x) 摇 摇 D. y=(60+x)(40+2x) 该函数是摇 二次摇 函数.
分析:挂图的面积 y=长伊宽=(60+2x)(40+2x) . 故选 A. 点拨:函数通常情况下是用 x 表示 y;注意分母不为 0,二
次项的系数不为 0.
B1摇 4 揖建议用时:40 分钟铱 7. 进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续
进行两次降价. 若设平均每次降价的百分率是 x,降价后
摇 、摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 的价格为 y 元,原价为 a 元,则 y 与 x 之间的函数表达式一 选择题
1. 为摇 y=a(1-x)
2 摇 .
二次函数 y = 2x( x-3)的二次项系数与一次项系数的和
(摇 D摇 ) . 分析:原价为 a,第一次降价后的价格是 a·(1-x),第二为
A. 2 B. -1 C. -2 D. -4 次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,为
: y=2x(x-3)= 2x2-6x, a·(1-x)·(1-x)= a(1-x)
2 .
分析 因为 所以二次项系数与一次
2+(-6)= -4. 点拨:本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格基项系数的和为 故选 D.
: 础上进行的.点拨 首先把二次函数化为一般形式,再进一步求得二次
. 8. 观察图 2-1-2 的构成规律,根据此规律,第 8 个图形中有项系数与一次项系数的和
2. ,y x 摇 65摇 个圆.下列函数中 是 的二次函数的是(摇 D摇 ) .
A. x+y2+1 =0
B. y=(x+1)(x-1)-(x-1) 2
C. y=2+ 4+x2
D. x2+y-2 =0
分析:先将函数式进行变形,转化为用 x 的代数式表示 y 图 2-1-2
的形式,再根据二次函数的定义进行对比. 把 A 项中的表
知识点髴二次函数的定义摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵列二次函数的表达式摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
分析:设第 x 个图形中有 y 个圆,则有 y= x2+1,可以看出 y 解:疫 MN椅BC,亦 吟AMN易吟ABC,
是关于 x 的二次函数,因此,当 x=8 时,y= 82 +1 = 65,故答 S吟AMN MN 2
案为 65. 亦 S = (吟ABC BC ) .
三、解答题 又疫 BC=10,S吟ABC =25,
9. 用一根长 6 m 的铝合金材料,做一个可分成上、下两部分 1 2
的矩形窗框(如图 2-1-3,宽<高),设其面积为 y m2
亦 y= x (0,宽为 4
x m.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式,并指出自变 四、探究题
量 x 的取值范围; 13. 如图 2-1-5,正方形 ABCD 的边长为
(2)当宽为 1 m 时,求这个窗框的面积. 1,E,F 分别是边 BC 和 CD 上的动
分析: 由 于 矩 形 窗 框 的 宽 为 x m, 则 高 为 点(不与正方形的顶点重合),不管
1 (6-3x) m,根据矩形的面积公式可得 y 与 x E,F 怎样动,始终保持 AE彝EF. 设2 图 2-1-3 BE= x,DF= y,则 y 是 x 的函数,函数
之间的函数关系式,通过关系式可求得当 x = 表达式是(摇 C摇 ) .
1 时,y 的值. A. y= x+1 B. y= x-1 图 2-1-5
:(1)疫 x m,亦 1解 宽为 高为 2 (6-3x) m. C. y= x
2-x+1 D. y= x2-x-1
6 分析:因为蚁BAE 和蚁FEC 都 是蚁AEB 的 余 角,所 以亦 y= 12 (6-3x)·x,即 y= -
3 x22 +3x (03 3 CF. 所以 AB·CF = EC·BE. 因为 AB = 1,BE = x,EC = 1-(2)当 x=1 时,y= - 22 伊1 +3伊1 = 2 (m
2) . x,CF=1-y,则 1·(1-y)= (1-x)x,化简,得 y= x2 -x+1. 故
点拨:求两个变量之间的函数关系式时,应根据题意或几 选 C.
何图形寻求函数关系式,并求出自变量的取值范围. 点拨:根据条件得出相似三角形,用未知数表示出相关线
10. 已知函数 y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1. 段是解题的关键.
(1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; 14. 已知矩形的长大于宽的 2 倍,周长为 12,从它的一个顶点
(2)若这个函数是二次函数,求 m 的值. 作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条
解:(1)根据一次函数的定义,得 m2-m=0, 射线与矩形一边所成的角的正切值等于 1 . 设梯形的面
解得 m=0 或 m=1. 2
又疫 m-1屹0,即 m屹1, 积为 S,梯形中较短的底的长为 x,试写出梯形的面积S 与
亦 当 m=0 时,这个函数是一次函数. x 之间的函数表达式,并指出自变量 x 的取值范围.
(2)根据二次函数的定义,得 m2-m屹0. 解:因为矩形 ABCD 的长大于宽的 2 倍,周长为 12,所以
解得 m屹0 且 m屹1, AD>4,AB<2. 根据题意,可分为以下两种情况:
亦 当 m屹0 且 m屹1 时,这个函数是二次函数.
11. 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住,当每个房间的定
价为每天 200 元时,房间可以住满. 当每个房间每天的定
价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲. 设每个房间每
天的定价增加 x 元. (1)摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (2)
求:(1)房间每天的入住量 y(间)关于 x(元)的函数表 (第 14 题图)
达式; 第一种情况,如图(1),当 tan蚁BAE= 1 时,CE=x,设BE=m,
(2)该宾馆每天的房间收费 z(元)关于 x(元)的函数表 2
达式. 则 AB=DC=2m,AD=m+x. 因为 AB+AD = 6,所以 2m+m+
:(1) , y= - x +60. x= 6, m =
6-x
3 . S
1 B1摇 5
解 由题意 得 梯形AECD
= 2 ( AD + EC ) · DC =10
1 6-x 6+5x
(2) , z=(200+x) (- x +60 ) , 2 [(m+x)+x]·2m = m(m+2x) = 3 伊 3 = -
5 x2+
由题意 得 10 9
z= - x
2 8
即 10 +40x+12 000. 3
x+4(312. 如图 2-1-4,已知一个三角形纸片 1第二种情况,如图(2),当 tan蚁DAE= 2 时,在矩形 ABCD
ABC,面积为 25, BC 边的边长为
10,蚁B 与蚁C 都为锐角,M 为 AB 中,AD椅BC,所以蚁DAE = 蚁AEB,所以 tan蚁AEB =
1
2 ,
边上的一动点 (M 与点 A,B 不重 CE= x,设 AB = CD = n,则 BE = 2n,AD = 2n+x. 因为 AB+
合),过点 M 作 MN椅BC 交 AC 于点 6-x
N,设 MN=x,S吟AMN = y,试求出 y 与 x 图 2-1-4 AD=6,所以 n+2n+x=6,n= 3 .
之间的函数表达式,并写出自变量 x 1 1
的取值范围. S梯形AECD = 2 (AD+EC)·DC = 2 [(2n+x) +x] n = (n+x)
分析:根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方冶求 y n=6+2x伊6-x= - 2 x2+ 2 x+4(0与 x 的函数关系式,而 x 的取值范围应根据 MN 所处的位置 3 3 9 3
判定.
九年级数学(下) /北师大版
2. 结识抛物线
时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,
揖建议用时:10 分钟铱 故 B,C 说法都不对. 只有 D 正确.
知识点髴 1. 观察函数 y = x2 的图象,则下列判断中正确的 2. 函数 y= x2 与 y= -x2 的图象(摇 A摇 ) .
是(摇 A摇 ) . A. 关于 x 轴对称
A. 若 a,b 两数互为相反数,则 x = a 与 x = b 对应的函数值 B. 关于 y 轴对称
相同 C. 关于直线 x=1 对称
B. 对于同一自变量 x,有两个函数值与它相对应 D. 关于直线 y=1 对称
C. 对任意一个实数 y,都有两个 x 值和它对应 分析:画出 y= x2 与 y = -x2 的图象如图
D. 对于任意实数 x,都有 y>0 所示,则由图可知 A 正确. (第 2 题图)
分析:画出草图分析,如图,因为抛物线关于 y 轴对称,所以 3. 如图 2-2-2,在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,
若 a,b 互为相反数,则点(a,0),( b,0)到 y 轴距离相等,x = AC=4,BC=8,P 是 AB 上一个动点(不与 A 点重合),直线
a,x= b 对应的函数值相同;由前面学习的 PQ彝AC 于点 Q,设 AQ = x,则图中阴影部分的面积 y 与 x
函数的定义,对任意自变量 x,都有惟一的 之间的函数图象是(摇 A摇 ) .
一个函数值 y 与它对应,故 B 错;当 y = 0
时,仅有 x = 0 与它对应,同时当 y 是负数
时,不存在自变量 x 与它相对应,故 C 错; (第 1 题图)
当 x=0 时,y=0,故 D 错. 应选 A.
知识点髴 2. 若点 A (2,m) 在抛物线 y = x2 上,则 m 的值
为摇 4摇 ,点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是摇 (-2,4) 摇 .
分析:先根据点 A 在抛物线上,求得 m 的值,再根据平面直角 图 2-2-2
坐标系中任意一点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标是(-x,
y),即可求得点 A 关于 y 轴对称的点的坐标.
知识点髵 3. 观察二次函数 y = x2
的图象,如图 2-2-1,并填空:当
x < 0 时, 随 着 x 的 增 大,
分析:因为 PQ彝AC,蚁C =90毅,所以 PQ椅BC. 所以吟PAQ易
y 摇 减小摇 ;当 x>0 时,随着 x 的
PQ AQ PQ
增大,y 摇 增大摇 . 吟BAC,所以BC = AC,即 8 =
x
4 ,所以 PQ = 2x,所以 y =
知识点髵 4. 二次函数 y= -x2 的图 1 PQ·AQ= 1 ·x·2x= x2 . 又由题意,知 0象中,在 y 轴的右侧,y 随 x 的增 2 2
大而摇 减小摇 . 图 2-2-1 x臆4,所以图象为抛物线 y = x
2 在 0B1摇 6
分析:二次函数 y= -x2 的对称轴是 y , 选 A.轴 且开口方向向下,所
二、填空题
以在 y 轴的右侧,y 随 x 的增大而减小.
4. 函数 y=-x2 的图象是一条摇 抛物摇 线,开口向摇 下摇 ,对称
揖 :40 铱 轴是摇 y 轴摇 ,顶点是 摇 原点 摇 ,顶点是图象的最 摇 高 摇建议用时 分钟
点,表示函数在这点取得最摇 大摇 值,它与函数 y= x2 的图
象的开口方向摇 相反摇 ,对称轴摇 相同摇 ,顶点摇 相同摇 .
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 三、解答题
1. 对于函数 y= x2,下列结论中正确的是(摇 D摇 ) . 5. 已知抛物线 y= -x2 与直线 y = x+m 都经过点(2,n),试确
A. 当 x 取任何实数时,y 的值总是正的 定 m,n 的值.
B. 当 x 值增大时,y 的值也随着增大 分析:把(2,n)代入 y= -x2 中求出 n 的值,再代入 y = x+m
C. 当 x 值增大时,y 的值随着减小 中求出 m 的值.
D. 其图象关于 y 轴对称 解:把(2,n)代入 y= -x2 中,得 n= -22 = -4,
分析:因为 x=0 时,y= 0,故 A 错;二次函数 y = x2,当 x<0 把(2,-4)代入 y= x+m 中,有-4 =2+m,解得 m= -6.
知识点髴二次函数 y= x2 与 y= -x2 的图象的画法摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y= x2 和 y= -x2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
故 m,n 的值分别为-6,-4. C. y=9 D. y=36
6. 2已知函数 y=m-1xm +12 是二次函数.
分析:因为线段 AB彝y 轴,且 AB=6,所
以由抛物线的对称性可知,点 B 的横
(1)求 m 的值.
坐标为 3,当 x = 3 时,y = x2 = 32 = 9,所
(2)画出该函数的图象.
以直线 AB 的表达式为 y=9.
2 图 2-2-4m +1 =2, m= 依1,
解:(1) 10. 先阅读后解答:已知点 A( - 1,m),由二次函数的定义可知{m-1 解得{ 2
2 屹0, m屹1. B(-2,n)在二次函数 y = -x 的图象上,比较 m 和 n 的
亦 m= -1. 大小.
(2)当 m= -1 时,二次函数为 y= -x2,列表如下: 解:由于当 x<0 时,y = -x2 的函数值 y 随 x 的增大而增
x -2 -1 0 1 2 大,而-1>-2,故 m>n. 利用以上的解答信息解答下面的
y= -x2 -4 -1 0 -1 -4 问题:
画图如图所示. 已知点 A(a2+1,m)与点 B(-1,n)在二次函数 y= x2 的图
象上,试比较 m 和 n 的大小.
分析:根据阅读材料提供的信息,当抛物线 y = -x2 上的
两点的横坐标同号时,可以利用函数的性质比较纵坐标
的大小,由此我们得到问题的解答思路.
解:由于点 A(a2+1,m)在抛物线 y= x2 上,而 a2 +1>0,故
(第 6 题图) 点 C(-(a2+1),m)也在抛物线 y= x2 上,且与点 A 关于 y
7. 如图 2-2-3,一个抛物线型的拱桥,其形状可以用 y = -x2 轴对称. 而-(a2+1)臆-1(当 a =0 时,-(a2 +1)= -1),且当
来描述. x<0 时,y=x2 的函数值 y 随 x 的增大而减小,所以 m逸n.
(1)当水面到桥拱顶部的距离为 2 米时,水面的宽为多 11. 已知点 A(1,a)在抛物线 y= x2 上.
少米 (1)求 A 点的坐标.
(2)当水面宽为 4 米时,则水面到桥拱顶部的距离为多 (2)在 x 轴上是否存在点 P,使得吟OAP 是等腰三角形
少米
若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:本题主要是考查二次函数 y= -x2
解:(1)将点(1,a)代入 y= x2,得
图象的实际应用,将实际问题转化为数
a=1,即点 A 的坐标为(1,1) .
学问题,将求宽、距离的问题转化为点
(2) 如 图, 点 P 在 x 轴 上, 当
的坐标的问题是解题的关键.
OA=AP 时,点 P 坐标为(2,0);
解:(1)由题意,得 y= -2, -x2 = -2. 图 2-2-3即
当 OA = OP 时, 点 P 的 坐 标
解得 x= 依 2 . (第 11 题图)
为(- 2,0)或( 2 ,0);
亦 水面的宽度为 2 + | - 2 | = 2 2 (米)
当 OP=AP 时,点 P 的坐标为(1,0) .
(2)当水面宽为 4 米时,x=2 或 x= -2,此时 y= -x2 = -4.
亦 此时水面到桥拱顶部的距离为 4 米. 综上所 述, 存 在 这 样 的 点 P, 分 别 为 ( 2, 0 ), ( - 2 , B1摇 7
8. 已知二次函数 y= x2,在-2臆x臆3 这个取值范围内,求函数 0),( 2 ,0),(1,0) .
的最值.
解:由于-2臆x臆3 包含了 x = 0,所以函数 y = x2 的最小值
12. (2011·四川宜宾中考)如图 2-2-
为 0. 当 x= -2 时,y=4;当 x=3 时,y=9. 故当-2臆x臆3 时,
5,边长为 2 的正方形 ABCD 的中
函数 y= x2 的最大值为 9,最小值为 0.
心在直角坐标系的原点 O 处,
点拨:当-2臆x臆3 时,既包含了正数、零,又包含了负数,
y x AD椅x 轴,以 O 为顶点且过 A,D因此在这个范围内的函数值 随 的变化情况要分段研
. 两点的抛物线与以 O 为顶点且过究 本题也可结合函数 y= x2 的图象研究其最值.
B,C 两点的抛物线将正方形分割
图 2-2-5
成几部分,则图中阴影部分的面
四、探究题
积是摇 2摇 .
9. 如图 2-2-4,A,B 分别为 y = x2 上两点,且线段 AB彝y 轴,
分析:抛物线、正方形都是轴对称图形,则阴影部分的面
若AB=6,则直线 AB 的表达式为(摇 C摇 ) .
积即为正方形面积的一半.
A. y=3 B. y=6
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3. 刹车距离与二次函数
A. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小
揖建议用时:10 分钟铱 B. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小
知识点髴 1. 对于 y = ax2 (a屹0) 的图象,下列叙述正确的 C. y 随 x 的增大而减小
是(摇 C摇 ). D. y 随 x 的增大而增大
A. a 的值越大,开口越大 分析:因为 a= 6>0,对称轴为 x = 0,所以当 x>0 时,y 随 x
B. a 的值越小,开口越小 的增大而增大;当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小. 故选 B.
C. a 的绝对值越小,开口越大 2. 抛物线 y=(x+1)(x-1)的顶点在(摇 D摇 ) .
D. a 的绝对值越小,开口越小 A. x 轴的正半轴上 B. x 轴的负半轴上
点拨:抛物线的开口大小由 | a |确定: | a |越大,抛物线的开口 C. y 轴的正半轴上 D. y 轴的负半轴上
越小; | a | 2越小,抛物线的开口越大. 分析:因为 y=(x+1)(x-1)= x -1,所以这个抛物线的顶
知识点髴 2. 将抛物线 y=2x2 向下平移 1 个单位,得到的抛物 点是(0,-1),顶点在 y 轴的负半轴上. 故选 D.
线的表达式是(摇 D摇 ) . 3. 在同一平面直角坐标系中,作出 y = x2,y = - 1 x2,y= 1 x2
A. y=2(x+1) 2 B. y=2(x-1) 2 2 3
C. y=2x2+1 D. y=2x2-1 的图象,它们的共同特点是(摇 D摇 ) .
: “ 冶 . A. 抛物线的开口方向向上点拨 直接运用平移规律 上加下减
1 B. 都是关于 x 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而增大知识点髴 3. 二次函数 y = - 24 x ,当 x1小关系为 y 摇 <摇 y (填“>冶“<冶或“ =冶) . D. 都是关于 y 轴对称的抛物线,有公共的顶点1 2
1 分析:因为 y=ax
2 形式的二次函数对称轴都是 y 轴,且顶
分析:因为函数 y= - x24 的对称轴为 y 轴,开口向下,所以当 点都在原点,所以它们的共同特点是关于 y 轴对称的抛物
x1知识点髵 4. 抛物线 y= x2+1 的图象大致是(摇 C摇 ) . 4. 已知 a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3 )都在函数 y =
3x2 的图象上,则(摇 C摇 ) .
