13章 章末小结（1）基础知识
学习目标
1.通过问题解决，回顾本章所学知识，培养学生的应用意识.
2.能用尺规作图做出线段的垂直平分线，能作出对称轴和轴对称图形，培养几何直观.
3.能熟练在知识的文字语言、图形语言、符号语言间进行转化，培养几何直观、模型意识.
4.能运用本章知识解决简单问题。
学习过程
复习引入
思考：本章学习的主要内容？
知识点复习
知识点一：轴对称图形和轴对称的区别与联系
观察：下列图形的区别与联系？
轴对称图形 轴对称
图形
区别 (1)轴对称图形是( )具有特殊形状的图形,只对( ) 图形而言;(2)对称轴( ) 只有一条 (1)轴对称是指( )图形的位置关系,必须涉及( )图形;(2)只有( )对称轴.
联系
知识点二：轴对称图形的性质
如图，△ABC与△FHG关于直线DE对称，点A、点B、点C的对称点分别是？用线段连接对称点，对称点的连线段与对称轴有什么关系？你还知道轴对称的那些性质？
练习：
1.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( )
2.小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词“APPLE”镜子中的样子，请你判断看到的是（ ）
如图，△ABC中，∠H=45°，∠B=70°，则∠A的度数是 .
知识点三：线段的垂直平分线
线段AB上有动点O，过O作线段AB的垂线CD，点O在运动过程中有无特殊位置？请用尺规作图画出？此时有有什么性质？请用几何语言表示？该性质的逆定理成立吗？请用几何语言表示？
知识点四：画轴对称图形
作图：如图，作出对称轴,归纳作图方法
作图：作出△ABC关于直线DE对称图形△FGH,归纳作图方法
知识点五：坐标轴对称的点的坐标规律
如图，画出△ABC关于x轴对称的图形？画出关于y轴对称的图形？说说关于坐标轴对称的点的坐标规律？归纳在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法？
知识点六：等腰三角形
如图，观察△ABC是等腰三角形吗？请你给出判定△ABC是等腰三角形条件？等腰△ABC有那些性质？改变∠A的大小有特殊的等腰三角形？
知识点七：等边三角形
如图，△ABC是特殊的等腰三角形，是什么三角形？怎么定义？请你给出判定△ABC是等边三角形条件？等边△ABC有那些性质？等边△ABC的高将△ABC分成两个全等的直角三角形，这两个直角三角形有什么特殊性？
知识点八：最短路径问题
如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后到军营A，可使将军走的路程最短？
变式1：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马到官道Q（走直线），立即返回训练场B，可使将军走的路程最短？
变式2：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马到官道Q（走直线），立即返回军营A，可使将军走的路程最短？
变式3：如图：军队从军营A到集结点C需要渡过河流L，现计划在河道上架设一座垂直岸边的木桥，要使军队走的路程最短，木桥应架设在何处？
三、课堂小结
1. 从以下方面想一想，本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
四、课后练习
见精准作业单13章 章末小结（1）基础知识
教学目标
1.通过问题解决，回顾本章所学知识，培养学生的应用意识.
2.能用尺规作图做出线段的垂直平分线，能作出对称轴和轴对称图形，培养几何直观.
3.能熟练在知识的文字语言、图形语言、符号语言间进行转化，培养几何直观、模型意识.
4.能运用本章知识解决简单问题。
教学重点
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
教学难点
基本作图的应用
教学过程
复习引入
思考：本章学习的主要内容？
知识点复习
知识点一：轴对称图形和轴对称的区别与联系
观察：下列图形的区别与联系？
轴对称图形 轴对称
图形
区别 (1)轴对称图形是( 一个 )具有特殊形状的图形,只对( 一个) 图形而言;(2)对称轴(不一定) 只有一条 (1)轴对称是指( 两个)图形的位置关系,必须涉及(两个)图形;(2)只有( 一条)对称轴.
