13.3.3 等腰三角形（2）
导学案
学习过程：
复习回顾
性质1:
性质2:
情境引入
如图,位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警,当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
你能把本题改编成一道证明题吗？
等腰三角形判定定理：
辩一辩 下列说法是否正确？
典例解析
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：
求证：
分析：
证明：∵ AD∥AC
∴ ∠1=∠B (_______________________)
∠2=∠C (_______________________)
又∵ ∠1=∠2
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC (____________)
【针对练习】求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
思考1：如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
例2. 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：
【针对练习】如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？13.3.3 等腰三角形（2）
教学设计
一、教学目标：
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
二、教学重、难点：
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
三、教学过程：
复习回顾
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
情境引入
如图,位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警,当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
你能把本题改编成一道证明题吗？
知识精讲
思考：已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△BAD与△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD (AAS)
∴ AB=AC
等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”).
定理应用格式：
∵ ∠B=∠C
∴ AB=AC
辩一辩 下列说法是否正确？
典例解析
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明：∵ AD∥AC
∴ ∠1=∠B (_______________________)
∠2=∠C (_______________________)
又∵ ∠1=∠2
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC (____________)
【针对练习】求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵ CD是AB边上的中线，且CD=AB
∴ AD=CD=BD
∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD
∵ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°
∴ ∠ACD+∠BCD=90° 即∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形.
思考1：如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
例2. 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：
1.作线段AB=a；
2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
3.在MN上取一点C，使DC=h；
4.连接AC，BC.
【针对练习】如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：△BED是等腰三角形. 理由如下：
∵ △BC′D与△BCD关于直线BD对称
∴ △BC′D≌△BCD
∴ ∠C′BD=∠CBD
又∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠CBD
∴ ∠ADB=∠C′BD
∴ EB=ED
即△BED是等腰三角形.
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书(共15张PPT)
人教版七年级下册
13.3.1 等腰三角形的判定
1.掌握等腰三角形的判定方法.（重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.（难点）
A
B
C
如图,位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警,当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
知识点一
本题的本质是证明____＝____.
AB
AC
你能把本题改编成一道证明题吗？
C
A
D
1
2
B
如图，在△ABC中， ∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：如图，作△ABC的角平分线AD交BC于点D，
在△ABD和△ACD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴ AB=AC.
你能得到什么结论呢？
互动新授
等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”).
这又是一个判定两条线段相等的根据之一
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2, ∴ BD=DC
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
基础训练
知识点一
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
分析：命题的证明首先需要将命题转化为已知、求证的格式，再要根据题意画出图形，最后证明结论的成立.
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.求证：AB=AC.
A
B
C
D
E
1
2
典例精析
例1
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明：∵AD∥AC
∴∠1=∠B (_______________________)
∠2=∠C (_______________________)
又∵∠1=∠2
∴∠B=∠C
∴AB=AC (____________)
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等角对等边
练一练1。求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵ CD是AB边上的中线，且CD=AB
∴ AD=CD=BD
∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD
∵ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°
∴ ∠ACD+∠BCD=90° 即∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形.
如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
例2.已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：
1.作线段AB=a；
2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
3.在MN上取一点C，使DC=h；
4.连接AC，BC.
练一练2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：△BED是等腰三角形. 理由如下：
∵ △BC′D与△BCD关于直线BD对称
∴ △BC′D≌△BCD
∴ ∠C′BD=∠CBD
又∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠CBD
∴ ∠ADB=∠C′BD
∴ EB=ED
即△BED是等腰三角形.
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
课堂练习：课本79页练习1、4.
作业布置
见精准作业单
谢谢观看13.3.1等腰三角形（2）精准作业
导学案
课前诊断
1.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
必做题
1. 如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB. 求证：OC=OD.
2. 如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证:AD=CD.
思考题
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
参考答案
课前诊断
1. 解：∵AB=AD=DC
∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC
又∵∠BAD=26°
∴∠B=∠ADB=(180°-26°)÷2=77°
∴∠C=∠DAC=∠ADB÷2=77°÷2=38.5°
必做题
1. 证明：∵AB∥DC
∴∠A=∠C，∠B=∠D
又∵OA=OB
∴∠A=∠B
∴∠C=∠D
∴OC=OD
2. 证明:连接AC.
∵AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
又∵∠BAD=∠BCD
∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠BCD=∠BCA+∠ACD
∴∠CAD=∠ACD
∴AD=CD
思考题
证明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C
∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形.