A. y1C. y3分析:因为 a<-1,所以 a-10,
则当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,所以 y1>y2>y3 . 故选 C.
5. 已知 a屹0,b<0,一次函数是 y=ax+b, 二次函数是 y= ax2,
则下列选项中可能是它们的图象的是(摇 B摇 ) .
分析:抛物线 y = x2 +1 的图象开口向上,且顶点坐标为(0,
1) . 故选 C.
B1摇 8 知识点髵 5. 抛物线 y = - 3x2 + 5 的开口向 摇 下 摇 ,对称 分析:选项 A 中,抛物线开口向下,故 a<0,但一次函数 y=
轴是摇 y 轴摇 ,顶点坐标是 摇 (0,5) 摇 ,顶点是最摇 高摇 点, ax+b 的图象应该经过第二、三、四象限,故 A 错误;因为
所以函数有最摇 大摇 值,是摇 5摇 . b<0,一次函数图象应该与 y 轴交于负半轴,故 C,D 错误.
分析:二次函数的二次项系数 a<0,则抛物线开口向下;函数 二、填空题
有最大值,顶点是最高点. 6. 抛物线 y=4x
2-1 与 y 轴的交点坐标是 摇 (0,-1) 摇 ,与 x
知识点髵 6. 若抛物线 y = ax2 - 1 的图象经过点 (4, -5), 摇 (- 1 ,0 ) ( 1轴的交点坐标是 2 和 2 ,0 ) 摇 .
则a= 摇 - 14 摇 . 分析:当 x=0 时,y= -1,即与 y 轴的交点坐标是(0,-1);
分析:根据抛物线的图象经过点(4,-5), 1直接把点的坐标代 当 y = 0 时, x = 依 2 , 所 以 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是
入 y=ax2-1 中即可.
(- 12 ,0 ) 和 ( 12 ,0 ) .
揖建议用时:40 分钟铱 7. 抛物线 y=4x2-3 是将抛物线 y = 4x2 向摇 下摇 平移摇 3摇
个单位得到的.
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 8. 当 m= 摇 -2摇 2时,抛物线 y = (m+1) xm +m +9 的开口向下,
1. 对于函数 y=6x2,下列说法正确的是(摇 B摇 ) . 对称轴是摇 y 轴摇 ,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而摇 增大摇 ;
知识点髴二次函数 y=ax2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y=ax2+c 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
在对称轴右侧,y 随 x 的增大而摇 减小摇 . 亦 抛物线开口向下,函数有最大值,其最大值是 0.
{m2+m=2, {m1 =1,m2 = -2,分析: 由 题 意, 得 解 得 所m+1<0, m<-1. 四、探究题
以 m= -2. 对称轴为 y 轴,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 13. 如图 2-3-2,已知抛物线 y= x2-1 与 x 轴交于 A,B 两点,
增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 与 y 轴交于点 C.
9. 汽车刹车距离 s(m)与速度 v(km / h)之间的函数表达式是 (1)求 A,B,C 三点的坐标;
s= 1 v2100 ,在一辆车速为 100 km / h 的汽车前方 110 m 处, (2)过点 A 作 AP椅CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP
发现停放一辆故障车,此时刹车摇 不会摇 有危险(填“会冶 的面积.
或“不会冶) .
1
分析: 把 v = 100 代入 s = 2100v ,得该汽车的刹车距离 s =
100<110,因此不会有危险.
10. 小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y = - 15 x
2 +
摇 摇 摇
3. 5 的一部分(如图 2-3-1) . 若命中篮圈中心,则他与篮
l 摇 4摇 m. 图 2-3-2 (第 13 题图)底的距离 是
解:(1)令 y=0 ,得 x2-1 =0, 解得 x= 依1.
令 x=0 ,得 y= -1.
亦 A(-1,0),B(1,0),C(0,-1) .
(2) 疫 OA = OB = OC = 1, 亦 蚁ABC = 蚁ACO = 蚁BCO
=45毅.
疫 AP椅CB, 亦 蚁PAB=45毅.
如图,过点 P 作 PE 彝x 轴于 E,则 吟APE 为等腰直角三
角形,令 OE=a,则 PE=a+1,亦 P(a,a+1) .
疫 点 P 在抛物线 y= x2-1 上,亦 a+1 = a2 -1,解得 a1 = 2,
图 2-3-1 a2 = -1(不合题意,舍去) .
1 1
分析:把 y = 3. 05 代入 y = - x2 +3. 5 中,得 x = 1. 5, 亦 PE = 3,亦 四边形 ACBP 的面积 S = 2 AB·OC +5 1
x2 = -1. 5(舍去),所以 l=2. 5+1. 5 =4(m) .
1
2 AB·PE=
1
2 伊2伊1+
1
2 伊2伊3 =4.
三、解答题
11. 求符合下列条件的抛物线 y=ax2-1 的函数关系式:
(1)通过点(-3,2); 14. (2012·广东广州中考)将二次函数 y = x2 的图象向下平移
(2) y= 1 x2 , ; 一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(摇 A摇 ).与 2 的开口大小相同 方向相反 A. y= x2-1 B. y= x2+1
(3)当 x 的值由 0 增加到 2 时,函数值减少 4. C. y=(x-1) 2 D. y=(x+1) 2
解:(1)疫 点(-3,2)在抛物线 y=ax2-1 上, 15. (2013·浙江丽水中考)若二次函数 y = ax2 的图象过点
亦 2 =a伊(-3) 2-1,9a=3,亦 a= 1 . P(-2,4),则该图象必经过点(摇 A摇 ) .3 A. (2,4) B. (-2,-4)
1
故 y= 23 x -1. C. (-4,2) D. (4,-2) B1摇 9
1 分析:疫 二次函数 y = ax
2 的图象过点 P( -2,4),亦 4 =
(2)疫 抛物线 y= ax2 -1 与 y = x22 的开口大小相同,方向 (-2)
2a,亦 a=1. 亦 y = x2 . 亦 该图象必经过点(2,4) . 故
相反, 选 A.
1 1 16. (2013·湖南张家界中考)若正比例函数y=mx(m屹0),y亦 a= - 2 ,故 y= - 2 x
2-1.
随 x 的增大而减小,则它和二次函数 y=mx2+m 的图象大
(3)当 x=0 时,y= -1;当 x=2 时,y=a伊22-1 =4a-1. 致是(摇 A摇 ) .
亦 4a-1 = -1-4 = -5. 亦 a= -1,
故 y= -x2-1.
12. 当 m 为何值时,y=mxm2-2m-1是二次函数,且当x>0时,y 随
x 的增大而减小 写出函数的表达式,并回答函数有最
大值还是最小值 是多少 分析:疫 正比例函数 y=mx(m屹0),y 随 x 的增大而减小,
解:疫 y=mxm2-2m-1 是二次函数,且当 x>0 时,y 随 x 的增 亦 该正比例函数图象经过第一、三象限,且 m<0. 亦 二次
大而减小, 函数 y=mx2 +m 的图象开口向下,且与 y 轴交于负半轴.
亦 m2-2m-1 =2,且 m<0,解得 m= -1,m=3(舍去), 综上所述,符合题意的只有 A 选项.
则函数的表达式为 y= -x2 .
九年级数学(下) /北师大版
4. 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象
课 时 1 二次函数 y= a（x-h）2 +k 的图象与性质
C. 先向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位
揖建议用时:10 分钟铱 D. 先向右平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位
知识点髴 1. 下列对于抛物线 y = - 12 (x-1)
2 点拨:牢记平移规律“左加右减,上加下减冶 .的说法中,错误
知识点髵 5. 已知抛物线 y = -2( x+1) 2 -3,如果 y 随 x 的增大
的是(摇 D摇 ) . 而减小,那么 x 的取值范围是摇 x>-1摇 .
A. 抛物线的开口向下 分析:抛物线 y = -2( x+1) 2 -3 的开口向下,对称轴是直线
B. 抛物线的顶点坐标是(1,0) x= -1,在对称轴的右边,即当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而
C. 抛物线的对称轴是直线 x=1 减小.
D. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大
分析: y= - 1抛物线 (x-1) 2 中,a = - 1 <0,开口向下,顶点 揖建议用时:40 分钟铱2 2
坐标是(1,0),对称轴是直线 x = 1,在对称轴的左边,即 x<1
时,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右边,即 x>1 时,y 随 x 摇一、摇 选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
1. 二次函数 y=3(x-2) 2的增大而减小,故选 D. +2 图象的对称轴是(摇 A摇 ) .
知识点髴 2. 在同一平面直角坐标系内,图象不可能由函数 y=2x2 A. 直线 x=2 B. 直线 x= -2
的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是(摇 C摇 ). C. y 轴 D. x 轴
2
A. y=2(x+1) 2 B. y=2x2+3 点拨:抛物线 y=a(x-h) 的对称轴是直线 x=h.
1 2. 将抛物线 y= x
2+1 向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单
C. y= x2-1 D. y= -2x22 -1 位,所得的抛物线是(摇 B摇 ) .
2 2
知识点髴 3. 在同一直角坐标系内,描点画出二次函数 y = A. y=(x+2) -3 B. y=(x+2) -2
C. y=(x-2) 21 1 -3 D. y=(x-2)
2-2
2 2
4 (x+2) 与 y= 4 (x-1) 的图象,并分别写出其对称轴及 分析:抛物线 y = x2 +1 的顶点坐标是(0,1),向左平移
顶点坐标. 2 个单位,再向下平移 3 个单位,所得抛物线的顶点坐标
解:列表: 是(-2,-2),亦 所得抛物线的表达式为 y = ( x+2) 2 -2. 故
选 B.
x … -4 -3 -2 -1 0 …
1 1 1 3. 顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线 y=
1 x22 相同的抛y= 24 (x+2) … 1 4 0 4 1 … 物线是(摇 B摇 ) .
x … -1 0 1 2 3 … A. y= 12 (x-2)
2 B. y= 12 (x+2)
2
y= 14 (x-1)
2 … 1 1 0 14 4 1 … C. y= - 1 (x-2) 2 D. y= - 1 (x+2) 22 2
描点、连线,如图.
分析:顶点是( -2,0),所以可得抛物线的表达式是 y =
a(x+2) 2, 1 1形状与 y = 22 x 相同,所以 a = 2 ,故所求抛物
B2摇 0 线的表达式为 y=
1
2 (x+2)
2 . 故选 B.
4. 已知二次函数 y=3(x-1)2+k 的图象上有三个点,A( 2,y1),
B(2, y2),C(- 5,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系为(摇 D摇 ).
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
(第 3 题图) 分析:二次函数 y=3(x-1) 2+k 的对称轴是直线 x=1,根据
1 抛物线的对称性,C 点的对称点 C忆的坐标为( 5 +2,y ),
抛物线 y= 4 ( x+2)
2 的对称轴是直线 x = -2,顶点坐标为 3
抛物线的开口向上,在对称轴的右边,抛物线自左向右上
(-2,0) . 升,y 随 x 的增大而增大. 因为 5 +2>2> 2 >1,所以 y3 >
1
抛物线 y= 4 ( x-1)
2 的对称轴是直线 x = 1,顶点坐标为 y2>y1,故正确结论为 D.
二、填空题
(1,0) . 1 2
知识点髵 4. 将抛物线 y=2x2 平移可得到抛物线 y= 2(x-4) 2 - 5. 已知抛物线 y = - 5 ( x - 2) 的图象上有两点 ( x1, y1 )
1,关于这个平移过程下面的叙述正确的是(摇 D摇 ) . 和(x2,y2),且 x1>x2>2,则 y1 与 y2 的大小关系为 y1 摇 <摇
A. 先向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位 y2 .
B. 先向左平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位 分析:抛物线的开口向下,在对称轴的右边,y 随着 x 的增
知识点髴二次函数 y=a(x-h) 2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
大而减小. 的表达式为 y=a(x-6) 2+5.
6. 抛物线 y = - 12 ( x + 3)
2 - 1 有最 摇 高 摇 点,其坐标 疫 点(0,2)在抛物线上,
2 1
是摇 (-3,-1)摇 .当 x= 摇 -3摇 ,y 亦 a(0-6) +5 =2,a= - .时 的最摇 大摇 值是摇 -1摇 ; 12
当 x 摇 <-3摇 时,y 随 x 的增大而增大. 亦 y= - 112 (x-6)
2+5,即 y= - 1 2
1 12
x +x+2.
分析:抛物线 y= - 22 (x+3) -1的对称轴是直线 x = -3,开口 (2)当 y=0 1时,- (x-6) 2+5 =0,解这个方程,得
向下,抛物线有最高点,最高点就是顶点,此时函数有最大 12
值,在对称轴的左边,y 随 x 的增大而增大,即 x<-3 时,y 随 x x1 =6+2 15 ,x2 =6-2 15 <0(舍去),
的增大而增大. 亦 x=6+2 15抑13. 746抑13. 75(m) .
7. 二次函数 y= -m(x-m+1) 2+2 的对称轴是 y 轴,则 m 的值 亦 该同学把铅球推出约 13. 75 m 远.
是摇 1摇 ,抛物线的顶点坐标是摇 (0,2) 摇 .
分析:由题意知,抛物线的对称轴为直线 x = m - 1 = 0, 2
即 m=1, (0,2) . 12. (2012·黑龙江哈尔滨中考)将抛物线 y=3x 向左平移 2所以顶点坐标为
、 个单位,再向下平移 1 个单位,所得抛物线为(摇 A摇 ) .三 解答题 2 2
8. 抛物线 y=a(x-2) 2 经过点(1,-1) . A. y=3(x+2) -1 B. y=3(x-2) +1
(1) a ; C. y=3(x-2)
2-1 D. y=3(x+2) 2+1
确定 的值
(2)求出抛物线与坐标轴的交点坐标. 13. (2013· 1山东泰安中考)对于抛物线 y= - (x+1) 22 +3,下
解:(1)把点(1,-1)代入 y=a(x-2) 2,得 a= -1.
列结论:淤抛物线的开口向下;于对称轴为直线 x = 1;
(2)当 x=0 时,y = -(x-2) 2 = -4. 当 y = 0 时,x = 2. 则抛物 盂顶点坐标为(-1,3);榆x>1 时,y 随 x 的增大而减小,
线与 y 轴的交点为(0,-4),与 x 轴的交点为(2,0) .
其中正确结论的个数为(摇 C摇 ) .
9. 把二次函数 y = a(x-h) 2 +k 的图象先向左平移 2 个单位, A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
再向上平移 4 个单位,得到二次函数 y = 12 (x+1)
2 -1 的
分析:淤疫 a= - 12 <0,亦 抛物线的开口向下,正确;于对
图象.
称轴为直线 x= -1,错误;盂顶点坐标为( -1,3),正确;
(1)试确定 a,h,k 的值; 榆疫 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小,
(2)指出二次函数 y=a(x-h) 2+k 的开口方向,对称轴和顶 亦 x>1 时,y 随 x 的增大而减小一定正确. 综上所述,结论
点坐标.
正确的个数是淤盂榆,共 3 个. 故选 C.
解:(1) 1原二次函数表达式为 y= 2 (x+1-2)
2-1-4 ,即y= 14. (2013·广东深圳中考)已知二次函数 y =
a(x-1)21 -c 的图象如图 2-4. 1-2,则一次函
2 (x-1)
2-5 ,亦 a= 12 ,h=1,k= -5. 数 y=ax+c 的大致图象可能是(摇 A摇 ).
(2)它的开口向上,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1,
-5) .
10. 若抛物线 y=(x-a) 2+k 与直线 y= 2 有两个交点,求 a 和 图 2-4. 1-2
k 的取值范围.
解:由抛物线 y = (x-a) 2 +k 与直线 y = 2 有两个交点,知
抛物线开口向上,又抛物线的顶点坐标为(a,k),由图象
分析可知 a 可取任意实数,当 k>2 时,抛物线与 y = 2 没
有交点;当 k=2 时,抛物线与 y = 2 有一个交点;当 k<2
时,抛物线与 y=2 有两个交点. B2摇 1
综上所述, a 的取值范围为全体实数, k 的取值范围
为 k<2. 分析:根据二次函数开口向上,则 a>0,根据-c 是二次函
数顶点坐标的纵坐标,得 c>0,故一次函数 y = ax+c 的大
致图象经过一、二、三象限,故选 A.
四、应用题 15. (2012·山东泰安中考)设 A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)
11. 在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知 是抛物线 y= -(x+1) 2+a 上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关
铅球所经过的路线是某个二次函数的一部分,如图 2- 系为(摇 A摇 ) .