联系 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
知识点二：轴对称图形的性质
如图，△ABC与△FHG关于直线DE对称，点A、点B、点C的对称点分别是？用线段连接对称点，对称点的连线段与对称轴有什么关系？你还知道轴对称的那些性质？
性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
练习：
1.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( A)
2.小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词“APPLE”镜子中的样子，请你判断看到的是（ D ）
如图，△ABC中，∠H=45°，∠B=70°，则∠A的度数是 65° .
知识点三：线段的垂直平分线
线段AB上有动点O，过O作线段AB的垂线CD，点O在运动过程中有无特殊位置？请用尺规作图画出？此时有有什么性质？请用几何语言表示？该性质的逆定理成立吗？请用几何语言表示？
CD垂直平分线段AB
线段垂直平分线的性质
几何语言：∵CD⊥AB，AO=BO，
∴PA=PB.
线段垂直平分线的判定
几何语言：∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
知识点四：画轴对称图形
作图：如图，作出对称轴,归纳作图方法
作对应点连线段的垂直平分线，既为所作
作图：作出△ABC关于直线DE对称图形△FGH,归纳作图方法
画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”：
找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）；
画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
连：依次连接各对称点；
连接对称点得到的图形即为所求.
知识点五：坐标轴对称的点的坐标规律
如图，画出△ABC关于x轴对称的图形？画出关于y轴对称的图形？说说关于坐标轴对称的点的坐标规律？归纳在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法？
坐标轴对称的点的坐标规律
1.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
2.点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y），特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法
计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；
描点：根据对称点的坐标描点；
连接：按原图对应连接所描各点得到对称图形.
知识点六：等腰三角形
如图，观察△ABC是等腰三角形吗？请你给出判定△ABC是等腰三角形条件？等腰△ABC有那些性质？改变∠A的大小有特殊的等腰三角形？
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”.
也可以依据等腰三角形的定义来判断一个三角形是否为等腰三角形.
（3）性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高
互相重合，即“三线合一”.
(4) 特别的，等腰直角三角形的两个底角都是45°;等边三角形
（5）应用：在实际解题中，未说明边是腰还是底边，或者未说明角是顶角还是底角，都需要分情况进行讨论.
知识点七：等边三角形
如图，△ABC是特殊的等腰三角形，是什么三角形？怎么定义？请你给出判定△ABC是等边三角形条件？等边△ABC有那些性质？等边△ABC的高将△ABC分成两个全等的直角三角形，这两个直角三角形有什么特殊性？
（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）性质：
①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都是60°；
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
（4）在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点八：最短路径问题
如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后到军营A，可使将军走的路程最短？
变式1：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马到官道Q（走直线），立即返回训练场B，可使将军走的路程最短？
变式2：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马到官道Q（走直线），立即返回军营A，可使将军走的路程最短？
变式3：如图：军队从军营A到集结点C需要渡过河流L，现计划在河道上架设一座垂直岸边的木桥，要使军队走的路程最短，木桥应架设在何处？
三、课堂小结
1. 从以下方面想一想，本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
四、课后练习
见精准作业单
五、板书设计
13章 章末小结（1）基础知识
尺规作图：线段的垂直平分线 路径最短
几何语言课前诊测
1.下列“表情图”中，属于轴对称图形的是 ( )
2.如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是（ ）
A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C
C.△ABC是等边三角形 D.△ABC是等腰三角形
3.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为： .
精准作业
必做题
1.按要求完成作图：
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；
（2）写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标；
（3）在x轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
2.如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2cm，求DF的长．
探究题
1.如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
课前诊测
D
C
3.45°或135°
精准作业
1.解：（1）△A'B'C'即为所求；
（2）由图可得，A′（﹣4，﹣1）、B′（﹣3，﹣3）、C′（﹣1，﹣2）；
（3）点Q即为所求．
2.解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2（cm），
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4（cm）．
探究题
1.证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．(共20张PPT)
13章 章末小结（1）
基础知识
生
活
中
的
轴
对
称
轴对称
作对称图形的对称轴
画轴对称图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
等腰三角形
等边三角形
知识结构图
知识点一：轴对称图形和轴对称的区别与联系
观察：下列图形的区别与联系？
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
(1)轴对称图形是指( )
具 有特殊形状的图形,
只对( ) 图形而言;
(2)对称轴( ) 只有一条
(1)轴对称是指( )图形
的位置关系,必须涉及
( )图形;
(2)只有( )对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
一个
一个
不一定
两个
两个
一条
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.
