章末复习小结（2）综合运用 导学案
学习目标：
1.认识轴对称图形，掌握轴对称的性质，熟知等腰三角形、等边三角形的性质与判定.
2.会对知识进行要点梳理，并会用知识解决常见的数学问题.
3.经历运用数学知识解决实际“最短路径问题”的过程，体会数学的价值，提高学习兴趣.
重点：轴对称的性质，等腰三角形和等边三角形的性质和判定.
难点：运用轴对称寻求“最短路径”的方法.
知识点1：轴对称图形与轴对称
下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（ ）
练习：在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝2，n＝3 D．m＝－2，n＝－3
练习：在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ ）
A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2
2.按要求完成作图：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，
并直接写出P点的坐标.
知识点3：垂直平分线的性质与判定
1.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
知识点4：等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC=2∠DBC.
知识点5：等边三角形的性质与判定
1.如图，等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC的度数为__________．
2.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，
下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD； ③BE＝BD；④∠ABE＝60°.
正确的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3.如图，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD=1，HE=2，试求BD和CE的长.
知识点6：最短路径问题
1.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
2. 如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单章末复习小结（2） 综合运用 教学设计
教学目标
1.认识轴对称图形，掌握轴对称的性质，熟知等腰三角形、等边三角形的性质与判定.
2.会对知识进行要点梳理，并会用知识解决常见的数学问题.
3.经历运用数学知识解决实际“最短路径问题”的过程，体会数学的价值，提高学习兴趣.
教学重点
轴对称的性质，等腰三角形和等边三角形的性质和判定.
教学难点
运用轴对称寻求“最短路径”的方法.
教学过程
知识点1：轴对称图形与轴对称.
下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图
形的是（ B ）
练习：在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ D ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标.
1.在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则( B )
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝2，n＝3 D．m＝－2，n＝－3
练习：在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ C ）
A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2
方法点拨：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
2.按要求完成作图：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
方法点拨：
(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，
再依次连线即可.
(2)找出点A关于x轴的对称点A'，
连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
知识点3：线段垂直平分线的性质与判定.
1.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上．
方法点拨：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.
根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE. 再根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.
知识点4：等腰三角形的判定与性质.
1.等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.
当x为底角时， x +x+ 2x=180° 解得 x=45°，则2x=90°.
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180° 解得x =36°.
故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.
方法点拨：在等腰三角形中，常用到分类讨论思想：
(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；
(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC=2∠DBC.
解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,
如图所示，则∠1=∠2=1/2∠DBC.
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.∴ ∠BAC= 2∠DBC.
方法点拨：在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而
后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.
知识点5：等边三角形的性质与判定.
1.如图，等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC的度数为_120°．
2.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，
下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD； ③BE＝BD；④∠ABE＝60°.
正确的个数为( A )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3.如图，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD=1，HE=2，试求BD和CE的长.
解：∵∠A = 60°，CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ACE = 30°，∠ABD = 30°.
∵HE = 2， ∴BH = 2HE = 4.
∵HD = 1，∴HC = 2HD = 2.
∴BD = BH + HD = 5，CE = CH + HE = 4.
方法点拨：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点6：最短路径问题.
1.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.
2. 如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.
解：如图，作点M关于BC的对称点M′，
连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.
方法点拨： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
知识点1：轴对称图形与轴对称.
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标.
知识点3：线段垂直平分线的性质与判定.
知识点4：等腰三角形的判定与性质.
知识点5：等边三角形的性质与判定.
知识点6：最短路径问题.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
章末复习小结（2） 右边板书
1.轴对称图形与轴对称.
2.关于坐标轴对称的点的坐标. 部分练习题板书
3.线段垂直平分线的性质与判定.
4.等腰三角形的判定与性质.
5.等边三角形的性质与判定.
6.最短路径问题.
第 5 页 共 5 页课前诊测
1.在轴对称图形中，对应点所连线段被________垂直平分.
2.如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC，
若AD=6cm，则AC= ___cm.
3.判断：
①等腰三角形、角和圆都是轴对称图形. （ ）
②所有的直径都是圆的对称轴. （ ）
③在轴对称图形中，对应线段的延长线不一定交在对称轴上. （ ）
④等腰三角形只有一条对称轴. （ ）
精准作业
必做题
1. 画出下列是轴对称图形的所有对称轴.
2.如图，△ABC各顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－3，1)，C(1，－2).
(1)求△ABC的面积；
(2)①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
②在y轴上作出一点P，使PA＋PB的值最小.(不写作法，保留作图痕迹).
3.如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
(2)若延长线段DE恰好过点B，求证：DB是∠ABC的平分线．
探究题
如图，点P是∠AOB内一点，∠AOB=30°，OP=10，点M、N分别是OA、OB上的动点，试通过作图说明△PMN周长的最小值是多少？
参考答案
课前诊断
1. 对称轴 2. 9 3. √ × × ×
精准作业
如图所示：
解：(1)S△ABC＝5.5
(2)①图略．A′(－2，－3)，B′(－3，－1)，C′(1，2)
②图略.
解：(1)∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°.
∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝70°.
∵∠BAC＝70°，∴∠B＝40°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形.
证明：延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC.
∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分线.
探究题
解：如图，分别作P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN的周长最小（三点共线）.
连接OP1，OP2，则∠P1OP2 = 2∠AOB = 60°，
OP1 = OP = OP2，∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=OP=10，
∴PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=10.
即△PMN周长的最小值为10.(共15张PPT)
章末复习小结（2）
综 合 运 用
知识点1：轴对称图形与轴对称
下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（ ）
A
B
C
D
B
练习：在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则( )
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝2，n＝3 D．m＝－2，n＝－3
B
练习：在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ ）
A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2
方法点拨：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，
关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
C
2.按要求完成作图：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标
方法点拨：
(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，
再依次连线即可.
(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
x
y
O
A
B
C
A1
B1
C1
A1
P
知识点3：线段垂直平分线的性质和判定
1.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
方法点拨：
要证明点E在线段AC的垂直平分线上，
即要证明AE=EC.
根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.
再根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.
知识点3：线段垂直平分线的性质和判定
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
知识点4：等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
方法点拨：在等腰三角形中，常用到分类讨论思想：
(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.
当x为底角时， x +x+ 2x=180° 解得 x=45°，则2x=90°.
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180° 解得x =36°.
故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.
2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.
求证： ∠BAC=2∠DBC.
知识点4：等腰三角形的判定与性质
方法点拨：在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC,
∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
知识点5：等边三角形的性质与判定
1.如图，等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC的度数为_________．
120°
2.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，
下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD；
③BE＝BD；④∠ABE＝60°.
正确的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
知识点5：等边三角形的性质与判定
3.如图，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD=1，HE=2，试求BD和CE的长.
解：∵∠A = 60°，CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ACE = 30°，∠ABD = 30°.
∵HE = 2，
∴BH = 2HE = 4.
∵HD = 1，
∴HC = 2HD = 2.
∴BD = BH + HD = 5，
CE = CH + HE = 4.
方法点拨：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点6：最短路径问题
1.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.
知识点6：最短路径问题
2. 如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.
解：如图，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.
方法点拨： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课 堂 小 结
知识点1：轴对称图形与轴对称.
知识点2：关于坐标轴对称的点的坐标.
知识点3：线段垂直平分线的性质与判定.
知识点4：等腰三角形的判定与性质.
知识点5：等边三角形的性质与判定.
知识点6：最短路径问题.
谈谈你本节课的收获.
作 业 布 置
见精准作业单.