4. 1-1,如果这名男同学出手处 A 点的坐标为(0,2),铅 A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2
球路线的最高处 D 点的坐标是(6,5) . C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2
(1 ) 求 这 个 二 次 函 数 的 表 分析:因为函数的表达式是 y= -(x+1) 2 +
达式. a,如图,所以对称轴是直线 x = -1. 所以
(2 ) 该 同 学 把 铅 球 推 出 多 点 A 关于对称轴对称的点为 A忆. 则点 A忆,
远 (精确到 0. 01 m,参考数 B,C 都在对称轴的右侧. 而对称轴右侧 y
据: 15抑3. 873) 随 x 的增大而减小,于是 y > y > y . 故
:(1) 图 2-4. 1-1
1 2 3
解 由题意可设二次函数 选 A. (第 15 题图)
九年级数学(下) /北师大版
课 时 2 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象与性质
A. 0,5 B. 0,1
揖建议用时:10 分钟铱 C. -4,5 D. -4,1
2 2 2
知识点髴 1. 抛物线 y= x2+bx+c 向右平移 2 个单位,再向下平 分析:因为 y=(x-2) +k = x -4x+4+k = x -4x+(4+k),而2 2 2
移 3 个单位,所得图象的表达式为 y = x2 -2x-3,则 b,c 的值 y= x +bx+5,所以 x -4x+(4+k)= x +bx+5,所以 b= -4,k=
为(摇 B摇 ) . 1. 故选 D. 2
A. b=2,c=2 B. b=2,c=0 4. 二次函数 y=4x -mx+5,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小;
C. b= -2,c= -1 D. b= -3
教师用书
B面 课时作业本
数 学
九年级[下]
北 师 大 版
姓 名 班 级
练习 讲解 摇 课时 3摇 一元二次方程的近似根 … (B36)(A17)
第一章摇 直角三角形的边角关系 第三章摇 圆
1. 从梯子的倾斜程度谈起 ……………… (B1)(A1) 1. 车轮为什么做成圆形 ……………… (B37)(A18)
摇 课时 1摇 正切和坡度 ………………… (B1)(A1) 2. 圆的对称性 ………………………… (B39)(A19)
摇 课时 2摇 正弦、余弦和三角函数 ……… (B3)(A2) 摇 课时 1摇 圆的对称性及垂径定理 … (B39)(A19)
2. 30毅,45毅,60毅角的三角函数值 ………… (B5)(A3)
摇 课时 2摇 弧、弦、圆心角之间的关系 ………………
3. 三角函数的有关计算 ………………… (B7)(A4)
……………………………………… (B41)(A20)
4. 船有触礁的危险吗 …………………… (B9)(A5)
3. 圆周角和圆心角的关系 …………… (B43)(A21)
5. 测量物体的高度……………………… (B11)(A6)
摇 课时 1摇 圆周角和圆心角的关系(1) ……………
摇 课时 1摇 测量物体的高度(1) ……… (B11)(A6)
……………………………………… (B43)(A21)
摇 课时 2摇 测量物体的高度(2) ……… (B12)(A6)
摇 课时 2摇 圆周角和圆心角的关系(2) ……………
第二章摇 二次函数
……………………………………… (B44)(A21)
1. 二次函数所描述的关系……………… (B14)(A8)
4. 确定圆的条件 ……………………… (B46)(A22)
2. 结识抛物线…………………………… (B16)(A9)
3. 5. 直线和圆的位置关系 ……………… (B48)(A23)刹车距离与二次函数 ……………… (B18)(A10)
4. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 …… (B20)(A11) 摇 课时 1摇 直线和圆的位置关系 …… (B48)(A23)
摇 课时 1摇 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象与性质 摇 课时 2摇 切线的性质与判定 ……… (B50)(A23)
……………………………………… (B20)(A11) 摇 课时 3摇 三角形的内切圆 ………… (B52)(A25)
摇 课时 2摇 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 … 6. 圆和圆的位置关系 ………………… (B54)(A25)
……………………………………… (B22)(A12) 摇 课时 1摇 圆和圆的位置关系(1)…… (B54)(A25)
5. 用三种方式表示二次函数 ………… (B24)(A13) 摇 课时 2摇 圆和圆的位置关系(2)…… (B55)(A25)
摇 课时 1摇 用三种方式表示二次函数(1) ………… 7. 弧长及扇形的面积 ………………… (B57)(A27)
……………………………………… (B24)(A13) 摇 课时 1摇 弧长及扇形的面积(1) …… (B57)(A27)
摇 课时 2摇 用三种方式表示二次函数(2) ………… 摇 课时 2摇 弧长及扇形的面积(2) …… (B58)(A27)
……………………………………… (B25)(A13) 8. 圆锥的侧面积 ……………………… (B60)(A28)
6. 何时获得最大利润 ………………… (B27)(A14) 摇 课时 1摇 圆锥的侧面积(1)………… (B60)(A28)
摇 课时 1摇 何时获得最大利润(1) …… (B27)(A14) 摇 课时 2摇 圆锥的侧面积(2)………… (B61)(A28)
摇 课时 2摇 何时获得最大利润(2) …… (B28)(A14)
第四章摇 统计与概率
7. 最大面积是多少 …………………… (B30)(A15)
1. 50 年的变化 ………………………… (B63)(A30)
摇 课时 1摇 最大面积是多少(1)……… (B30)(A15)
摇 课时 1摇 50 年的变化(1) ………… (B63)(A30)
摇 课时 2摇 最大面积是多少(2)……… (B31)(A15)
摇 课时 2摇 50 年的变化(2) ………… (B64)(A30)
8. 二次函数与一元二次方程 ………… (B33)(A15)
2. 哪种方式更合算 …………………… (B66)(A32)
摇 课时 1摇 二次函数与一元二次方程的根的关系(1)
3. 游戏公平吗 ………………………… (B68)(A33)
……………………………………… (B33)(A16)
摇 课时 2摇 二次函数与一元二次方程的根的关系(2) 摇 课时 1摇 游戏公平吗(1)…………… (B68)(A33)
……………………………………… (B34)(A16) 摇 课时 2摇 游戏公平吗(2)…………… (B69)(A33)
— 1 —
第一章摇 直角三角形的边角关系
第一章摇 直角三角形的边角关系
1. 从梯子的倾斜程度谈起
课 时 1 正切和坡度
tan A 的值等于(摇 B摇 ) .
揖建议用时:10 分钟铱 A. 4 B. 2 C. 1 D. 1
知识点髴 1. 如图 1 - 1. 1 - 1,在 Rt吟ABC 2 4
中,蚁ACB=90毅,CD彝AB 于 D. 分析:由题知吟ACD易吟CBD, AD所以CD =
CD 2
BD,所以 CD =
(1)tan A= 摇 BC CDAC摇 = 摇 AD摇 ; CD 4
图 1-1. 1-1 AD·BD=2伊8 =16,所以 CD=4,因此tan A= AD = 2 =2. 故
(2)tan 蚁BCD= 摇 (2)BDCD摇 . 选 B.
3. 如图 1-1. 1-4,已知一商场自动扶梯的长 l 为10 m,该自
分析:可将蚁A 放在 Rt吟ABC 和Rt吟ACD 中,则 tan A = BCAC = 动扶梯到达的高度 h 为 6 m,自动扶梯与地面所成的角为
CD BD 兹,则 tan 兹 等于(摇 A摇 ) .
AD. 在 Rt吟BCD 中,tan 蚁BCD=CD. A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
知识点髴 2. 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AC = 1,BC = 3,则 4 3 5 5
tan A= 摇 3摇 . 分 析: 根 据 勾 股 定 理 求 出 水 平 距 离 为 l2-h2 =
点拨:先画出直角三角形,再根据正切的定义求解. 102-62 =8(m),所以 tan 兹= 6 = 3 . 故选 A.
知识点髴 3. 在 Rt吟ABC 中,如果各边长都扩大为原来的 2 倍, 8 4
那么锐角 A 的正切值(摇 D摇 ) .
A. 扩大 2 倍 B. 缩小 12
C. 摇 摇 摇 摇 摇扩大 4 倍 D. 不变
分析:锐角 A 的正切值是两直角边的比值,当各边都扩大为 图 1-1. 1-4 图 1-1. 1-5
2 , . D. 4. 如图 1-1. 1-5,已知 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的高,原来的 倍时 比值不变 故选
知识点髵
3
4. 如图 1-1. 1-2,山坡 AB 的坡度为 5 颐12,一辆汽车 且tan B = 4 ,AC 上有一点 E,满足 AE 颐 CE = 2 颐 3,则
从山脚下 A 处出发,把货物送到距山脚 500 m 高的 B 处,求 tan蚁ADE的值是(摇 B摇 ) .
汽车从 A 到 B 所行驶的路程.
A. 3 B. 8 C. 4 D. 7
解: i = tan A = 5由 坡 度 概 念 知 12 =
BC
AC.
5 9 5 9
分析:过 E 点作 EF彝AD 于 F. 设 AD=3k,则 BD=CD= 4k,
又疫 BC=500 m,亦 AC=1 200(m) .
AB=AC= 5k. 8根据相似可求出 EF = k,AF = 6 k,进而求
在 Rt 吟ABC 中, AB = AC2+BC2 = 图 1-1. 1-2 5 5
1 2002+5002 =1 300(m). 89 EF 5 k 8 B摇1
出 DF= 5 k,所以 tan蚁ADE=DF= 9 = . 故选 B.
揖 k
9
建议用时:40 分钟铱 5
(“ 冶“ 冶“ 冶分别代表题目的难度等级为“容易冶 “中等冶 二、填空题
“较难冶) 5. 在吟ABC 中,若 AB=17,AC=15,BC=8,则 tan A= 摇 815 摇 .
点拨:此题先根据三边关系确定三角形为直角三角形,再
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 根据正切定义完成题目.
1郾 如图 1-1郾 1-3,在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,若 6. 如图 1-1. 1-6,蚁BAC 位于6伊6的方格纸中,则 tan蚁BAC=
tan B= 3 ,BC=2 3 ,则 AC 等于(摇 A摇 ) . 摇 32 2 摇 .
A. 3 B. 4
7. 在吟ABC 中,若 AB=AC=3,BC=4,则 tan C= 摇 5 摇 .
C. 4 3 D. 6 图 1-1. 1-3 2
3 分析:作等腰三角形底边上的高,根据三线合一,知 AD 也
分析:根据正切的定义,知 AC=BC·tan B=2 3 伊 2 =3. 故 是底边 BC 上的中线,由勾股定理可求出 AD 的长为 5 ,进
选 A. 5
2. Rt吟ABC ,CD AB , AD=2,DB=8, 而可求出 tan C= .在 中 为斜边 上的高 若 则 2
知识点髴正切摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (填写课后作业题号)
知识点髵坡度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (填写课后作业题号)
九年级数学(下) /北师大版
四、应用题
13. 如图 1-1. 1-11,拦水坝的横截面为梯形 ABCD,斜坡 AB
的坡度为 1 颐 3,坝顶宽 BC = 3 m,坝高为 4 m,斜坡 CD =
5 m.
摇 摇 (1)比较斜坡 AB 和 CD 哪个更陡;
图 1-1郾 1-6 图 1-1. 1-7 图 1-1郾 1-8 (2)求坝底 AD 的长.
8. 如图 1 - 1. 1 - 7,在等腰梯形 ABCD 中,CD = 4 cm,DE =
6 cm,AB=8 cm,则 tan A= 摇 3摇 .
分析:先由等腰梯形的性质求出 AE,再在 Rt吟ADE 中求出
tan A的值. 如图,过 C 作 CF彝AB 于点 F,则 AE=BF. 所以 摇 摇 摇
AB-CD DE 6 图 1-1. 1-11 (第 13 题图)AE= 2 =2. 又 DE=6 cm,则 tan A= AE = 2 =3. 解:(1)如图,过点 B 作 BE彝AD,过点 C 作 CF彝AD,垂足
分别为 E,F. 则 BE=CF=4 m.
在 Rt吟CFD 中,CD=5 m,
根据勾股定理,得 DF= CD2-CF2 = 52-42 =3(m),
亦 tan D=CF = 4DF 3 .
(第 8 题图) 又疫 tan A= 13 ,亦 tan D>tan A,9. 如图 1-1. 1-8,若某人沿坡度 i=3 颐 4的斜坡前进 10 m,则
他所在的位置比原来的位置升高了摇 6摇 m. 亦 斜坡 CD 更陡.
分析:此题坡度 i 为 3 颐 4,不妨设 AC 为 3k,BC 为 4k. 根据 (2)在 Rt吟ABE 中,疫 BEAE =
1 ,
勾股定理可得(3k) 2 +(4k) 2 = 102 . 解得 k = 2,k = -2(舍 3
去),所以 AC=6 m,所以此人所在位置比原来的位置升高 亦 AE=3BE=3伊4 =12(m) .
了 6 m. 亦 AD=AE+EF+FD=12+3+3 =18(m),
10. 如图 1-1. 1-9,菱形的两条对角线 故坝底 AD 的长为 18 m.
长分别是 24 和 10. 若其中较长的
一条对角线与菱形的一边的夹角 14. (2012·山东济南中考)如图 1-1. 1-12,在 8伊4 的矩形网
为 兹,则 tan 兹= 摇 5 摇 . 格中,每个小正方形的边长都是 1,若吟ABC 的三个顶点12 图 1-1郾 1-9 在图中相应的格点上,则 tan蚁ACB 的值为(摇 A摇 ) .
分析: tan 兹 = AOBO =
2AO
2BO =
AC 1 1 2
BD = A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
10 = 5 . 分析:如图,过点 A 作 AD彝BC 交 CB 的延长线于点 D,则24 12
三、解答题 tan蚁ACB= tan蚁ACD=
AD = 2 = 1DC 6 3 . 故选 A.
11. 若三角形三边的比是 25 颐 24 颐 7,求最小角的正切值.
分析:先判断三角形的形状和最小角,再应用正切的定义
求解.
解:因为三角形三边的比是 25 颐 24 颐 7,不妨设三边长分 摇 摇 摇
别为 25k,24k,7k.
又因为三边满足(25k) 2 =(24k) 2+(7k) 2, 图 1-1. 1-12 (第 14 题图)15. (2013·广东广州中考)如图 1-1. 1-13,四边形 ABCD 是
所以此三角形为直角三角形. 梯形,AD椅BC,CA 是蚁BCD 的平分线,且 AB彝AC,AB =
B摇2 7k 7所以最小角的正切值为24k= 24 . 4,AD=6,则 tan B=(摇 B摇 ) .
12. 如图 1-1. 1-10,在等腰直角三角形 ABC 中,蚁C = 90毅, A. 2 3 B. 2 2 C. 114 D.
5 5
4
AC=6,D 是 AC 上一点,若tan 蚁DBA= 15 ,求 AD 的长.
摇 摇 摇
图 1-1. 1-13 (第 15 题图)
摇 摇 摇 分析:疫 CA 是蚁BCD 的平分线,亦 蚁DCA=蚁ACB.
图 1-1. 1-10 (第 12 题图) 又疫 AD椅 BC, 亦 蚁ACB = 蚁CAD, 亦 蚁DAC = 蚁DCA,
分析:因为蚁DBA 不在直角三角形中,故应先构造直角三 亦 DA=DC. 如图,过点 D 作 DE椅AB,交 AC 于点 F,交 BC
角形,再结合等腰直角三角形的性质进行解答. 于点 E.
解:如图,过点 D 作 CE彝AB 于点 E,由等腰直角三角形 疫 AB彝AC,亦 DE彝AC. 亦 点 F 是 AC 中点,亦 AF = CF.
ABC 可知蚁A=蚁ABC=45毅,AC=BC,所以 AE=DE. 1 AF DF
tan 蚁DBA=DE= 1 , AE = 1
亦 EF是吟CAB 的中位线,亦 EF= 2 AB=2. 疫 FC = EF = 1,
又 EB 5 即EB 5 . 淤 亦 EF=DF=2. 在 Rt吟ADF 中,AF = AD2-DF2 = 4 2 ,则
又 AB= AC2+BC2 = 2 AC=6 2 =AE+EB,于 AC 8 2
由淤于可得 AE= 2 , AD= 2 AE=2. AC=2AF=8 2 ,tan B=所以 AB= 4 =2 2 . 故选 B.
第一章摇 直角三角形的边角关系
课 时 2 正弦、余弦和三角函数
值为(摇 B摇 ) .
揖建议用时:10 分钟铱
知识点髴 1. 在吟ABC 中,蚁C = 90毅,若 BC = 2,sin A = 23 ,则边
AC 的长是(摇 A摇 ) .
A. 5 B. 3 C. 43 D. 13
: BC BC 2 图 1-1. 2-3分析 根据三角函数的定义,得 sin A = AB,所以AB = 3 . 又
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
BC= 2, 所 以 AB = 3. 由 勾 股 定 理, 得 AC = AB2-BC2 = 2 2 2 3
32-22
分析:以 AB 为斜边构造腰长为 4 的等腰直角三角形,再求
= 5 . 故选 A.
解即可. 故选 B.
知识点髴 2. 如图 1 -1. 2 -1,在吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 8,
3 2. 在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅, sin A =
4
5 ,则 cos B 的值等cos A= 4 ,则 AC 的长是摇 6摇 .
于(摇 B摇 ) .
: cos A=AC= 3 ,AB=8, AC= 3 AB= 3分析 因为 AB 4 所以 4 4 伊8 =6. A. 3 4 3 55 B. 5 C. 4 D. 5
分析:在 Rt吟ABC 中,cos B= sin A= 45 . 故选 B.
3郾 在吟ABC 中,若蚁C=90毅,蚁B=2蚁A,则 cos A 等于(摇 A摇 ).
摇 摇 A郾 32 B郾
1
2 C郾 3 D郾
3
图 1-1. 2-1 图 1-1. 2-2 3
髵 8 分析:由蚁B+蚁A=2蚁A+蚁A=90毅,得蚁A=30毅,再根据 30毅知识点 3. 如图 1-1. 2-2,在吟ABC 中,蚁C= 90毅,sin A= 17, 角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理完成此题. 故
则 BC 颐AC=(摇 A摇 ) . 选 A.
A. 8 颐15 B. 15 颐8 4.在吟ABC 中,蚁C=90毅,a 颐b= 3 颐 1,则 sin A,cos A,tan A的值
C. 8 颐17 D. 15 颐17 分别是(摇 A摇 ) .
分析:由 sin A=BCAB =
8
17,可设 BC = 8a,则 AB = 17a. 由勾股定 A. 32 ,
1
2 , 3 B.
1 , 32 2 , 3
理,得 AC = AB2-BC2 = (17a) 2-(8a) 2 = 15a. 所以 BC 颐 3 1 3 3 1 3
AC=8a 颐15a=8 颐15. 故选 A. C. 3 , 2 , 2 D. 2 , 2 , 2
知识点髵 4. 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,sin A= 35 ,则 tan B 分析:因为 a 颐b= 3 颐1 = tan A,可设 a= 3 x,则 b= x. 由勾股
的值为(摇 A摇 ) . , c = a2+b2 = 2x. sin A = a 3 x 3定理 得 所以 c = 2x = 2 ,
A. 4 B. 4 C. 5 D. 33 5 4 4 cos A= b x 1c = 2x = 2 . 故选 A.
分析:在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,则 sin A = BC 3AB = 5 ,如果设 二、填空题 B摇3
BC=3x,则 AB=5x,根据勾股定理,得(3x) 2 +AC2 = (5x) 2,解 5郾 已知在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 5,AC = 3,则sin B =
得 AC=4x. 所以 tan B= AC = 4x = 4 . 故选 A. 摇 3 45 摇 ,cos B= 摇 5 摇 ,tan B= 摇
3
4 摇 .BC 3x 3
髵 5. 蚁琢 分析:先根据条件画出图形,再根据勾股定理求出 BC知识点 已知 是锐角,且 sin 琢 = 513,求 cos 琢 的值 . 的长.
分析:本题可根据定义把蚁琢 放入直角三角形中来解. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,0)和点B(0,-4),
解: 5设直角三角形中的一个锐角为 琢,由 sin 琢 = 13,可设蚁琢 则 cos蚁OAB 的值是摇
3
5 摇 .