知识点一：轴对称图形和轴对称的区别与联系
如图，△ABC与△FHG关于直线DE对称，点A、点B、点C的对称点分别是？用线段连接对称点，对称点的连线段与对称轴有什么关系？你还知道轴对称的那些性质？
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
知识点二：轴对称图形的性质
1.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( )
2.小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词“ ”镜子中的样子，请你判断看到的是（ ）
A.
B.
C.
D.
轴对称图形
A
D
3.如图，△ABC中，∠H=45°，∠B=70°，则∠A的度数是 .
65°
线段AB上有动点O，过O作线段AB的垂线CD，点O在运动过程中有无特殊位置？请用尺规作图画出？此时有有什么性质？请用几何语言表示？该性质的逆定理成立吗？请用几何语言表示？
知识点三：线段的垂直平分线
CD垂直平分线段AB
几何语言：∵CD⊥AB，AO=BO，
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的判定
几何语言：∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”：
找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）；
画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
连：依次连接各对称点；
连接对称点得到的图形即为所求.
知识点四：画轴对称图形
作图：作出△ABC关于直线DE对称图形△FGH，归纳作图方法
作图：如图，作出对称轴,归纳作图方法
如图，画出△ABC关于x轴对称的图形？画出关于y轴对称的图形？说说关于坐标轴对称的点的坐标规律？归纳在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法？
知识点五：坐标轴对称的点的坐标规律
在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法
计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；
描点：根据对称点的坐标描点；
连接：按原图对应连接所描各点得到对称图形.
1.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），特点是横坐标相同，纵坐 标互为相反数.
2.点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y），特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
坐标轴对称的点的坐标规律
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，观察△ABC是等腰三角形吗？请你给出判定△ABC是等腰三角形条件？等腰△ABC有那些性质？改变∠A的大小有特殊的等腰三角形？
知识点六：等腰三角形
（2）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”.
也可以依据等腰三角形的定义来判断一个三角形是否为等腰三角形.
（5）应用：在实际解题中，未说明边是腰还是底边，或者未说明角是顶角还是底角，都需要分情况进行讨论.
（3）性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高
互相重合，即“三线合一”.
(4)特别的，等腰直角三角形的两个底角都是45°;等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
如图，△ABC是特殊的等腰三角形，是什么三角形？怎么定义？请你给出判定△ABC是等边三角形条件？等边△ABC有那些性质？等边△ABC的高将△ABC分成两个全等的直角三角形，这两个直角三角形有什么特殊性？
知识点七：等边三角形
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（4）在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质：
①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都是60°；
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后到军营A，可使将军走的路程最短？
A
B
L
P
（1）将军饮马问题.
知识点八：最短路径问题
变式1：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马到官道Q（走直线），立即返回训练场B，可使将军走的路程最短？
变式2：如图：将军由训练场B出发要在河边L让马饮水，然后遛马
到官道Q（走直线），立即返回军营A，可使将军走的路程最短？
（2）两点一线型问题.
（3）两点两线型问题.
Q
L
N
M
B
B2
B1
B
Q
L
A
B1
A1
N
M
变式3：如图：军队从军营A到集结点C需要渡过河流L，现计划在河道上架设一座垂直岸边的木桥，要使军队走的路程最短，木桥应架设在何处？
（3）修桥过河.
M
N
E
C
D
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
请同学们从以下方面回顾本节可所学？
课堂小结
