13.1（2）轴对称
情景引入
思考：如图所示，快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等
新知探究
思考：如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
猜想：_______________________________________
思考：如何证明猜想？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
线段垂直平分线的性质：__________________________________
三、典例精析
例1：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系
．
例2.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长．
.
思考：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C.
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
例3.如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系．
思考：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA = PB．
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
．
四、归纳总结13.1（2）轴对称
【教学目标】
（1）掌握线段垂直平分线的性质和判定。
（2）能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题。
（3）探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力。
（4）在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力。
【重点】线段垂直平分线的性质
【难点】线段垂直平分的性质的运用
【教学过程】
情景引入
思考：如图所示，快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等
新知探究
思考：如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
猜想：PA=PB
思考：如何证明猜想？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
三、典例精析
例1：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE．∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
例2.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长．
解：∵ DM为线段AB的垂直平分线，
∴DA =DB．
同理可得EA=EC
∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC=8.
思考：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C.
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
作法：(1) 任意取一点 K，使点 K和点 C 在 AB 的两旁；
(2) 以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E；
(3) 分别以点 D，E 为圆心，大于 DE
的长为半径画弧，两弧相交于点 F (不同于点 C )；
(4) 作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
例3.如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系．
解： ∵ AB、CD 互相垂直平分，
∴ OC＝OD，OA＝OB，且 AB⊥CD，
∴ABCD为菱形，∴ AC＝AD，
在△AOC 和△AOD 中，
∵ AC＝AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD (SSS).
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵ OE⊥AC，OF⊥AD，∴ OE＝OF.
思考：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA = PB．
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
则∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
例4.△ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC,
求证：DB =DC．
解：∵ AB = AC，MB = MC，
∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线，
∵D在直线AM 上，∴ DB=DC.
例5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上；
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD＝AD，
CD＝ ED，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，
∴点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
四、归纳总结
板书设计
13.1（2）轴对称
垂直平分线的性质 垂直平分线的判定
尺规作图 典例精析
作业设计
见精品作业单课前诊测
什么是轴对称图形？
看下面两幅图是否是轴对称图形，你能否画出它们的对称轴？
精准作业
必做题
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______．
3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 ( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )
A.AE=BE B.AC=BE
C.CE=DE D.∠CAE=∠B
如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD.
选做题
6.已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
参考答案
课前诊测
1.沿某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合的平面图形
2.
精准作业
B
10°
A
B
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD.
(2) ∵△ADE≌△FCE，
∴ AE＝FE.
又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线.
∴ AB＝BF＝BC＋CF.
∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD.
证明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE.
又 ∵ OE = OE，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC.
∴ DO = CO.
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.(共15张PPT)
13.1 轴对称（2）
情境引入
如图所示，快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等
居民区A
·
居民区B
·
幸福大道
思考：
新知探究
思考：
如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
APi的长 BPi的长
P1
P2
P3
...
猜想：AP=BP
新知探究
思考：
你能证明以上猜想吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
典例精析
例1
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE．
如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
典例精析
例2
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长．
A
B
C
D
E
解：∵ DM为线段AB的垂直平分线，
∴DA =DB．
同理可得EA=EC
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=BD+DE+EC
=BC
=8.
M
新知探究
思考：
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C.
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
作法：(1) 任意取一点 K，使点 K和点 C 在 AB 的两旁；
(2) 以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E；
(4) 作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
(3) 分别以点 D，E 为圆心，大于 DE
的长为半径画弧，两弧相交于点 F (不同于点 C )；
K
A
B
C
D
E
F
新知探究
思考：
为什么直线CF即为所求？
∵从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F都在DE的垂直平分线上．
∴CF就是线段DE的垂直平分线．
∵点D，E在直线AB上，
∴CF就是所求直线AB的垂线．
A
B
C
D
E
F
典例精析
例3
如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系．
A
B
C
D
E
F
O
解： ∵ AB、CD 互相垂直平分，
∴ OC＝OD，OA＝OB，且 AB⊥CD，
∴ABCD为菱形，∴ AC＝AD，
在△AOC 和△AOD 中，
∵ AC＝AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD (SSS).
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵ OE⊥AC，OF⊥AD，∴ OE＝OF.
典例精析
思考：
如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
P
A
B
已知：如图，PA = PB．
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
则∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
C
新知探究
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
作用：
判定定理：
新知探究
书写格式要求
例4
△ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC,
求证：DB =DC．
A
B
C
D
M
解：∵ AB = AC，MB = MC，
∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线，
∵D在直线AM 上，
∴ DB=DC.
这是判断一条直线是线段的
垂直平分线的方法
新知探究
例4
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上；
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD＝AD，
CD＝ ED，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，
∴点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
归纳总结
判定
线段的垂直
平分线的性质
和判定
内容
作用
内容
作用
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