的对边长为 5k,则斜边长为 13k,则由勾股定理可知蚁琢 的邻 分析:画出图形,则得吟OAB 为直角三角形,再根据余弦的
边长为 12k,则 cos 琢=12k 12 定义即可求解.13k = 13 . 7. 在 Rt吟ABC 中,若蚁C = 90毅, AC=2,BC = 1,则 tan B =
5
揖建议用时:40 分钟铱 摇 2摇 ,sin A= 摇 5 摇 .
AC BC
分析:tan B=BC,sin A= AB,AB= 2
2+12 = 5 .
一、选择题
1. 在正方形网格中,吟ABC 的位置如图 1-1. 2-3,则 cos B 的 8. 若等腰梯形的上底为 2 cm,下底为 4 cm,面积为3 3 cm2,
知识点髴正弦、余弦摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵三角函数摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
则下底角的余弦值为摇 1 摇 . 斜边 AC 的中点,EF彝DC 于 F,所以 EF 是吟ADC 的中位2
线,EF= 12 AD = 6,DF =
1
2 DC = 2. 5,所以 tan蚁EDC =分析:由题意,画出示意图,如图,过 A
作 AE彝BC 于 E,过 D 作 DF彝BC 于 EF = 12 .
F,则 BE = CF = 1 cm. 又由 S = DF 5梯形ABCD
1 12. 已知 a,b,c 分别是吟ABC 中蚁A,蚁B,蚁C 的对边,关于 x
2 (AD+BC)·AE = 3 3 可解得 AE = 的一元二次方程 a(1-x
2) +2bx+c(1+x2)= 0 有两个相等
(第 8 题图) 的实数根,且 3c=a+3b.
3 . 在 Rt吟ABE 中,由勾股定理可得 (1)判断吟ABC 的形状;
AB=2,所以 cos B=BE= 1 . (2)求 sin A+sin B 的值.AB 2 分析:(1)首先将方程整理成关于 x 的一元二次方程的一般
三、解答题 形式(c-a)x2+2bx+(c+a)= 0.由方程有两个相等的实数根可
2 2 2
9. 1-1. 2-4, 吟ABC ,蚁C= 90毅,sin A= 4 ,AB = 15, 得判别式为 0,即可得到 a +b = c ,由勾股定理的逆定理可如图 在 中 5 得吟ABC 为直角三角形;(2)将 a2 +b2 = c2 与 3c = a+3b 联
求吟ABC 的周长和 tan A 的值. a b
系起来可求 c , c ,从而求出 sin A,sin B 的值.
解:在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AB = 15, 解:(1)整理原方程,得(c-a)x2+2bx+(c+a)= 0.
sin A=BC 4 依题意,得判别式为(2b)
2-4(c-a)(c+a)= 0,
AB = 5 , 整理可得 a2+b2 = c2 .
亦 BC = 12, 由 勾 股 定 理, 得 AC = 亦 吟ABC 是直角三角形.
2 2 2 2 2AB -BC = 152-122 = 9,亦 吟ABC 的 (2)由 3c= a+3b,得 a = 3c-3b,代入 a + b = c ,得( b-
BC 图 1-1. 2-4 c)(5b-4c)= 0.
周长为 36,tan A= AC =
4
3 . 疫 c>b,亦 5b-4c=0,即 b= 4 c,亦 a=3c-3伊 ( 4 c) = 3 c.
10. 如图 1 - 1. 2 - 5,在吟ACB 中, AD 是 BC 边上的高, 5 5 5
tan B=cos蚁DAC. 亦 sin A= a = 3 ,sin B= b = 4 ,
(1)求证:AC=BD; c 5 c 5
7
(2)若 sin C= 12 亦 sin A+sin B= .13 ,BC=12,求 AD 的长. 5
(1)证明:在 Rt吟ABD 和 Rt吟ADC 中,
疫 tan B = AD, cos 蚁DAC = AD, 13. (2012·山东滨州中考)把吟ABC 三边的长度都扩大为原BD AC 来的 3 倍,则锐角 A 的正弦函数值(摇 A摇 ) .
tan B=cos 蚁DAC, A. 不变
亦 AD =ADBD AC,亦 AC=BD.
图 1-1. 2-5 B. 缩小为原来的 13
(2)解:在 Rt吟ADC 中,由 sin C=AD 12AC = 13 ,可设 AD= 12k,
C. 扩大为原来的 3 倍
D. 不能确定
则 AC=13k. 由勾股定理,得 CD= AC2-AD2 =5k. 分析:因为吟ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍,所得
又由(1)可知 BD=AC=13k. 三角形与原三角形相似,所以锐角 A 的大小没有改变,所
亦 BC=13k+5k. 以锐角 A 的正弦函数值也不变. 故选 A.
2 14. (2012·四川乐山中考) 如图 1 - 1. 2 - 7,在Rt吟ABC
又疫 BC=12,亦 13k+5k=12,解得 k= 3 . 中,蚁C=90毅,AB=2BC,则 sin B 的值为(摇 C摇 ) .
亦 AD=12伊 2 =8. A. 1 B. 2 33 2 2 C. 2 D. 1
B摇4 分析:根据勾股定理可得 AC = AB
2-BC2 = 3 AB,亦 在
四、综合题 2
11. 已知:如图 1-1郾 2-6,在吟ABC 中,AD 是边 BC 上的高,E Rt吟ABC ,sin B= AC 3中 = . 故选 C.
为边 AC 的中点,BC=14,AD=12,sin B= 4 . AB 25
求:(1)线段 DC 的长;
(2)tan蚁EDC 的值.
分析:(1)利用三角函数的定义和勾股
定理来计算;(2)蚁EDC 不在直角三角
形中,要求 tan蚁EDC 的值,有两个思路: 摇 摇 摇
淤转化;于构造直角三角形. 图 1-1. 2-7 图 1-1. 2-8
4 15. (2012·浙江宁波中考) 如图 1 - 1. 2 - 8,在Rt吟ABC
解:(1) 因为 sin B = 5 ,AD = 12,所以 图 1-1. 2-6 中,蚁C=90毅,AB=6,cos B= 2 ,则 BC 的长为(摇 A摇 ) .
AB = 15. 在 Rt 吟ABD 中, 由 勾 股 定 理, 得 BD = 3
152-122 =9. 故 DC=BC-BD=14-9 =5. A. 4 B. 2 5 C. 18 13 D. 12 13
(2)淤转化法:因为 E 为斜边 AC 的中点,所以 DE = AE = 13 13
BC 2 BC 2
CE,所以蚁EDC=蚁C,所以 tan蚁EDC= tan C= ADDC=
12 . 分析:疫 cos B = AB,且 cos B = 3 ,亦 AB = 3 . 疫 AB = 6,5
于 2构造直角三角形法:过 E 点作 EF彝DC 于 F,因为 E 为 亦 BC= 3 伊6 =4. 故选 A.
第一章摇 直角三角形的边角关系
2. 30°,45°,60°角的三角函数值
2. 点 A( cos 60毅, - tan 30毅) 关于原点对称的点 A忆的坐标
揖建议用时:10 分钟铱 是(摇 A摇 ) .
知识点 1. sin 30毅的值等于(摇 A摇 ) . A. 1 - , 3 ÷ B. - 3 , 3 ÷
A郾 1 B郾 2
è 2 3 è 2 3
2 2 C郾
3
2 D郾 1 C. - 1 ,- 3 D. 1 3 ÷ - , ÷
分析:方法一:利用直角三角形中 30毅角所对的边是斜边的一 è 2 3 è 2 2
半,得 sin 30毅 = 12 ;方法二:由特殊角的锐角三角函数值知
1
分析:因为 cos 60毅 = 2 ,tan 30毅 =
3
3 ,所以 A
1 3
,- ÷ 关
è 2 3
sin 30毅 = 12 . 故选 A. 于原点对称的点 A忆的坐标为 -
1 , 3 ÷ . 故选 A.
è 2 3
知识点 2. tan 45毅+2sin 60毅+cos 60毅的结果是(摇 B摇 ) .
3 3. 在 吟ABC 中, 蚁C = 90毅, sin B =
1
2 , 则 tan A 的 值A. 2 B. 3 + 2 为(摇 A摇 ) .
C. 2 D. 52 A. 3 摇 摇 摇 B. 1摇 摇 摇 C. 33 摇 摇 摇 D. 1
: =1+2伊 3 + 1分析 原式 2 2 =
3
2 + 3 . 故选 B. 分析:因为 sin 30毅 =
1
2 ,所以蚁B = 30毅. 故蚁A = 90毅 -
知识点 3. 若在吟ABC 中,sin A=cos B= 22 ,则下列最确切的结
30毅 =60毅. 故 tan A= tan 60毅 = 3 . 故选 A.
4. 如图 1 - 2 - 2,菱形 ABCD 的边长为 2,
论是(摇 C摇 ) . 蚁ABC=45毅,则点 D的坐标为(摇 C摇 ).
A. 吟ABC 是直角三角形
B. 吟ABC 是等腰三角形 A. (2, 2 ) 摇 摇 摇 摇 摇
C. 吟ABC 是等腰直角三角形 B. (2,2+ 2 )
D. 吟ABC 是锐角三角形 C. (2 + 2 , 2 ) 摇 摇 摇 摇 摇 图 1-2-2
分析:疫 sin A=cos B= 22 ,亦 蚁A=蚁B=45毅,亦 吟ABC
D. ( ,2)
是等腰 2
分析:过点 A 作 AE彝x 轴于点 E. 在 Rt吟AOE 中,AE =
直角三角形. 2 2
知识点 4. 课外活动小组测量学校旗 AO·sin 45毅 =2伊 2 = 2 ,OE =OA·cos 45毅 = 2伊 2 = 2 .
杆的高度. 如图 1 -2 -1,当太阳光 所以 A( 2 , 2 ) . 又因为 AD=2,AD椅x 轴,所以 D(2+ 2 ,
线与地面成 30毅角时,测得旗杆 AB
2 ),故选 C.
在地面上的投影 BC 长为 24 m,则
旗杆 AB 的高度约是摇 13. 9摇 m( 二、填空题结
1 1
果保留 1 位小数, 3抑1. 732) . 图 1-2-1 5. 计算:sin 60毅·cos 30毅- 2 = 摇 4 摇 .
分析:本题是解由太阳光线、旗杆 分析:先求出各特殊角的三角函数值,再运用实数运算法
及其影长构成的一个直角三角形,利用锐角 30毅的正切函数 则计算.
, tan 30毅 = AB 3 3 3值 得 BC= 3 ,所以 AB=BC·
2
3 =24伊 3 抑13. 9. 6. 已知蚁A 为锐角,且 tan A=1,则 cos A= 摇 2 摇 .
知识点 5. 计算: 分析:根据蚁A 为 锐 角,且 tan A = 1,得蚁A = 45毅,所 以
(cos 60毅) -1衣(-1) 2 012+ |2- 8 | - 2 伊(tan 30毅-1) 0 .
2 -1 cos A=
2
2 . B摇5
分析:解题时注意任何非 0 数的 0 次幂等于 1. 2 1
1 -1 2 ( ) 7. 在锐角三角形 ABC 中,若 sin A = 2 ,cos B = 2 ,则蚁C=: 2 +1解 原式= ( 2 ) 衣1+( 8 -2)- 伊1( 2 +1 ) ( 2 -1 ) 摇 75毅摇 .
=2+2 2 -2-2 2 -2 = -2. 分析: 2在锐角三角形 ABC 中,由 sin A = 2 ,得蚁A = 45毅.
1
揖建议用时:40 分钟铱 由 cos B = 2 ,得蚁B = 60毅. 根据三角形内角和为 180毅,
得蚁C=180毅-45毅-60毅 =75毅.
一、选择题 8. 计算: sin 30毅 ·cos 30毅 - tan 30毅 = 摇 - 3 摇 (结果保留
1. 在吟ABC 中,如果 sin B = cos(90毅 -C) = 12 ,那么吟ABC
12
根号) .
是(摇 A摇 ) . 分析:根据特殊角的三角函数值直接计算. sin 30毅 ·
A. 等腰三角形摇 摇 摇 摇 摇 B. 等边三角形 1 3 3 3
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 cos 30毅-tan 30毅 = 2 伊 2 - 3 = -12 .
分析: 1因为 sin 30毅 = cos 60毅 = 2 ,所以蚁B = 30毅,90毅 -
三、解答题
1 2
蚁C=60毅,则蚁C=30毅,蚁A=120毅. 故选 A. 9. 计算:(1)tan 45毅+ 2 tan 60毅+ (1-cos 30毅) ;
知识点摇 30毅,45毅,60毅角的三角函数值摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
(2)2-1+ 3 tan 30毅-(仔-2 012) 0 . 蚁B=45毅,
解:(1)tan 45毅+ 12 tan 60毅+ (1-cos 30毅)
2 亦 AD=DB=AB·sin 45毅 = 6 伊 22 = 3 .
2 AD
=1+ 1 伊 3 + 1- 3
在 Rt吟ACD 中,疫 tan C=
÷
2 CD
,
è 2
亦 CD= AD 3 3
=1+ 3 +1- 3 =2. tan C
= tan 60毅 = =1,3 摇 (第 12 题图)2 2
1 3 亦 BC=BD+DC= 3 +1,(2)2-1+ 3 tan 30毅-(仔-2 012) 0 = 2 + 3 伊 3 -1 亦 AC= ADsin C=
AD 3
1 1 sin 60毅
= =2.
3
= 2 +1-1 = 2 . 2
10. 在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅. 五、探究题
(1)已知 BC=8,蚁B=60毅,求 AB 及 AC; 13. 如图 1-2-5,在 Rt吟ABC 中,蚁ACB=90毅,AB=6,P 是 AB
(2)已知蚁B=45毅,AC= 6 ,求 AB 及 tan A. 上一点,连接 CP,设蚁BCP=m蚁ACP,当BPAP =7+4 3时,是
解:(1)疫 cos B=BCAB,tan B=
AC
BC,BC=8,蚁B=60毅, 否存在正整数 m,使 CP彝AB 如果存在,求出 m 的值;如
果不存在,说明理由.
亦 AB= BCcos 60毅 =16,AC=BC·tan 60毅 =8 3 .
(2)疫 蚁B=45毅,蚁C=90毅,亦 蚁A=45毅.
AC 2 摇 摇 摇亦 tan A=1,cos A=AB= 2 , 图 1-2-5 (第 13 题图)
AC 分析:先假设存在,若存在可找出答案. 若不存在,可得亦 AB= = 6 伊 2 =2 3 . 出矛盾. 由于 CP 与 AP,BP 的比值不是特殊值,蚁A,蚁B
2 很难求出. 通过对 CP,BP,AB 的数值进行分析,取 AB 的
2 中点 O,构造出 Rt吟OPC,它是含特殊角的三角形,从而
11. 如图 1-2-3,吟ABC 是某市的一块三角形空地,现准备在 使问题得解.
上面种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 BP
售价为 a 元,问购买这种草皮至少花费多少元 解:如图,假设存在正整数 m,使 CP彝AB. 因为AP = 7+
4 3 ,AB=6, 6-PA = 7+4 3 , PA = 6-3 3所以 PA 所以 2 ,PB =
6+3 3
图 1-2-3 2
. 因为 CP彝AB 于 P,所以蚁CPB=90毅. 取 AB 的中
分析:要求所需费用,只要求出购买这种草皮的面积,把 点 O,连接 OC. 因为蚁ACB = 90毅, OC = 1所以 AB = 3. 因
AC 看做是底,则 AC 边上的高 BD 可看做 Rt吟ABD 的一 2
条边,在 Rt吟ABD 中,AB = 20,蚁DAB = 30毅,利用正弦的 为 OP=BP-OB = 3 32 ,所以在 Rt吟OCP 中,cos蚁COP =定义可求 BD.
OP 3
OC= 2 ,所以蚁COP = 30毅. 因为 OC = OB,所以蚁B =
1
2 蚁AOC = 15毅, 所 以 蚁BCP = 75毅, 蚁ACP = 15毅, 所
以 m=5.
(第 11 题图)
解:如图,过 B 作 BD彝CA,交 CA 的延长线于点 D.
B摇6 疫 蚁BAC=150毅,亦 蚁BAD=180毅-150毅 =30毅. 14. (2012·山东济南中考)2sin 30毅- 16 = 摇 -3摇 .
1
亦 BD=AB·sin 蚁BAD=20sin 30毅 =20伊 12 =10(m) .
分析:2sin 30毅- 16 =2伊 2 -4 = -3.
1 1 15. (2013·重庆中考) 如图 1 - 2 - 6,在吟ABC 中,蚁A =亦 S吟ABC = 2 AC·BD= 2 伊30伊10 =150(m
2) . 45毅,蚁B = 30毅,CD彝AB,垂足为 D,CD = 1,则 AB 的长
亦 花费的费用为 150a 元. 为(摇 D摇 ) .
答:购买这种草皮至少花费 150a 元. A. 2摇 摇 摇 B. 2 3 摇 摇 摇 C. 33 +1摇 摇 摇 D. 3 +1
分 析: 疫 CD 彝 AB,
四、综合题 亦 蚁ADC = 蚁BDC = 90毅.
12. 如图 1-2-4,在吟ABC 中,已知 AB = 亦 tan A = CD, tan B = CD,
6,蚁B=45毅,蚁C=60毅,求 AC,BC的长. AD BD
分析:BC 不在直角三角形中,应作辅 亦 AD= CD = 1
助线将其转化到直角三角形中,因此 tan A tan 45毅
,BD = 图 1-2-6
可作 AD彝BC 于 D,此时组成 BC CD 1 1的
图 1-2-4 tan B
= tan 30毅 = = 3 .
两条线段 BD,CD 可分别在 Rt吟ABD 3
和 Rt吟ACD 3中求得.
解:如图,过 点 A 作 AD彝 BC 于 D. 在 Rt 吟ABD 中, 亦 AB=AD+BD=1+ 3 . 故选 D.
第一章摇 直角三角形的边角关系
3. 三角函数的有关计算
5. 已知 sin 63毅 =0. 891 0,若 cos 琢=0. 891 0,不用计算就可求
揖建议用时:10 分钟铱 得 琢= 摇 27毅摇 .
知识点髴 1. 用计算器求下列各式的值:(小数点后保留四位) 点拨:sin A=cos(90毅-A) .
