13.3.2 等边三角形（2）
探究活动：将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
猜想：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC=
方法一：
方法二：
含30°角的直角三角形的性质定理：
例1：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
练习：
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12 cm，则AB=
2.如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，则BD= ，BE= ．
如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，求BC长。
【拓展】如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为14cm，求这个等腰三角形的面积.
本节课我的收获是：
本节课我还有的疑问是：
B
D
A
E
C
A
E
B
C
D
B
C
A
A
B
C
D13.3.2 等边三角形（2）
教学目标：
1.理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质，能够解决有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用。
2.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
3.通过运用性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
教学重难点：
重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用。
难点：含30°角的直角三角形的性质的探究与证明。
教学过程：
课前准备：两个全等的含30°角的三角尺.
复习旧知
回顾： 等边三角形的性质和判定.
探究新知
探究活动：如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
结论：BC=
理由：①△ABD为等边三角形
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC=
方法一（构造线段BC的两倍）
方法二（构造线段AB的一半）
总结归纳：含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
符号语言：
若 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
则 BC=AB （或AB=2BC)
综合应用
例1：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
练习：
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12 cm，则AB= 8cm
2.如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，则BD= 4cm ，BE= 3cm ．
例2。1.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，求BC长。
解：在Rt△ABD中
∵∠C=30°
∴BD=2AD=8
∵∠BAD=90°
则∠DAC=∠C=30°，AD=CD=4
∴BC=8+4=12
拓展提高
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为14cm，求这个等腰三角形的面积.
解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠DAC=30°.
∵AB=AC=14cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，
∴CD=1/2AC=7cm.
∴S△ABC=1/2AB×CD=49cm
课堂小结
1.通过自己的探索发现了含30°角的直角三角形有什么特殊的性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.它解决了什么问题？
直角三角形中的有关线段长度的计算问题.
板书设计
七、作业布置
见精准做作业大单。13.3.2等边三角形（2）
课前诊测
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
精品作业
必做题
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
3.如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A= 30°，AB+BC=12 cm，则AB=________.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
选做题
5..如图，某货轮于上午8时20分从A处出发，此时观测到 海岛B的方位为北偏东60°，该货轮以每小时30海里的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北偏东30°，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位为北偏西30°.当货轮到达C处时恰好与海岛B相距60海里，求该货轮到达C，D处的时间．
参考作业
课前诊测
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
精品作业
B
B
8cm
解 连接AE，
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ BE=AE，
∴ ∠EAB=∠B=15°，
∴ ∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵ ∠C=90°，
∴ AC= AE= BE=2.5．
5.解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，
∠ACB＝90°＋30°＝120°， ∠BCD＝∠BDC＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴AC＝BC＝60 海里，
∴货轮从A处到C处所需时间为60÷30＝2(小时)．
∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC ＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝60海里，
∴货轮从C处到D处所需时间为60÷30＝2(小时)，
∴货轮 从A处到D处所需时间为2＋2＝4(小时)．
答：该货轮到达C处的时间是上午10时20分，到达D处的时间是中午12时20分．(共19张PPT)
八年级上册
13.3.2 等边三角形（2）
复习旧知
元素 等边三角形的性质 等边三角形判定
边
角
三线
对称轴
三线合一
三个角都相等，且都是60
对称轴（3条）
三条边都相等
三条边相等
三个角相等
有一个角是60°的等腰三角形
探究活动
探究活动：如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
结论：
理由：
①△ABD为等边三角形
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称
BD=AB
斜边
30°所对
的直角边
结论证明
从探究活动可得到结论：
在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
下面我们将证明这个结论的正确性。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
求证： .
★转化思想
已知：如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
（方法一：构造线段BC的两倍）
辅助线作法：延长BC到点D，使得CD=BC，连结AD
求证： .
转化
分析：
★只需要证明BD=AB即可
证明过程
证明：如图，延长BC到点D，使得CD=BC，连结AD，
（方法二：构造线段AB的一半）
D
辅助法的作法：作AB的中点D，连结CD，
★只需要证明BC=BD即可
已知：如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证： .
分析：
转化
暂时不能证明
（换一种思路：在线段AB上截取BD=BC，连结CD）
分析：
已知：如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证： .
转化
★只需要证明点D为AB的中点即可
证明过程
证明：如图，在线段AB上截取BD=BC，连结CD，
含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
符号语言：
若 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
得出定理
综合应用
例题：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC，DE要多长？
分析：要求BC，DE的长度必须要找准这两条线段落在那两个直角三角形中，
求BC
Rt△ABC
求DE
Rt△ADE
解题过程
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = AB，DE = AD．
又 AD = AB，
∴ DE = AD =1.85（m） ．
∴ BC =3.7（m）．
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
C
B
A
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12 cm，则AB= ．
8cm
2．如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，则BD= ，BE= ．
2cm
4cm
A
C
E
B
D
第1题 第2题
小试牛刀
课堂小结
1.通过自己的探索发现了含30°角的直角三角形有什么特殊的性质？
2.它解决了什么问题？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中的有关线段长度的计算问题.
问题一：含30°角的直角三角形的性质可以解决什么问题？
答：
直角三角形中的角与角之间的关系
直角三角形中的边与边之间的关系
1. 含30°的直角三角形
2. 含45°的直角三角形
特殊角：15°、60°、120°、150°
特殊角：135°
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，BC=10，AB的垂直平分线交AC于点D，则AD=_________
分析：
20
转化
BDC
问题二：在证明30°的直角三角形的性质定理中用到了哪些添加辅助线的方法呢？
1.补短法：如图1中，通过延长BC到
点D，使得CD=BC.
2.截长法：如图2中，截取BD=BC
或作线段AB的中点D.
答：
特别地，当刚好出现的是2倍关系的时候，延长的线段刚好与之相等，或者截取的线段刚好是它的一半时，我们也称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”.
“截长补短法”和“倍长中线法”是添加辅助线的常用方法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目.
谢谢观看
