数学人教A版（2019）必修第一册5.1.2弧度制 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
温故知新
1
上节课主要内容
任意角的概念：正角、负角、零角
象限角的概念：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S={β |β=α+k · 360°,k ∈Z),
数学抽象
核心素养
数学运算
直观想象
上节课的我们学习了任意角，接下来我们将学习角的另一种表示：弧度制
课标要求
1
重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
难点
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
情景引入
2
情景一
有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问哪一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
情景引入
2
情景二
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢 能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
情景引入
2
问题1：弧度制的定义
问题2：角度弧度换算
问题3：弧度制的应用
1
3
2
思考问题
1
2
弧度制的发展
3
弧度制的定义
弧度制的理解
问题1
弧度制的定义
讲解新课
3
讲解新课
3
弧度制的发展
1
一、弧度制的发明一一托勒密
托勒密为地理学和绘制学的研究奠定了基础。托勒密在天文学、光学和音乐方面也颇有造诣。托勒密发明了球坐标, 定义了包括赤道和零度经线在内的经纬线, 他提出了黄道, 还发明了弧度制。
二、弧度制思想的提出一一欧拉
欧拉在《无穷小分析概论》的第八章中提出了弧度制的思想. 他认为, 如果把半径作为 1 个单位长度, 那么半圆的长就是 π。
三、弧度制的正式提出一一汤姆生
1873年 6 月 5 日,数学教师汤姆生(James Thomson) 在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast)女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了 “弧度”一词. 当时, 他将 “半径” (radius)的前四个字母与 “角” ( ang1e) 的前两个字母合在一起, 构成 radian, 并被人们广泛接受和引用.
讲解新课
3
弧度制的定义
2
如图,射线OA 绕端点O旋转到OB形成角α. 在旋转过程中，射线 OA 上的一点P (不同于点O) 的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°,OP=r, 点P 所形成的圆弧PP 的长为L. 由
初中所学知识可知
于是
L/r=n π/180.
讲解新课
3
弧度制的定义
2
探究：
如图,在射线 OA 上任取一 点Q (不同于点O),OQ=ri.在旋转过程中，点 Q 所形成的圆弧QQ 的长为l .L 与 r 的比值是多少 你能得出什么结论
讲解新课
3
弧度制的定义
2
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定. 这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度 (radian) 的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图,在单位圆O 中 ，AB 的长等于1,∠AOB 就是1弧度的角.
讲解新课
3
弧度制的定义
2
在半径为r 的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为α rad, 那么
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋 转为正，顺时针旋转为负，当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于-2π的角.这样就可 以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
讲解新课
3
弧度制的理解
3
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的.
1
2
角度与弧度的关系
3
角度与弧度的互换
角度与弧度特殊角
问题2
角度弧度换算
讲解新课
3
讲解新课
3
角度与弧度的关系
1
探究：
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同 (都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是2π,而在角度制下的度数是360°,所以
360°=2π rad,180°=π rad,
讲解新课
3
角度与弧度的互换
2
一般地，只需根据
1°＝rad≈0.017 45 rad，
即：度数×＝弧度数
1 rad＝≈57.30°，
即：弧度数×＝度数
就可以进行弧度与角度的换算了.
讲解新课
3
角度与弧度特殊角
3
根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数或弧度数.
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2 rad的角.
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应
角度





弧度






1
扇形的弧长
2
扇形的面积
问题3
弧度制的应用
讲解新课
3
讲解新课
3
扇形的弧长
1
初中所学的扇形的弧长，
弧长＝
把角度制转化为弧度制
＝α·R(α为弧度制)
讲解新课
3
扇形的面积
2
初中所学的扇形的面积
面积S＝
把角度制转化为弧度制
S＝·R＝α·(α为弧度制)
在应用扇形面积公式S＝α·时，要注意α的单位是“弧度”.
例题讲解
4
（人教A版2019）
例4
按照下列要求，把 67°30′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值.
核心素养：数学运算
解析
(1)因为
（2）利用计算器有
MODE MODE 2
67 。, ,, 30 。, ,, SHIFT DRG 1 =
1.178 097 245.因此，67°30′≈1.178 rad.
例题讲解
4
（人教A版2019）
例5
将3.14 rad换算成角度(用度数表示，精确到0.001).
核心素养：数据分析
解析
利用计算器
MODE MODE 1
3.14 SHIFT DRG 2 = 179.908 747 7.
因此，3.14 rad≈179.909°.
例题讲解
4
（人教A版2019）
例6
利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) (2) (3)
其中是圆的半径，(0<<2π) 为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
核心素养：方程思想
解析
由公式 可得，.下面证明(2)(3).
由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是：,
将n°转换为弧度，得 于是，
将代入上式，即得
课堂练习
5
【解析】
(1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－；
(3)＝×°＝105°；
(4)－π＝－π×°＝－144°.
将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°； (2)－800°；(3)； (4)－π.
【训练1】
课堂练习
5
【解析】
已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
【训练2】
课堂练习
5
已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
【训练3】
【解析】
课堂小结
6
1.总结一下本节课我们做了什么？你获得了哪些知识？
2.本节课的知识点总结
3.你对本节课知识的理解是什么？
弧度制
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
弧度制的概念
弧度制的计算及与角度制的互化
扇形的弧长和面积公式
弧度制表示角时，先将分、秒化成度，再化为弧度
根据已知图形写出区域角的集合时，先写始边和终边对应的角
数学运算：通过扇形的弧长公式和面积公式的运用，培养数学运算的核心素养
同一个式子中角度制与弧度制不能混用
写出区域角时注意始边和终边的虚实
课后作业
7
1. 完成课本175页 3,5,6
必做
2. 完成课本175页 4
选做