(1)sin 35毅; (2)tan 85毅; 6. 如图 1-3-2,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面
(3)sin 72毅38忆25义; (4)cos 47毅15忆. 高度 AC 为 3 m,引桥的坡角蚁ABC 为 15毅,则引桥的水平
解:(1)sin 35毅抑0. 573 6. 距离 BC 的长约是摇 11. 2摇 m(精确到 0. 1 m) .
(2)tan 85毅抑11. 430 1.
(3)sin 72毅38忆25义抑0. 954 5.
(4)cos 47毅15忆抑0. 678 8.
知识点髵 2. 根据下列各式求锐角 A 的大小(用度、分、秒表 图 1-3-2
示): 分析:在 Rt吟ABC AC中, = tan蚁ABC, BC = AC所以 抑
(1)sin A=0. 981; BC tan 15毅
(2)cos A=0. 860 7; 11. 2.
(3)tan A=56. 78. 7郾 如图 1-3-3,从点 C 测得树的仰角为
解:(1)蚁A抑78毅48忆48义. 33毅, BC = 20 m, 则 树 高 AB 抑
(2)蚁A抑30毅36忆17义. 摇 13.0摇 m(用计算器计算,结果精确
(3)蚁A抑88毅59忆28义. 到 0.1 m).
分析:在 Rt吟ABC 中,根据三角函
揖 :40 铱 图 1-3-3建议用时 分钟
数的定义,得 tan蚁ACB = ABBC,所以
AB=BC·tan蚁ACB=20·tan 33毅,用计算器计算,得 AB抑
一摇 摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 20伊0. 649 4抑13. 0.
1. 若已知 tan 兹=0. 342 9,则 兹 约为(摇 C摇 ) .
三、解答题
A. 17毅 B. 18毅 C. 19毅 D. 20毅
8. 用计算器计算:
点拨:注意按键顺序.
sin 15毅18忆+cos 7毅30忆-tan 54毅42忆.
2. 某人沿倾斜角为 25毅的斜坡前进了 100 m,则他上升的最
(摇 A摇 ) . 解:原式抑0. 263 87+0. 991 44-1. 412 35 = -0. 157 04.大高度约为
A. 42. 3 m B. 236. 6 m 9. 已知吟ABC,蚁C = 90毅,蚁A,蚁B,蚁C 所对的边分别为 a,
C. 46. 6 m D. 72. 5 m b,c,且 a=8,b=6,试求较小的锐角度数.
分析:上升高度为 100伊sin 25毅抑42. 3(m) . 故选 A. 解:疫 a=8>b = 6,亦 蚁B 是较小的角. 疫 tan B = b = 6a 8 =
3郾 如图 1-3-1,某飞机于空中 A 处探测到目标 B,此时飞机
3
高度 AC=1 200 m,从飞机上看目标 B 的俯角 琢 = 18毅,则 4 ,借助计算器可求蚁B抑36毅52忆12义.
飞机 A 到目标 B 的距离约为(摇 C摇 ) . (精确到 1 m,参考 10. 如图 1-3-4,小明在楼顶 A 处测得对面大楼楼顶 C 处的仰
数据:sin 18毅抑0. 31,cos 18毅抑0. 95,tan 18毅抑0. 32) 角为 52毅,楼底 D 处的俯角为 13毅. 若两座楼 AB 与 CD 相
距 60 m,求楼 CD 的高度(结果保留 1 位小数) . B摇7
(参考数据:sin 13毅抑0郾 225 0,cos 13毅抑0郾 974 4,tan 13毅抑
0郾 230 9,sin 52毅抑0郾 788 0,cos 52毅抑0郾 615 7, tan 52毅抑
1郾 279 9)
图 1-3-1
A. 3 771 m B. 3 869 m
C. 3 871 m D. 3 875 m
分析: AC由题图可知蚁B = 蚁琢 = 18毅, sin B = AB. 由 AC =
1 200 m,得 AB= AC 1 200sin 18毅抑0. 31 抑3 871(m) . 故选 C.
二、填空题 图 1-3-4
4. 用计算器求下列锐角的三角函数值: 解:作 AE彝CD 于 E,得矩形 ABDE,故 AE=BD=60 m.
(1)sin 25毅16忆抑摇 0. 43摇 (保留 2 位小数); 又疫 蚁EAD=13毅,蚁CAE=52毅,
(2)cos 10毅36忆抑摇 0. 982 9摇 .
知识点髴用计算器求一般锐角的三角函数值摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵使用计算器由已知锐角三角函数值求相对应的锐角摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
亦 tan 蚁CAE = CE, tan 52毅 = CE, CE 抑1. 279 9 伊 60 = 解:设 x1,x2 是关于 x 的方程 x
2-4x+m=0 的两个正整数
AE 60 根,所以 x1+x2 =4,所以 x1 = x2 = 2 或 x1 = 1,x2 = 3 或 x1 =
76. 794. 3,x2 =1. 所以 b 只能取 1,2,3. 因为 a = 3,c = 5,所以 2<
tan蚁EAD=DE,tan 13毅 =DEAE 60 ,DE抑0. 230 9伊60 =13. 854.
b<8,所以 b = 3,则有 AC = BC = 3,如图,过点 C 作 CD彝
亦 CD=CE+DE=76. 794+13. 854 =90. 648抑90. 6(m) . AB 于 D,
1 5
得 AD = 2 AB = 2 . 因为在Rt吟ADC中,cos A =
亦 楼 CD 的高度约为 90. 6 m. 5
11. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔. 如图 1-3-5, AD= 2 = 5 ,所以蚁A抑34毅.
新电视塔高 AB 为 610 m,远处有一栋大楼,某人在楼底 C AC 3 6
处测得塔顶 B 的仰角为 45毅,在楼顶 D 处测得塔顶 B 的
仰角为 39毅. 13. (2012·湖北宜昌中考)在“测量旗杆的高度冶的数学课
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC; 题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为
(2)求大楼的高度 CD(精确到 1 m) . 27毅,如图 1-3-6,此时旗杆在水平地面上的影子的长度
为 24 米,则旗杆的高度约为(摇 D摇 ) .
图 1-3-5 图 1-3-6
分析:(1)由于蚁ACB=45毅,蚁A=90毅,因此吟ABC 是等腰 A. 24 米 B. 20 米
直角三角形,所以 AC = AB = 610 m;(2)过 D 作 DE彝AB C. 16 米 D. 12 米
于 E,根据矩形的对边相等可知:DE = AC = 610 m,在 Rt 分析:旗杆的高度=24伊tan 27毅抑12(米) . 故选 D.
吟BDE 中,运用直角三角形的边角关系即可求出 BE 的 14. (2012·江苏南京中考)如图 1-3-7,将 45毅的蚁AOB 按
长,用 AB 的长减去 BE 的长度即为大楼的高度 CD. 下面的方式放置在一把刻度尺上:定点 O 与尺下沿的端
解:(1)由题意,得 AC=AB=610 m. 点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺上沿的交点 B 在刻度
(2)过 D 作 DE彝AB 于 E,则得 DE=AC=610 m. 尺上的读数恰为 2 cm. 若按相同的方式将 37毅的蚁AOC
放置在该刻度尺上,则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的
在 Rt吟BDE 中,tan蚁BDE=BEDE,故 BE=DE·tan 39毅. 读数为 摇 2. 7 摇 cm. (结果精确到 0. 1 cm,参考数据:
因为 CD = AE,所以 CD = AB-DE· tan 39毅 = 610 -610 伊 sin 37毅抑0. 60,cos 37毅抑0. 80,tan 37毅抑0. 75)
tan 39毅抑116(m) .
答:大楼的高度 CD 约为 116 m.
点拨:注意近似值的取舍.
摇 摇 摇
B摇8 四、学科内综合题 (第 14 题图) 图 1-3-7
12. 在吟ABC 中,蚁A,蚁B,蚁C 的对边分别是 a,b,c,且 a = 分析:如图,过点 B 作 BD彝OA 于点 D,过点 C 作 CE彝OA
3,c=5,b 是关于 x 的方程 x2 -4x+m= 0 的两个正整数根 于点 E. 在 吟BOD 中, 疫 蚁BDO = 90毅, 蚁DOB = 45毅,
之一,求蚁A 的度数(结果精确到 1毅) . 亦 BD = OD = 2 cm, 亦 CE = BD = 2 cm. 在 吟COE 中,
分析:先利用一元二次方程根与 蚁CEO= 90毅,蚁COE = 37毅, 疫 tan蚁COE = CEOE抑0. 75,
系数的关系以及三角形三边关
亦 OE抑2. 7 cm. 亦 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数
系确定出 b 的值,从而确定三角
约为 2. 7 cm.
形的形状,再作辅助线构造直角 (第 12 题图)
三角形来解题.
第一章摇 直角三角形的边角关系
4. 船有触礁的危险吗
BD=AB·cos 30毅 =150,所以 CD=BC-BD=200-150= 50,所以
揖建议用时:10 分钟铱 AC= AD 2+CD 2 = (50 3 )2+502 =100(m) .
知识点 1. 在一次夏令营活动中,小霞同学从营地 A 点出发,要
到距离 A 点 1 000 m 的 C 地去,先沿北偏东 70毅方向到达 B 揖建议用时:40 分钟铱
地,然后再沿北偏西 20毅方向走了 500 m 到达目的地 C,此时
小霞在营地 A 的(摇 C摇 ) .
A. 20毅 摇一、摇选摇择摇题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇北偏东 方向上
B. 1.如图 1-4-4,从热气球 C 上测定建筑物 A,B 底部的俯角分北偏东 30毅方向上
C. 40毅 别为 30毅和 60毅,如果这时气球的高度 CD 为 150 m,且点 A,北偏东 方向上
D. 30毅 D,B 在同一直线上,那么建北偏西 方向上
分析: 如 图, 作 BD 椅 AE, 筑 物 A, B 间 的 距 离由 题 意 可 知
蚁BAE = 20毅, 蚁ABD = 蚁BAE = 为(摇 C摇 ) .则
20毅,蚁CBF = 20毅,蚁CBD = 90毅 -蚁CBF = A. 150 3 m
70毅,因此蚁ABC=蚁ABD+蚁CBD= 90毅. 在 B. 180 3 m
Rt吟ABC 中, AC= 1 000, BC = 500, 因 C. 200 3 m 图 1-4-4
此 蚁BAC = 30毅, 故 蚁CAE = 蚁BAC + (第 1 题图) D. 220 3 m
蚁BAE=50毅,所以 C 在 A 的北偏东 40毅方 CD
向上. 故选 C. 分析:由题意,得蚁A = 30毅,蚁B = 60毅,AD = tan A = 150 3 ,
知识点 2. 如图 1-4-1,小明为了测量其所
BD= CDtan B=50 3 ,则 AB=AD+BD= 150 3 +50 3 = 200 3 .在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,
沿着与 AB 垂直的方向走了m m,到达点 故选 C.
C,测得蚁ACB=琢,那么 AB等于(摇 B摇 ) . 2. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C
A. m·sin 琢 m B. m·tan 琢 m 的俯角为 60毅,又知水平距离 BD=10 m,楼高 AB=24 m,则
图 1-4-1
树高 CD 为(摇 A摇 ) .
C. m·cos 琢 m D. mtan 琢 m
A. (24-10 3 ) m B. 24-10 3 ÷ m
分析: tan 琢 = AB由正切定义可知 AC,所以 AB = AC·tan 琢 =m·
è 3
C. (24-5 3 ) m D. 9 m
tan 琢. 故选 B. 分析:本题可以运用三角函数知识来解,设树高为 x m,再
知识点 3. 如图 1-4-2,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行, 解直角三角形. 故选 A.
在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60毅方向上,航行半小时后到 3. 如图1-4-5,将圆桶中的水倒入一个直径
达 B 处,此时观测到灯塔 M 在北偏东 30毅方向上,那么该船 为 40 cm,高为 55 cm 的圆口容器中,圆
继续航行摇 15摇 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置. 桶与水平面夹角为 42毅.若使容器中的水
分析:过点 M 作 MN彝AB 于点 N,则点 N 为渔船到达离灯塔 面与圆桶相接触,则容器中水的深度至
距离最近的位置. 由题意易知蚁MAB = 蚁AMB = 蚁BMN = 少应是(摇 D摇 )(精确到 1 cm).
30毅,所以 AB=BM=2BN. 因为船匀速从 A 到 B 需半小时,所 A. 10 cm B. 20 cm
以从 B 到 N 需一半时间,即 15 分钟. C. 30 cm D. 35 cm 图 1-4-5
点拨:有关方位角的题目,往往需要解直角三角形,当题目中 分析:过点 A 作 AC彝BD 于点 C. 在 Rt B摇9
没有直角三角形时,我们可以作辅助线构造直角三角形,作 吟ABD 中,因为蚁ABD = 42毅,BD = 40 cm,亦 AB = BD·
辅助线时要考虑如何充分和便利地使用已知条件. cos 42毅抑29. 7(cm) . 在 Rt吟ABC 中,AC = AB·sin 42毅抑
20(cm) . 亦 容器中水的深度至少应为 55-20 = 35(cm) . 故
选 D.
二、填空题
4. 如图 1-4-6,在 Rt吟ABC 中,蚁C = 90毅,AM 是 BC 边上的
中线,sin蚁CAM= 35 ,则 tan B 的值为摇
2
3 摇 .
摇 摇
分析:设 CM= x,利用 sin蚁CAM =CM 5AM,得 MA= x,再由勾图 1-4-2 图 1-4-3 3
知识点 4. 如图 1 - 4 - 3,小明从 A 地沿北偏东 30毅 方向 4股定理可求出 AC= 3 x. 因为 M 是 BC 的中点,所以 BC =
走 100 3 m 到 B 地,再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地, AC 2
此时小明离 A 地摇 100摇 m. 2x. 所以 tan B=BC= 3 .
分析:设 BC 与东西方向的线交于 D 点,则 AD= 12 AB=50 3 ,
知识点摇 运用三角函数解决实际问题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
解:在 Rt吟ABD 中,AB = 3,
蚁ADB=45毅,
AD = AB所 以 tan蚁ADB =
摇 摇 3 3
tan 45毅 = 1 =3.图 1-4-6 图 1-4-7
5. 在 Rt 吟ACD 中, AD =如图 1-4-7,若一水库迎水坡 AB 的坡度 i= 1 ︰ 3 ,则该坡
3,蚁ADC=60毅, 图 1-4-10
的坡角 琢= 摇 30毅摇 .
所以 AC=AD·tan蚁ADC=3伊tan 60毅 =3伊 3 =3 3 .
分析:坡度指的是坡角的正切值,则有 tan 琢 = 1 颐 3 ,所
所以路况显示牌 BC 的高度为 (3 3 -3 ) m.
以蚁琢=30毅. 10. (2012·湖南张家界中考)黄岩岛是我国南海上的一个
6. 如图 1 - 4 - 8,在吟ABC 中, 蚁B= 岛屿,其平面图如图 1-4-11 甲,小明据此构造出该岛的
45毅,cos C= 3 ,AC= 5a,则吟ABC 的 一个数学模型如图 1-4-11 乙,其中蚁B=蚁D=90毅,AB=5
BC=15 千米,CD=3 2千米,请据此解答如下问题:
面 积 用 含 a 的 式 子 表 示 是
摇 14a2 摇 . 图 1-4-8
分析:过点 A 作 AD彝BC 于 D. 在
Rt吟ADC中,cos C= 35 ,AC = 5a,所以 DC = 3a,AD = 4a. 又
因为在 Rt吟ADB 中,蚁B = 45毅,所以 BD = AD = 4a. 因此,
吟ABC 1 AD·BC= 1 ·4a·7a=14a2 . 图 1-4-11的面积为 2 2 (1)求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据 2抑
7. 如果方程 x2-4x+3 =0 的两个根分别是Rt吟ABC的两条边, 1. 141, 3抑1. 73, 5抑2. 45);
(2)求蚁ACD 的余弦值.
吟ABC 最小的角为蚁A,那么 tan A 的值为摇 1 23 或 4 摇 . 解:(1)如图,连接 AC.
分析:可以求得方程的两个根分别为 1 和 3,即Rt吟ABC 的 疫 AB=BC=15 千米,蚁B=90毅,
两条边长分别为 1 和 3. 当 1 和 3 分别为两直角边时,tan A 亦 蚁BAC=蚁ACB=45毅,AC=15 2千米.
1 又疫 蚁D=90毅,
的值为 3 ;当 1 和 3 分别为直角边和斜边时,tan A 的值 亦 AD = AC2-CD2 = (第 10 题图)
2
为 . (15 2 )
2-(3 2 ) 2 =12 3 (千米) .
4 亦 该岛的周长为 AB+BC+CD+AD = 15+15+3 2 +12 3 抑
三、解答题 30+3伊1. 414+12伊1. 73抑55(千米) .
8. 某市准备在相距 2 km 的 A,B 两工厂间修一条笔直的公路, 1
该岛的面积为 AB·BC+ 1 CD·AD = 1 伊15伊15+ 1 伊
但在 B 地北偏东60毅方向、A 地北偏西45毅方向的 C 处,有一 2 2 2 2
个半径为 0. 6 km 的住宅小区,如图 1-4-9. 问修筑公路时, 3 2 伊12 3抑112. 5+44. 0抑157(平方千米) .
这个小区是否有居民需要搬迁 (参考数据: 2 抑1. 41, (2)cos 蚁ACD=CD 3 2 1AC = = 5 .
3抑1郾 73) 15 2
解:过点 C 作 CD彝AB 于 D,
CD 11. (2013·山东泰安中考)如图 1-4-12,某海监船向正西方
则 有 AD = tan 45毅 = CD, BD = 向航行,在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45毅B1摇 0 CD 方向,海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45毅方
tan 30毅 = 3CD. 向,又航行了半小时到达 C 处,望见渔船 D 在南偏东 60毅
疫 BD + AD = AB = 2, 3 CD + 图 1-4-9 方向,若海监船的速度为 50 海里 /小时,则 A,B 之间的距即
CD=2. 离为摇 67.5海里摇 (取 3抑1.7,结果精确到 0.1 海里).
亦 CD= 2 = 3 -1抑1. 73-1 =0. 73>0. 6.
3 +1
亦 修筑公路不会穿越该住宅小区,故该小区没有居民需要 摇 摇
搬迁. 图 1-4-12 (第 11 题图)
分析:疫 蚁DBA=蚁DAB=45毅,亦 吟DAB 是等腰直角三角形.
、 如图,过点D 作DE彝AB 于点E,则DE=
1
2 AB.设 DE= x,则四 应用题
9. 某市为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警 AB= 2x. 在 Rt吟CDE 中,蚁DCE = 30毅,则 CE = 3DE =
队在一些主要路口设立了交通路况显示牌,如图 1-4-10. 3 x. 在 Rt吟BDE 中,蚁DBE = 45毅,则 DE = BE = x. 由题
已知立杆 AB 高度是 3 m,从侧面 D 点测得显示牌顶端 C
B 60毅 45毅, BC 意,得 CB= CE-BE = 3 x-x = 25,
25( 3 +1)
解得 x = 2 . 故点和底端 点的仰角分别是 和 求路况显示牌
的高度. AB=25( 3 +1)抑67. 5(海里) .
第一章摇 直角三角形的边角关系
5. 测量物体的高度
课 时 1 测量物体的高度(1)
D. 利用直角三角形的边角关系可计算物体的高度
揖建议用时:10 分钟铱 分析:测倾器可用来测量倾斜角,包括仰角和俯角,故 A
知识点髴 1. 某校在周一举行升国旗仪式,小明同学站在离旗 正确;显然 B 也正确;直尺只能测量物体长度,故 C 错;实
杆 20 m 处,如图 1-5. 1-1. 随着国歌响起,五星红旗冉冉升 际生活中常利用直角三角形的边角关系来计算物体高度,
起,当小明同学目视国旗的仰角为 37毅时(假设该同学的眼 故 D 正确.
睛距地面的高度为 1. 6 m),求此时国旗离地面的距离(精确 2. 如图 1-5. 1-3,风景区为
到 0. 1 m) . 了方便游人参观,计划从
解:由 已 知, 得 蚁ADE = 37毅, DE = 山峰 A 处架设一条缆车线
BC=20 m,CD=BE=1. 6 m, 路到另一山峰 C 处,若在
在 Rt吟ADE 中,AE =DE·tan 37毅抑 A 处测得 C 处的俯角为
20伊0. 753 6抑15. 1(m) . 30毅,两山峰的底部 BD 相
距 900 m,则缆车线路的
故 AB=15. 1+1. 6 =16. 7(m),
长为(摇 B摇 ) . 图 1-5. 1-3
即此时国旗离地面约 16. 7 m.
髵 A. 300 3m B. 600 3m知识点 2. 在数学活动课上,老师带 图 1-5. 1-1
领学生去测河宽,如图 1-5. 1-2,某学生在点 A 处观测到河 C. 900 3m D. 100 m
分析:过点 C 作 AB 的垂线段,构造直角三角形求解.故选 B.
对岸水边处有一点 C,并测得蚁CAD = 45毅,在距离 A 点 30 m
的 B 处测得蚁CBD=30毅,求河宽 CD( 二、填空题结果保留根号) .
3. 如图 1-5. 1-4,为测楼房 BC 的高,若在距楼房30 m的 A
处, 测 得 楼 顶 的 仰 角 为 琢, 则 楼 房 BC 的 高 度
为摇 30tan 琢m摇 .
图 1-5. 1-2
解:在 Rt吟ACD 中,
tan蚁CAD=CD, 图 1-5. 1-4AD 三、解答题
亦 CD=AD·tan蚁CAD=AD·tan 45毅 =AD. 4. 如图 1-5. 1-5,山脚下有一棵树 AB,小华从 B 沿山坡向上
Rt吟BCD ,tan蚁CBD=CD在 中 , 走 50 m 到达点 D,用高为 1. 5 m 的测倾器 CD 测得树顶的BD
仰角为 10毅,已知山坡的坡角为 15毅,求树 AB 的高.
亦 CD=BD·tan蚁CBD=BD·tan 30毅 = 3 BD. (结果精确到 0. 1 m. 参考数据:sin 10毅抑0. 17,cos 10毅抑3
0. 98,tan 10毅 抑0. 18, sin 15毅 抑0. 26, cos 15毅抑0. 97,
亦 AD= 33 BD. 又疫 BD-AD=AB=30, tan 15毅抑0. 27)
B1摇 1
解:延长 CD 交 PB 于点 F,则 DF彝PB. 所以 DF = BD·
亦 BD- 33 BD=30,亦 BD=15 3 +45. sin 15毅抑50伊0. 26 = 13. 0. 所以 CE = BF = BD·cos 15毅抑
50伊0. 97 = 48. 5. 所以 AE = CE· tan 10毅抑48. 5 伊 0. 18 =
亦 CD= 33 BD=15+15 3 , 8. 73. 所以 AB=AE+CD+DF=8. 73+1. 5+13. 0抑23. 2(m),即
树 AB 的高约为 23. 2 m.
即河宽为(15+15 3 )m.
揖建议用时:15 分钟铱
一、选择题
1. 下列叙述中不正确的是(摇 C摇 ) .
A. 测量俯角可以用测倾器
图 1-5. 1-5
B. 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成
C. 测量倾斜角可以用直尺
知识点髴测量底部可以到达的物体的高度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵测量底部不可以到达的物体的高度摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
九年级数学(下) /北师大版
课 时 2 测量物体的高度(2)
(精确到 0. 1 m, 3抑1. 73) .
揖建议用时:45 分钟铱 4. 如图 1-5. 2-4,在一个坡角为 15毅的斜坡上有一棵树,高为
AB.当太阳光与水平线成 50毅角时,测得该斜坡上的树影 BC
的长为 7 m,则树高为摇 6.2 m摇 . (精确到 0. 1 m.参考数据:
一、选择题 sin 15毅抑0. 258 8, cos 15毅抑0. 965 9, tan 50毅 抑 1. 191 8,
1. 小强和小明去测量一座古塔的高度,如图 1-5. 2-1,他们 sin 50毅抑0. 766 0)
在离古塔 60 m 的 A 处,用测角仪测得塔顶的仰角为 30毅,
已知测角仪高 AD=1. 5 m,则古塔 BE 的高为(摇 B摇 ) .
摇 摇 摇 摇
图 1-5. 2-4 (第 4 题图)
分析:如图,过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D,则
AD彝CD. 所以蚁BCD = 15毅,蚁ACD = 50毅. 在 Rt吟CDB 中,
CD=7·cos 15毅,BD=7·sin 15毅. 在Rt吟CDA中,AD=CD·
图 1-5. 2-1 tan 50毅 = 7· cos 15毅· tan 50毅. 所以 AB = AD -BD = 7·
A摇 . 摇(2摇0 摇3 -摇 1摇. 5摇)m摇 摇 摇 摇 B摇 . 摇(2摇0 摇3 +摇 1. 5)m cos 15毅· tan 50毅 - 7 · sin 15毅 = 7(cos 15毅·tan 50毅-
C. 31. 5 m D. 28. 5 m sin 15毅)抑6. 2(m),即树高约为 6. 2 m.
2. 一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高 三、解答题
度CD.已知他的眼睛与地面的距离为1.6 m,小迪在B 处测量 5. 建于明洪武七年(1374 年),高度 33 m 的光岳楼是目前我
时,测角器中的蚁AOP=60毅(量角器零度线 AC 和铅垂线 OP 国现存的最高大、最古老的楼阁之一,如图 1-5. 2-5(1) .
的夹角),如图1-5.2-2,然后他向小山走 50 m 到达点 F 喜爱数学实践活动的小伟,在 30 m 高的光岳楼顶 P 处,利
处(点 B,F,D在同一条直线上),这时测角器中的蚁EO忆P忆= 用自制测角仪测得正南方向一商店 A 点的俯角为 60毅,又
45毅,那么小山的高度 CD 约为(摇 C摇 ). (参考数据: 3 抑 测得其正前方的海源阁宾馆 B 点的俯角为 30毅,如图 1-
1郾 732, 2抑1.414) 5. 2-5(2) . 求商店与海源阁宾馆之间的距离(结果保留
根号) .
图 1-5. 2-5
图 1-5. 2-2 分析:求商店与海源阁宾馆之间的距离即求线段 AB 的长
度,分别在 Rt吟POB 和 Rt吟POA 中运用三角函数求得
B1摇 2 A. 123 m B. 121 m C. 70 m D. 68 m OB,OA 即可.
分析:设 CG= x m,由题中条件可知蚁CAG = 30毅,蚁CEG =
解:由题意,知蚁PAO=60毅,蚁B=30毅.
45毅,则在 Rt吟ACG 中,AC = 2x,AG = 3 x. 在 Rt吟CEG 中,
在 Rt吟POA 中, tan蚁PAO = PO, tan 60毅 = 30 ,OA = 30 =
EG=GC= x. 又 AG-EG = 50,即 3 x-x = 50,解得 x = 25 3 + OA OA 3
25. CD=CG+GD=25 3 +25+1. 6抑70(m) . 故选 C. 10 3 .
二、填空题 PO 30 摇 30摇
3. 九年级三班小亮同学学习了“测量物 在 Rt吟POB 中, tan B = OB, tan 30毅 = OB,OB = =3
体的高度冶一节课后,他为了测得风 3
筝的高度,如图 1-5. 2-3,进行了如 30 3 ,
下操作:
(1) A , 所以 AB=OB-OA=30 3 -10 3 =20 3 .在放风筝的点 处安置测倾器
测得风筝 C 的仰角蚁CBD=60毅; 即商店与海源阁宾馆之间的距离为 20 3 m.
(2)根据手中剩余线的长度算出风筝 6. 如图 1-5. 2-6,为了测量山的高度,勘测人员从 B 点出发,
图 1-5. 2-3
线 BC 的长度为 70 m; 沿坡角为 15毅的坡面以 5 km / h 的速度行到 D 点,用了
(3)量出测倾器的高度 AB=1. 5 m. 12 min,然后沿坡角为 20毅的坡面以 3 km / h 的速度到达山
根据测量数据,计算出风筝的高度 CE 约为摇 62.1摇 m 顶 A 用了 10 min,求山高 AC 及 A,B 两点间的水平距离
BC. (结果精确到 0郾 01 km)
第一章摇 直角三角形的边角关系
亦 AB=mtan 琢tan 茁+h.
tan 茁-tan 琢
摇 摇 摇 8. 如图 1-5. 2-8,某居民小区 A,B 两楼之间的距离 MN =
图 1-5. 2-6 (第 6 题图) 30 m,两楼的高度都是 20 m,A 楼在 B 楼正南方向,B 楼窗
分析:过点 D 作 DF彝AC,DE彝BC,垂足分别为 F,E. 利用 户朝南. B 楼内一楼住户窗户的底部离小区地面的距离
Rt吟BDE与 Rt吟ADF 求解. DN=2 m,窗户高 CD=1. 8 m. 当正午时刻太阳光线与地面
: BD=5伊12 =1(km), 成 30毅角时,A 楼的影子是否影响 B 楼一楼住户的釆光 解 依题意可知 60 若影响,挡住该住户窗户多高 若不影响,请说明理
AD=3伊10 =0. 5(km) . 由. (参考数据: 2抑1. 414, 3抑1. 732, 5抑2. 236)60
作 DE彝BC 于点 E,DF彝AC 于点 F,
则 DE=FC,DF=EC. 在 Rt吟BDE 中,
DE=BD·sin蚁DBE=1·sin 15毅抑0. 259(km),
BE=BD·cos蚁DBE=1·cos 15毅抑0. 966(km) . 摇
在 Rt吟ADF 中,
图 1-5. 2-8 (第 8 题图)
AF=AD· sin蚁ADF= 12 sin 20毅抑0. 171(km),
分析:通过计算 A 楼影子在 B 楼的长度来说明是否影响
釆光.
DF=AD·cos蚁ADF= 12 cos 20毅抑0. 470(km) . 解:如图,设 GE 为太阳光线,作 EF彝GM 于点 F.
亦 AC =AF+FC=AF+DE=0. 171+0. 259 =0. 43(km), 在 Rt吟GEF 中,蚁GEF=30毅,EF=MN=30 m,
BC =BE+EC=BE+DF=0. 966+0. 470抑1. 44(km) . 亦 GF=EF·tan 30毅=30伊 3 =10 3抑17.32(m).
答:山高 AC 约为 0. 43 km,A,B 两点之间的水平距离 BC 3
约为 1. 44 km. 亦 FM=EN=20-17. 32 =2. 68(m) .
点拨:此题说明了一种简单易行的测量山高的方法,有一 疫 DN=2 m,
定的实用性. 亦 EN-DN=0. 68(m) .
亦 影响釆光,挡住 B 楼一楼住户的窗户约 0. 68 m.
四、方案设计题 点拨:若 EN>DN,则影响采光.
7. 如图 1-5. 2-7,小山上有一棵小树,现有测倾器和皮尺、标
杆三种工具,请你设计一种方案,在山脚水平地面上测量 9. (2012·江苏泰州中考)如图 1-5. 2-9,一居民楼底部 B 与
出小树顶端 A 到水平地面的距离 AB.
山脚 P 位于同一水平线上,小李在 P 处测得居民楼顶 A
要求:(1)画出测量示意图;
(2) ( 的仰角为 60毅,然后他从 P 处沿坡角为 45毅的山坡向上走写出测量步骤 测量数据用字母表示);
(3)根据测量的数据计算 AB 的长. 到 C 处,这时,PC=30 m,点 C 与点 A 在同一水平线上,A,
B,P,C 在同一平面内.
(1)求居民楼 AB 的高度;
(2)求 C,A 之间的距离.
(精确到 0. 1 m,参考数据: 2 抑1. 41, 3 抑1. 73 , 6 抑
2. 45)
解: ( 1 ) 过 点 P 作
摇 摇 摇 PD彝AC 于点 D,由
图 1-5. 2-7 (第 7 题图)
题意, 得 AC 椅 BP,
解:(1)测量示意图如图. 亦 蚁DAP = 蚁BPA =
(2)测量步骤:第一步:在地面上选择点 C 安装测倾器,测
得此时树顶 A 的仰角蚁AHE=琢; 60毅, 同 理 B1摇 3
第二步:沿 CB 前进到 D,用皮尺量出 C,D 之间的距离 蚁DCP=45毅.
CD=m; 亦 PD = PC · 图 1-5. 2-9
第三步:在点 D 安装测倾器,测得此时树顶 A 的仰角 sin蚁DCP=30伊 2
蚁AFE=茁; 2
=
第四步:用皮尺测出测倾器的高 h. 15 2抑21. 2(m) .
(3)计算:设 AE= x, 亦 居民楼 AB 的高度约为 21. 2 m.
则 tan 琢= xHE,故 HE=
x
tan 琢. (2)同(1),得 CD = PC·cos蚁DCP = 30伊 2 = 15 2 ,AD =
疫 tan 茁= x
2
EF,亦 EF=
x
tan 茁. PD =15 2 =5 6 ,
疫 HE-FE=HF=CD=m, tan蚁PAD 3
亦 x - x =m, 亦 AC=CD+AD=15 2 +5 6抑33. 4(m),tan 琢 tan 茁 即 C,A 之间的距离约为 33. 4 m.
亦 x=m·tan 琢·tan 茁.
tan 茁-tan 琢
九年级数学(下) /北师大版
第二章摇 二次函数
1. 二次函数所描述的关系
达式变形为 y2 = -x-1,由此可知 x 的最高次数不是 2,且 y
揖建议用时:8 分钟铱 的次数不是 1,所以 A 项不是;把 B 项中的表达式变形为
髴 1. (摇 C摇 ) . y=2x-2,由此可知 x 的最高次数不为 2,所以 B 项不是;知识点 下列函数不属于二次函数的是
1 C 项中等式的右边是关于 x 的无理式,不是整式,所以 CA. y=(x-1)(x+2) B. y= (x+1) 22 项不是;把 D 项中的表达式变形为 y= -x
2 +2,符合二次函
数的定义,所以 D 项符合题意,故选 D.
C. y=ax2+2x-3 D. y=1- 3 x2 2 m2-m
分析:把每一个函数式整理为一般形式,A 中 y=(x-1)·(x+ 3. 若 y=(m +m)x 是二次函数,则 m 的值是(摇 B摇 ) .
1 1 A. 1 B. 2 C. -2 D. 1 和 22)= x2+x-2,是二次函数,正确;B 中 y = 2 ( x+1)
2 = 2 x
2 + {m2+m屹0,分析: 由 二 次 函 数 的 定 义 可 知 2 解 得m -m=2,
x+ 12 ,是二次函数,正确;C 中 y = ax
2 +2x-3,当 a = 0 时是一 {m屹0 且 m屹-1,
次函数,错误;D 中 y=1- 3 x2 = - 3 x2+1,是二次函数,正确. m=2
所以 m=2. 故选 B.
或 m= -1,
故选 C. 4. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品,该商店
知识点髴 2. 在二次函数 y = -x2 +1 中,二次项系数、一次项系 可以自行定价. 若每件商品的售价为 x 元,则可卖出(350-
数、常数项分别为摇 -1,0,1摇 . 10x)件商品,那么商品所赚钱数y 元与售价 x 元之间的函
分析:把二次函数整理成一般形式后,可判断各项的系数(包 数表达式为(摇 B摇 ) .
A. y= -10x2括各项前面的符号),对于缺项的,系数是 0. -560x+7 350摇 摇 B. y= -10x
2+560x-7 350
髵 3. 60 cm、 40 cm C. y= -10x
2+350x 摇 摇 D. y= -10x2+350x-7 350
知识点 在一幅长 宽 的矩形风景画的四周镶
, , 2-1-1. 分析:疫 每件的利润为( x-21) 元,亦 y = ( x-21) (350 -一条金色纸边 制成一幅矩形挂图 如图 如果要使整
10x)= -10x2+560x-7 350. 故选 B.
个挂图的面积是y cm2,设金色纸边的宽度为 x cm,那么 y 与
x (摇 A摇 ) . 点拨:商品所赚钱=每件的利润伊卖出件数,把相关数值代之间的函数表达式是
入即可求解.
二、填空题
5. 下列函数:淤y = -x2;于y = 2x;盂y = 22 +x2 -x3;榆m= 3- t-
t2 . 其中是二次函数的是摇 淤榆摇 (其中 x,t 为自变量) .
分析:淤y= -x2,二次项系数为-1,是二次函数;于y=2x,是
一次函数;盂y=22 +x2 -x3,自变量的最高次数为 3,不是二
次函数;榆m=3-t-t2,是二次函数. 故填淤榆.
6. 已知方程 ax2+bx+cy=0(a,b,c 为常数,a屹0),请你通过变
图 2-1-1 形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式,则函数表
a 2 b
A. y=(60+2x)(40+2x) 摇 摇 B. y=(60+x)(40+x) 达式为摇 y=- c x - c x摇 ,成立的条件是摇 c屹0摇 ,此时
C. y=(60+2x)(40+x) 摇 摇 D. y=(60+x)(40+2x) 该函数是摇 二次摇 函数.
分析:挂图的面积 y=长伊宽=(60+2x)(40+2x) . 故选 A. 点拨:函数通常情况下是用 x 表示 y;注意分母不为 0,二
次项的系数不为 0.
B1摇 4 揖建议用时:40 分钟铱 7. 进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续
进行两次降价. 若设平均每次降价的百分率是 x,降价后
摇 、摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 的价格为 y 元,原价为 a 元,则 y 与 x 之间的函数表达式一 选择题
1. 为摇 y=a(1-x)
2 摇 .
二次函数 y = 2x( x-3)的二次项系数与一次项系数的和
(摇 D摇 ) . 分析:原价为 a,第一次降价后的价格是 a·(1-x),第二为
A. 2 B. -1 C. -2 D. -4 次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,为
: y=2x(x-3)= 2x2-6x, a·(1-x)·(1-x)= a(1-x)
2 .
分析 因为 所以二次项系数与一次
2+(-6)= -4. 点拨:本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格基项系数的和为 故选 D.
: 础上进行的.点拨 首先把二次函数化为一般形式,再进一步求得二次
. 8. 观察图 2-1-2 的构成规律,根据此规律,第 8 个图形中有项系数与一次项系数的和
2. ,y x 摇 65摇 个圆.下列函数中 是 的二次函数的是(摇 D摇 ) .
A. x+y2+1 =0
B. y=(x+1)(x-1)-(x-1) 2
C. y=2+ 4+x2
D. x2+y-2 =0
分析:先将函数式进行变形,转化为用 x 的代数式表示 y 图 2-1-2
的形式,再根据二次函数的定义进行对比. 把 A 项中的表
知识点髴二次函数的定义摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵列二次函数的表达式摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
分析:设第 x 个图形中有 y 个圆,则有 y= x2+1,可以看出 y 解:疫 MN椅BC,亦 吟AMN易吟ABC,
是关于 x 的二次函数,因此,当 x=8 时,y= 82 +1 = 65,故答 S吟AMN MN 2
案为 65. 亦 S = (吟ABC BC ) .
三、解答题 又疫 BC=10,S吟ABC =25,
9. 用一根长 6 m 的铝合金材料,做一个可分成上、下两部分 1 2
的矩形窗框(如图 2-1-3,宽<高),设其面积为 y m2
亦 y= x (0
x m.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式,并指出自变 四、探究题
量 x 的取值范围; 13. 如图 2-1-5,正方形 ABCD 的边长为
(2)当宽为 1 m 时,求这个窗框的面积. 1,E,F 分别是边 BC 和 CD 上的动
分析: 由 于 矩 形 窗 框 的 宽 为 x m, 则 高 为 点(不与正方形的顶点重合),不管
1 (6-3x) m,根据矩形的面积公式可得 y 与 x E,F 怎样动,始终保持 AE彝EF. 设2 图 2-1-3 BE= x,DF= y,则 y 是 x 的函数,函数
之间的函数关系式,通过关系式可求得当 x = 表达式是(摇 C摇 ) .
1 时,y 的值. A. y= x+1 B. y= x-1 图 2-1-5
:(1)疫 x m,亦 1解 宽为 高为 2 (6-3x) m. C. y= x
2-x+1 D. y= x2-x-1
6 分析:因为蚁BAE 和蚁FEC 都 是蚁AEB 的 余 角,所 以亦 y= 12 (6-3x)·x,即 y= -
3 x22 +3x (0
2) . x,CF=1-y,则 1·(1-y)= (1-x)x,化简,得 y= x2 -x+1. 故
点拨:求两个变量之间的函数关系式时,应根据题意或几 选 C.
何图形寻求函数关系式,并求出自变量的取值范围. 点拨:根据条件得出相似三角形,用未知数表示出相关线
10. 已知函数 y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1. 段是解题的关键.
(1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; 14. 已知矩形的长大于宽的 2 倍,周长为 12,从它的一个顶点
(2)若这个函数是二次函数,求 m 的值. 作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条
解:(1)根据一次函数的定义,得 m2-m=0, 射线与矩形一边所成的角的正切值等于 1 . 设梯形的面
解得 m=0 或 m=1. 2
又疫 m-1屹0,即 m屹1, 积为 S,梯形中较短的底的长为 x,试写出梯形的面积S 与
亦 当 m=0 时,这个函数是一次函数. x 之间的函数表达式,并指出自变量 x 的取值范围.
(2)根据二次函数的定义,得 m2-m屹0. 解:因为矩形 ABCD 的长大于宽的 2 倍,周长为 12,所以
解得 m屹0 且 m屹1, AD>4,AB<2. 根据题意,可分为以下两种情况:
亦 当 m屹0 且 m屹1 时,这个函数是二次函数.
11. 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住,当每个房间的定
价为每天 200 元时,房间可以住满. 当每个房间每天的定
价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲. 设每个房间每
天的定价增加 x 元. (1)摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (2)
求:(1)房间每天的入住量 y(间)关于 x(元)的函数表 (第 14 题图)
达式; 第一种情况,如图(1),当 tan蚁BAE= 1 时,CE=x,设BE=m,
(2)该宾馆每天的房间收费 z(元)关于 x(元)的函数表 2
达式. 则 AB=DC=2m,AD=m+x. 因为 AB+AD = 6,所以 2m+m+
:(1) , y= - x +60. x= 6, m =
6-x
3 . S
1 B1摇 5
解 由题意 得 梯形AECD
= 2 ( AD + EC ) · DC =10
1 6-x 6+5x
(2) , z=(200+x) (- x +60 ) , 2 [(m+x)+x]·2m = m(m+2x) = 3 伊 3 = -
5 x2+
由题意 得 10 9
z= - x
2 8
即 10 +40x+12 000. 3
x+4(3
ABC,面积为 25, BC 边的边长为
10,蚁B 与蚁C 都为锐角,M 为 AB 中,AD椅BC,所以蚁DAE = 蚁AEB,所以 tan蚁AEB =
1
2 ,
边上的一动点 (M 与点 A,B 不重 CE= x,设 AB = CD = n,则 BE = 2n,AD = 2n+x. 因为 AB+
合),过点 M 作 MN椅BC 交 AC 于点 6-x
N,设 MN=x,S吟AMN = y,试求出 y 与 x 图 2-1-4 AD=6,所以 n+2n+x=6,n= 3 .
之间的函数表达式,并写出自变量 x 1 1
的取值范围. S梯形AECD = 2 (AD+EC)·DC = 2 [(2n+x) +x] n = (n+x)
分析:根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方冶求 y n=6+2x伊6-x= - 2 x2+ 2 x+4(0
判定.
九年级数学(下) /北师大版
2. 结识抛物线
时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,
揖建议用时:10 分钟铱 故 B,C 说法都不对. 只有 D 正确.
知识点髴 1. 观察函数 y = x2 的图象,则下列判断中正确的 2. 函数 y= x2 与 y= -x2 的图象(摇 A摇 ) .
是(摇 A摇 ) . A. 关于 x 轴对称
A. 若 a,b 两数互为相反数,则 x = a 与 x = b 对应的函数值 B. 关于 y 轴对称
相同 C. 关于直线 x=1 对称
B. 对于同一自变量 x,有两个函数值与它相对应 D. 关于直线 y=1 对称
C. 对任意一个实数 y,都有两个 x 值和它对应 分析:画出 y= x2 与 y = -x2 的图象如图
D. 对于任意实数 x,都有 y>0 所示,则由图可知 A 正确. (第 2 题图)
分析:画出草图分析,如图,因为抛物线关于 y 轴对称,所以 3. 如图 2-2-2,在 Rt吟ABC 中,蚁C=90毅,
若 a,b 互为相反数,则点(a,0),( b,0)到 y 轴距离相等,x = AC=4,BC=8,P 是 AB 上一个动点(不与 A 点重合),直线
a,x= b 对应的函数值相同;由前面学习的 PQ彝AC 于点 Q,设 AQ = x,则图中阴影部分的面积 y 与 x
函数的定义,对任意自变量 x,都有惟一的 之间的函数图象是(摇 A摇 ) .
一个函数值 y 与它对应,故 B 错;当 y = 0
时,仅有 x = 0 与它对应,同时当 y 是负数
时,不存在自变量 x 与它相对应,故 C 错; (第 1 题图)
当 x=0 时,y=0,故 D 错. 应选 A.
知识点髴 2. 若点 A (2,m) 在抛物线 y = x2 上,则 m 的值
为摇 4摇 ,点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是摇 (-2,4) 摇 .
分析:先根据点 A 在抛物线上,求得 m 的值,再根据平面直角 图 2-2-2
坐标系中任意一点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标是(-x,
y),即可求得点 A 关于 y 轴对称的点的坐标.
知识点髵 3. 观察二次函数 y = x2
的图象,如图 2-2-1,并填空:当
x < 0 时, 随 着 x 的 增 大,
分析:因为 PQ彝AC,蚁C =90毅,所以 PQ椅BC. 所以吟PAQ易
y 摇 减小摇 ;当 x>0 时,随着 x 的
PQ AQ PQ
增大,y 摇 增大摇 . 吟BAC,所以BC = AC,即 8 =
x
4 ,所以 PQ = 2x,所以 y =
知识点髵 4. 二次函数 y= -x2 的图 1 PQ·AQ= 1 ·x·2x= x2 . 又由题意,知 0
大而摇 减小摇 . 图 2-2-1 x臆4,所以图象为抛物线 y = x
2 在 0
分析:二次函数 y= -x2 的对称轴是 y , 选 A.轴 且开口方向向下,所
二、填空题
以在 y 轴的右侧,y 随 x 的增大而减小.
4. 函数 y=-x2 的图象是一条摇 抛物摇 线,开口向摇 下摇 ,对称
揖 :40 铱 轴是摇 y 轴摇 ,顶点是 摇 原点 摇 ,顶点是图象的最 摇 高 摇建议用时 分钟
点,表示函数在这点取得最摇 大摇 值,它与函数 y= x2 的图
象的开口方向摇 相反摇 ,对称轴摇 相同摇 ,顶点摇 相同摇 .
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 三、解答题
1. 对于函数 y= x2,下列结论中正确的是(摇 D摇 ) . 5. 已知抛物线 y= -x2 与直线 y = x+m 都经过点(2,n),试确
A. 当 x 取任何实数时,y 的值总是正的 定 m,n 的值.
B. 当 x 值增大时,y 的值也随着增大 分析:把(2,n)代入 y= -x2 中求出 n 的值,再代入 y = x+m
C. 当 x 值增大时,y 的值随着减小 中求出 m 的值.
D. 其图象关于 y 轴对称 解:把(2,n)代入 y= -x2 中,得 n= -22 = -4,
分析:因为 x=0 时,y= 0,故 A 错;二次函数 y = x2,当 x<0 把(2,-4)代入 y= x+m 中,有-4 =2+m,解得 m= -6.
知识点髴二次函数 y= x2 与 y= -x2 的图象的画法摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y= x2 和 y= -x2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
故 m,n 的值分别为-6,-4. C. y=9 D. y=36
6. 2已知函数 y=m-1xm +12 是二次函数.
分析:因为线段 AB彝y 轴,且 AB=6,所
以由抛物线的对称性可知,点 B 的横
(1)求 m 的值.
坐标为 3,当 x = 3 时,y = x2 = 32 = 9,所
(2)画出该函数的图象.
以直线 AB 的表达式为 y=9.
2 图 2-2-4m +1 =2, m= 依1,
解:(1) 10. 先阅读后解答:已知点 A( - 1,m),由二次函数的定义可知{m-1 解得{ 2
2 屹0, m屹1. B(-2,n)在二次函数 y = -x 的图象上,比较 m 和 n 的
亦 m= -1. 大小.
(2)当 m= -1 时,二次函数为 y= -x2,列表如下: 解:由于当 x<0 时,y = -x2 的函数值 y 随 x 的增大而增
x -2 -1 0 1 2 大,而-1>-2,故 m>n. 利用以上的解答信息解答下面的
y= -x2 -4 -1 0 -1 -4 问题:
画图如图所示. 已知点 A(a2+1,m)与点 B(-1,n)在二次函数 y= x2 的图
象上,试比较 m 和 n 的大小.
分析:根据阅读材料提供的信息,当抛物线 y = -x2 上的
两点的横坐标同号时,可以利用函数的性质比较纵坐标
的大小,由此我们得到问题的解答思路.
解:由于点 A(a2+1,m)在抛物线 y= x2 上,而 a2 +1>0,故
(第 6 题图) 点 C(-(a2+1),m)也在抛物线 y= x2 上,且与点 A 关于 y
7. 如图 2-2-3,一个抛物线型的拱桥,其形状可以用 y = -x2 轴对称. 而-(a2+1)臆-1(当 a =0 时,-(a2 +1)= -1),且当
来描述. x<0 时,y=x2 的函数值 y 随 x 的增大而减小,所以 m逸n.
(1)当水面到桥拱顶部的距离为 2 米时,水面的宽为多 11. 已知点 A(1,a)在抛物线 y= x2 上.
少米 (1)求 A 点的坐标.
(2)当水面宽为 4 米时,则水面到桥拱顶部的距离为多 (2)在 x 轴上是否存在点 P,使得吟OAP 是等腰三角形
少米
若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:本题主要是考查二次函数 y= -x2
解:(1)将点(1,a)代入 y= x2,得
图象的实际应用,将实际问题转化为数
a=1,即点 A 的坐标为(1,1) .
学问题,将求宽、距离的问题转化为点
(2) 如 图, 点 P 在 x 轴 上, 当
的坐标的问题是解题的关键.
OA=AP 时,点 P 坐标为(2,0);
解:(1)由题意,得 y= -2, -x2 = -2. 图 2-2-3即
当 OA = OP 时, 点 P 的 坐 标
解得 x= 依 2 . (第 11 题图)
为(- 2,0)或( 2 ,0);
亦 水面的宽度为 2 + | - 2 | = 2 2 (米)
当 OP=AP 时,点 P 的坐标为(1,0) .
(2)当水面宽为 4 米时,x=2 或 x= -2,此时 y= -x2 = -4.
亦 此时水面到桥拱顶部的距离为 4 米. 综上所 述, 存 在 这 样 的 点 P, 分 别 为 ( 2, 0 ), ( - 2 , B1摇 7
8. 已知二次函数 y= x2,在-2臆x臆3 这个取值范围内,求函数 0),( 2 ,0),(1,0) .
的最值.
解:由于-2臆x臆3 包含了 x = 0,所以函数 y = x2 的最小值
12. (2011·四川宜宾中考)如图 2-2-
为 0. 当 x= -2 时,y=4;当 x=3 时,y=9. 故当-2臆x臆3 时,
5,边长为 2 的正方形 ABCD 的中
函数 y= x2 的最大值为 9,最小值为 0.
心在直角坐标系的原点 O 处,
点拨:当-2臆x臆3 时,既包含了正数、零,又包含了负数,
y x AD椅x 轴,以 O 为顶点且过 A,D因此在这个范围内的函数值 随 的变化情况要分段研
. 两点的抛物线与以 O 为顶点且过究 本题也可结合函数 y= x2 的图象研究其最值.
B,C 两点的抛物线将正方形分割
图 2-2-5
成几部分,则图中阴影部分的面
四、探究题
积是摇 2摇 .
9. 如图 2-2-4,A,B 分别为 y = x2 上两点,且线段 AB彝y 轴,
分析:抛物线、正方形都是轴对称图形,则阴影部分的面
若AB=6,则直线 AB 的表达式为(摇 C摇 ) .
积即为正方形面积的一半.
A. y=3 B. y=6
九年级数学(下) /北师大版
3. 刹车距离与二次函数
A. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小
揖建议用时:10 分钟铱 B. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小
知识点髴 1. 对于 y = ax2 (a屹0) 的图象,下列叙述正确的 C. y 随 x 的增大而减小
是(摇 C摇 ). D. y 随 x 的增大而增大
A. a 的值越大,开口越大 分析:因为 a= 6>0,对称轴为 x = 0,所以当 x>0 时,y 随 x
B. a 的值越小,开口越小 的增大而增大;当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小. 故选 B.
C. a 的绝对值越小,开口越大 2. 抛物线 y=(x+1)(x-1)的顶点在(摇 D摇 ) .
D. a 的绝对值越小,开口越小 A. x 轴的正半轴上 B. x 轴的负半轴上
点拨:抛物线的开口大小由 | a |确定: | a |越大,抛物线的开口 C. y 轴的正半轴上 D. y 轴的负半轴上
越小; | a | 2越小,抛物线的开口越大. 分析:因为 y=(x+1)(x-1)= x -1,所以这个抛物线的顶
知识点髴 2. 将抛物线 y=2x2 向下平移 1 个单位,得到的抛物 点是(0,-1),顶点在 y 轴的负半轴上. 故选 D.
线的表达式是(摇 D摇 ) . 3. 在同一平面直角坐标系中,作出 y = x2,y = - 1 x2,y= 1 x2
A. y=2(x+1) 2 B. y=2(x-1) 2 2 3
C. y=2x2+1 D. y=2x2-1 的图象,它们的共同特点是(摇 D摇 ) .
: “ 冶 . A. 抛物线的开口方向向上点拨 直接运用平移规律 上加下减
1 B. 都是关于 x 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而增大知识点髴 3. 二次函数 y = - 24 x ,当 x1
1 分析:因为 y=ax
2 形式的二次函数对称轴都是 y 轴,且顶
分析:因为函数 y= - x24 的对称轴为 y 轴,开口向下,所以当 点都在原点,所以它们的共同特点是关于 y 轴对称的抛物
x1
3x2 的图象上,则(摇 C摇 ) .
A. y1
则当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,所以 y1>y2>y3 . 故选 C.
5. 已知 a屹0,b<0,一次函数是 y=ax+b, 二次函数是 y= ax2,
则下列选项中可能是它们的图象的是(摇 B摇 ) .
分析:抛物线 y = x2 +1 的图象开口向上,且顶点坐标为(0,
1) . 故选 C.
B1摇 8 知识点髵 5. 抛物线 y = - 3x2 + 5 的开口向 摇 下 摇 ,对称 分析:选项 A 中,抛物线开口向下,故 a<0,但一次函数 y=
轴是摇 y 轴摇 ,顶点坐标是 摇 (0,5) 摇 ,顶点是最摇 高摇 点, ax+b 的图象应该经过第二、三、四象限,故 A 错误;因为
所以函数有最摇 大摇 值,是摇 5摇 . b<0,一次函数图象应该与 y 轴交于负半轴,故 C,D 错误.
分析:二次函数的二次项系数 a<0,则抛物线开口向下;函数 二、填空题
有最大值,顶点是最高点. 6. 抛物线 y=4x
2-1 与 y 轴的交点坐标是 摇 (0,-1) 摇 ,与 x
知识点髵 6. 若抛物线 y = ax2 - 1 的图象经过点 (4, -5), 摇 (- 1 ,0 ) ( 1轴的交点坐标是 2 和 2 ,0 ) 摇 .
则a= 摇 - 14 摇 . 分析:当 x=0 时,y= -1,即与 y 轴的交点坐标是(0,-1);
分析:根据抛物线的图象经过点(4,-5), 1直接把点的坐标代 当 y = 0 时, x = 依 2 , 所 以 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是
入 y=ax2-1 中即可.
(- 12 ,0 ) 和 ( 12 ,0 ) .
揖建议用时:40 分钟铱 7. 抛物线 y=4x2-3 是将抛物线 y = 4x2 向摇 下摇 平移摇 3摇
个单位得到的.
摇一摇、选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 8. 当 m= 摇 -2摇 2时,抛物线 y = (m+1) xm +m +9 的开口向下,
1. 对于函数 y=6x2,下列说法正确的是(摇 B摇 ) . 对称轴是摇 y 轴摇 ,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而摇 增大摇 ;
知识点髴二次函数 y=ax2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y=ax2+c 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
在对称轴右侧,y 随 x 的增大而摇 减小摇 . 亦 抛物线开口向下,函数有最大值,其最大值是 0.
{m2+m=2, {m1 =1,m2 = -2,分析: 由 题 意, 得 解 得 所m+1<0, m<-1. 四、探究题
以 m= -2. 对称轴为 y 轴,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 13. 如图 2-3-2,已知抛物线 y= x2-1 与 x 轴交于 A,B 两点,
增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 与 y 轴交于点 C.
9. 汽车刹车距离 s(m)与速度 v(km / h)之间的函数表达式是 (1)求 A,B,C 三点的坐标;
s= 1 v2100 ,在一辆车速为 100 km / h 的汽车前方 110 m 处, (2)过点 A 作 AP椅CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP
发现停放一辆故障车,此时刹车摇 不会摇 有危险(填“会冶 的面积.
或“不会冶) .
1
分析: 把 v = 100 代入 s = 2100v ,得该汽车的刹车距离 s =
100<110,因此不会有危险.
10. 小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y = - 15 x
2 +
摇 摇 摇
3. 5 的一部分(如图 2-3-1) . 若命中篮圈中心,则他与篮
l 摇 4摇 m. 图 2-3-2 (第 13 题图)底的距离 是
解:(1)令 y=0 ,得 x2-1 =0, 解得 x= 依1.
令 x=0 ,得 y= -1.
亦 A(-1,0),B(1,0),C(0,-1) .
(2) 疫 OA = OB = OC = 1, 亦 蚁ABC = 蚁ACO = 蚁BCO
=45毅.
疫 AP椅CB, 亦 蚁PAB=45毅.
如图,过点 P 作 PE 彝x 轴于 E,则 吟APE 为等腰直角三
角形,令 OE=a,则 PE=a+1,亦 P(a,a+1) .
疫 点 P 在抛物线 y= x2-1 上,亦 a+1 = a2 -1,解得 a1 = 2,
图 2-3-1 a2 = -1(不合题意,舍去) .
1 1
分析:把 y = 3. 05 代入 y = - x2 +3. 5 中,得 x = 1. 5, 亦 PE = 3,亦 四边形 ACBP 的面积 S = 2 AB·OC +5 1
x2 = -1. 5(舍去),所以 l=2. 5+1. 5 =4(m) .
1
2 AB·PE=
1
2 伊2伊1+
1
2 伊2伊3 =4.
三、解答题
11. 求符合下列条件的抛物线 y=ax2-1 的函数关系式:
(1)通过点(-3,2); 14. (2012·广东广州中考)将二次函数 y = x2 的图象向下平移
(2) y= 1 x2 , ; 一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(摇 A摇 ).与 2 的开口大小相同 方向相反 A. y= x2-1 B. y= x2+1
(3)当 x 的值由 0 增加到 2 时,函数值减少 4. C. y=(x-1) 2 D. y=(x+1) 2
解:(1)疫 点(-3,2)在抛物线 y=ax2-1 上, 15. (2013·浙江丽水中考)若二次函数 y = ax2 的图象过点
亦 2 =a伊(-3) 2-1,9a=3,亦 a= 1 . P(-2,4),则该图象必经过点(摇 A摇 ) .3 A. (2,4) B. (-2,-4)
1
故 y= 23 x -1. C. (-4,2) D. (4,-2) B1摇 9
1 分析:疫 二次函数 y = ax
2 的图象过点 P( -2,4),亦 4 =
(2)疫 抛物线 y= ax2 -1 与 y = x22 的开口大小相同,方向 (-2)
2a,亦 a=1. 亦 y = x2 . 亦 该图象必经过点(2,4) . 故
相反, 选 A.
1 1 16. (2013·湖南张家界中考)若正比例函数y=mx(m屹0),y亦 a= - 2 ,故 y= - 2 x
2-1.
随 x 的增大而减小,则它和二次函数 y=mx2+m 的图象大
(3)当 x=0 时,y= -1;当 x=2 时,y=a伊22-1 =4a-1. 致是(摇 A摇 ) .
亦 4a-1 = -1-4 = -5. 亦 a= -1,
故 y= -x2-1.
12. 当 m 为何值时,y=mxm2-2m-1是二次函数,且当x>0时,y 随
x 的增大而减小 写出函数的表达式,并回答函数有最
大值还是最小值 是多少 分析:疫 正比例函数 y=mx(m屹0),y 随 x 的增大而减小,
解:疫 y=mxm2-2m-1 是二次函数,且当 x>0 时,y 随 x 的增 亦 该正比例函数图象经过第一、三象限,且 m<0. 亦 二次
大而减小, 函数 y=mx2 +m 的图象开口向下,且与 y 轴交于负半轴.
亦 m2-2m-1 =2,且 m<0,解得 m= -1,m=3(舍去), 综上所述,符合题意的只有 A 选项.
则函数的表达式为 y= -x2 .
九年级数学(下) /北师大版
4. 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象
课 时 1 二次函数 y= a（x-h）2 +k 的图象与性质
C. 先向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位
揖建议用时:10 分钟铱 D. 先向右平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位
知识点髴 1. 下列对于抛物线 y = - 12 (x-1)
2 点拨:牢记平移规律“左加右减,上加下减冶 .的说法中,错误
知识点髵 5. 已知抛物线 y = -2( x+1) 2 -3,如果 y 随 x 的增大
的是(摇 D摇 ) . 而减小,那么 x 的取值范围是摇 x>-1摇 .
A. 抛物线的开口向下 分析:抛物线 y = -2( x+1) 2 -3 的开口向下,对称轴是直线
B. 抛物线的顶点坐标是(1,0) x= -1,在对称轴的右边,即当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而
C. 抛物线的对称轴是直线 x=1 减小.
D. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大
分析: y= - 1抛物线 (x-1) 2 中,a = - 1 <0,开口向下,顶点 揖建议用时:40 分钟铱2 2
坐标是(1,0),对称轴是直线 x = 1,在对称轴的左边,即 x<1
时,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右边,即 x>1 时,y 随 x 摇一、摇 选摇 择摇 题摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
1. 二次函数 y=3(x-2) 2的增大而减小,故选 D. +2 图象的对称轴是(摇 A摇 ) .
知识点髴 2. 在同一平面直角坐标系内,图象不可能由函数 y=2x2 A. 直线 x=2 B. 直线 x= -2
的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是(摇 C摇 ). C. y 轴 D. x 轴
2
A. y=2(x+1) 2 B. y=2x2+3 点拨:抛物线 y=a(x-h) 的对称轴是直线 x=h.
1 2. 将抛物线 y= x
2+1 向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单
C. y= x2-1 D. y= -2x22 -1 位,所得的抛物线是(摇 B摇 ) .
2 2
知识点髴 3. 在同一直角坐标系内,描点画出二次函数 y = A. y=(x+2) -3 B. y=(x+2) -2
C. y=(x-2) 21 1 -3 D. y=(x-2)
2-2
2 2
4 (x+2) 与 y= 4 (x-1) 的图象,并分别写出其对称轴及 分析:抛物线 y = x2 +1 的顶点坐标是(0,1),向左平移
顶点坐标. 2 个单位,再向下平移 3 个单位,所得抛物线的顶点坐标
解:列表: 是(-2,-2),亦 所得抛物线的表达式为 y = ( x+2) 2 -2. 故
选 B.
x … -4 -3 -2 -1 0 …
1 1 1 3. 顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线 y=
1 x22 相同的抛y= 24 (x+2) … 1 4 0 4 1 … 物线是(摇 B摇 ) .
x … -1 0 1 2 3 … A. y= 12 (x-2)
2 B. y= 12 (x+2)
2
y= 14 (x-1)
2 … 1 1 0 14 4 1 … C. y= - 1 (x-2) 2 D. y= - 1 (x+2) 22 2
描点、连线,如图.
分析:顶点是( -2,0),所以可得抛物线的表达式是 y =
a(x+2) 2, 1 1形状与 y = 22 x 相同,所以 a = 2 ,故所求抛物
B2摇 0 线的表达式为 y=
1
2 (x+2)
2 . 故选 B.
4. 已知二次函数 y=3(x-1)2+k 的图象上有三个点,A( 2,y1),
B(2, y2),C(- 5,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系为(摇 D摇 ).
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
(第 3 题图) 分析:二次函数 y=3(x-1) 2+k 的对称轴是直线 x=1,根据
1 抛物线的对称性,C 点的对称点 C忆的坐标为( 5 +2,y ),
抛物线 y= 4 ( x+2)
2 的对称轴是直线 x = -2,顶点坐标为 3
抛物线的开口向上,在对称轴的右边,抛物线自左向右上
(-2,0) . 升,y 随 x 的增大而增大. 因为 5 +2>2> 2 >1,所以 y3 >
1
抛物线 y= 4 ( x-1)
2 的对称轴是直线 x = 1,顶点坐标为 y2>y1,故正确结论为 D.
二、填空题
(1,0) . 1 2
知识点髵 4. 将抛物线 y=2x2 平移可得到抛物线 y= 2(x-4) 2 - 5. 已知抛物线 y = - 5 ( x - 2) 的图象上有两点 ( x1, y1 )
1,关于这个平移过程下面的叙述正确的是(摇 D摇 ) . 和(x2,y2),且 x1>x2>2,则 y1 与 y2 的大小关系为 y1 摇 <摇
A. 先向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位 y2 .
B. 先向左平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位 分析:抛物线的开口向下,在对称轴的右边,y 随着 x 的增
知识点髴二次函数 y=a(x-h) 2 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
知识点髵二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象与性质摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第二章摇 二次函数
大而减小. 的表达式为 y=a(x-6) 2+5.
6. 抛物线 y = - 12 ( x + 3)
2 - 1 有最 摇 高 摇 点,其坐标 疫 点(0,2)在抛物线上,
2 1
是摇 (-3,-1)摇 .当 x= 摇 -3摇 ,y 亦 a(0-6) +5 =2,a= - .时 的最摇 大摇 值是摇 -1摇 ; 12
当 x 摇 <-3摇 时,y 随 x 的增大而增大. 亦 y= - 112 (x-6)
2+5,即 y= - 1 2
1 12
x +x+2.
分析:抛物线 y= - 22 (x+3) -1的对称轴是直线 x = -3,开口 (2)当 y=0 1时,- (x-6) 2+5 =0,解这个方程,得
向下,抛物线有最高点,最高点就是顶点,此时函数有最大 12
值,在对称轴的左边,y 随 x 的增大而增大,即 x<-3 时,y 随 x x1 =6+2 15 ,x2 =6-2 15 <0(舍去),
的增大而增大. 亦 x=6+2 15抑13. 746抑13. 75(m) .
7. 二次函数 y= -m(x-m+1) 2+2 的对称轴是 y 轴,则 m 的值 亦 该同学把铅球推出约 13. 75 m 远.
是摇 1摇 ,抛物线的顶点坐标是摇 (0,2) 摇 .
分析:由题意知,抛物线的对称轴为直线 x = m - 1 = 0, 2
即 m=1, (0,2) . 12. (2012·黑龙江哈尔滨中考)将抛物线 y=3x 向左平移 2所以顶点坐标为
、 个单位,再向下平移 1 个单位,所得抛物线为(摇 A摇 ) .三 解答题 2 2
8. 抛物线 y=a(x-2) 2 经过点(1,-1) . A. y=3(x+2) -1 B. y=3(x-2) +1
(1) a ; C. y=3(x-2)
2-1 D. y=3(x+2) 2+1
确定 的值
(2)求出抛物线与坐标轴的交点坐标. 13. (2013· 1山东泰安中考)对于抛物线 y= - (x+1) 22 +3,下
解:(1)把点(1,-1)代入 y=a(x-2) 2,得 a= -1.
列结论:淤抛物线的开口向下;于对称轴为直线 x = 1;
(2)当 x=0 时,y = -(x-2) 2 = -4. 当 y = 0 时,x = 2. 则抛物 盂顶点坐标为(-1,3);榆x>1 时,y 随 x 的增大而减小,
线与 y 轴的交点为(0,-4),与 x 轴的交点为(2,0) .
其中正确结论的个数为(摇 C摇 ) .
9. 把二次函数 y = a(x-h) 2 +k 的图象先向左平移 2 个单位, A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
再向上平移 4 个单位,得到二次函数 y = 12 (x+1)
2 -1 的
分析:淤疫 a= - 12 <0,亦 抛物线的开口向下,正确;于对
图象.
称轴为直线 x= -1,错误;盂顶点坐标为( -1,3),正确;
(1)试确定 a,h,k 的值; 榆疫 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小,
(2)指出二次函数 y=a(x-h) 2+k 的开口方向,对称轴和顶 亦 x>1 时,y 随 x 的增大而减小一定正确. 综上所述,结论
点坐标.
正确的个数是淤盂榆,共 3 个. 故选 C.
解:(1) 1原二次函数表达式为 y= 2 (x+1-2)
2-1-4 ,即y= 14. (2013·广东深圳中考)已知二次函数 y =
a(x-1)21 -c 的图象如图 2-4. 1-2,则一次函
2 (x-1)
2-5 ,亦 a= 12 ,h=1,k= -5. 数 y=ax+c 的大致图象可能是(摇 A摇 ).
(2)它的开口向上,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1,
-5) .
10. 若抛物线 y=(x-a) 2+k 与直线 y= 2 有两个交点,求 a 和 图 2-4. 1-2
k 的取值范围.
解:由抛物线 y = (x-a) 2 +k 与直线 y = 2 有两个交点,知
抛物线开口向上,又抛物线的顶点坐标为(a,k),由图象
分析可知 a 可取任意实数,当 k>2 时,抛物线与 y = 2 没
有交点;当 k=2 时,抛物线与 y = 2 有一个交点;当 k<2
时,抛物线与 y=2 有两个交点. B2摇 1
综上所述, a 的取值范围为全体实数, k 的取值范围
为 k<2. 分析:根据二次函数开口向上,则 a>0,根据-c 是二次函
数顶点坐标的纵坐标,得 c>0,故一次函数 y = ax+c 的大
致图象经过一、二、三象限,故选 A.
四、应用题 15. (2012·山东泰安中考)设 A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)
11. 在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知 是抛物线 y= -(x+1) 2+a 上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关
铅球所经过的路线是某个二次函数的一部分,如图 2- 系为(摇 A摇 ) .
4. 1-1,如果这名男同学出手处 A 点的坐标为(0,2),铅 A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2
球路线的最高处 D 点的坐标是(6,5) . C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2
(1 ) 求 这 个 二 次 函 数 的 表 分析:因为函数的表达式是 y= -(x+1) 2 +
达式. a,如图,所以对称轴是直线 x = -1. 所以
(2 ) 该 同 学 把 铅 球 推 出 多 点 A 关于对称轴对称的点为 A忆. 则点 A忆,
远 (精确到 0. 01 m,参考数 B,C 都在对称轴的右侧. 而对称轴右侧 y
据: 15抑3. 873) 随 x 的增大而减小,于是 y > y > y . 故
:(1) 图 2-4. 1-1
1 2 3
解 由题意可设二次函数 选 A. (第 15 题图)
九年级数学(下) /北师大版
课 时 2 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象与性质
A. 0,5 B. 0,1
揖建议用时:10 分钟铱 C. -4,5 D. -4,1
2 2 2
知识点髴 1. 抛物线 y= x2+bx+c 向右平移 2 个单位,再向下平 分析:因为 y=(x-2) +k = x -4x+4+k = x -4x+(4+k),而2 2 2
移 3 个单位,所得图象的表达式为 y = x2 -2x-3,则 b,c 的值 y= x +bx+5,所以 x -4x+(4+k)= x +bx+5,所以 b= -4,k=
为(摇 B摇 ) . 1. 故选 D. 2
A. b=2,c=2 B. b=2,c=0 4. 二次函数 y=4x -mx+5,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小;
C. b= -2,c= -1 D. b= -3
同课章节目录
- 第一章 三角形的证明
- 1 等腰三角形
- 2 直角三角形
- 3 线段的垂直平分线
- 4 角平分线
- 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
- 1 不等关系
- 2 不等式的基本性质
- 3 不等式的解集
- 4 一元一次不等式
- 5 一元一次不等式与一次函数
- 6 一元一次不等式组
- 第三章 图形的平移与旋转
- 1 图形的平移
- 2 图形的旋转
- 3 中心对称
- 4 简单的图案设计
- 第四章 因式分解
- 1 因式分解
- 2 提公因式法
- 3 公式法
- 第五章 分式与分式方程
- 1 认识分式
- 2 分式的乘除法
- 3 分式的加减法
- 4 分式方程
- 第六章 平行四边形
- 1 平行四边形的性质
- 2 平行四边形的判定
- 3 三角形的中位线
- 4 多边形的内角与外角和