高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 解三角形综合章节综合练习题（答案+解析）

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解三角形综合
一、选择题
1．在中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．在中，角所对的边分别为，若，则角（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·资阳期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（　　）
A． B．
C． D．为钝角三角形
4．已知的外接圆半径为1，，则（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2023高一下·莲湖期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（　　）
A． B．3 C．6 D．
6．（2023高一下·汕尾期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·临泉月考）在△ABC中，已知，且满足ab＝4，则该三角形的面积为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，，，则（　　）
A． B． C．4 D．
9．在中，若，则C等于（　　）
A．45° B．60°或120° C．135° D．45°或135°
10．在中，角的对边满足，且，则（　　）
A． B． C． D．0
11．已知分别为三个内角的对边，且，则是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
12．在中，若，则该三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
13．（2023高一下·浙江期中）在中，已知，且，则该三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
14．（2023高一下·联合期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为钝角三角形，且，则c的取值不可能的是（　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
15．（2023高一下·绍兴期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
16．（2023高一下·深圳期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
17．（2023高一下·深圳期中）在中，已知，则一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
18．（2023高三下·吉林）如图，在所在平面内，分别以为边向外作正方形和正方形．记的内角的对边分别为，面积为，已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
19．（2023高一下·吉林期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．
20．（2023高一下·广西月考）已知点是外接圆圆心，角、、所对的边分别为，，，且有，若，则实数的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
21．（2023高二上·朝阳开学考）在中，，，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是　 　．
22．在中，内角，，的对边分别为，，，且，.的外接圆半径为1，，若边上的一点满足，且，则的面积为　 　.
23．（2023·海盐开学考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 　 　．
24．已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为　 　．
三、解答题
25．（2023高二上·朝阳开学考）在中，．
（1）求；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
27．在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，
（1）求角C：
（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．
28．（2023高一下·合肥期末）在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
29．（2023高一下·炎陵期末）如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
30．（2023高二下·联合期末）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知向量，且满足____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
.
故答案为：D.
【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，则，
由余弦定理可得，
且，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据已知条件，由正弦定理得，即，由，所以或，故三角形有两解，再分情况讨论：
当时，，由，解得；
当时，，由，解得；
综上可知，ABC错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由已知条件根据正弦定理可求得或，故三角形由两解，排除AB选项，再分情况利用正弦定理讨论CD即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】由正弦定理可得：，
∴AB=2sinC，AC=2sinB，
则
故答案选：D.
【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解： 由A+C=2B结合A+C+B=π，可得，
则
化简整理得
由余弦定理可得，
即
故答案为：B.
【分析】 由A+C=2B可得，进而求出，再利用余弦定理可求出b的值.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理可得：，
又因为，可得，
由余弦定理可得：.
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理进行角化边可得，再结合余弦定理运算求解.
7．【答案】D
【解析】【解答】根据正弦定理可得：，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】由正弦定理得出，从而计算出cosc、sinc，计算该三角形面积即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：
又
故答案为：D.
【分析】先由三角形面积公式和已知得到ab的积，再根据余弦定理得出c的值。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，求得，由正弦定理得，求得，或.
故答案为：D.
【分析】 在中，利用正弦定理求得，再结合角的范围求得或.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，根据正弦定理可得， ， 所以，所以，由正弦函数的恒等变换可得，所以，结合余弦的二倍角公式得.
故答案为：C.
【分析】由题意及正弦定理得，结合三角形内角和定理可得，再根据三角函数的恒等变换化简，即可得解.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：根据正弦定理化边为角得，因，所以，所以，即，所以或，故为直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用正弦定理化边为角，结合三角形性质和两角和的正弦公式化简可得，最后根据特殊角的三角函数值和正弦定理即可求解.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：由余弦定理化简可得，即，故，又因为，所以，即为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】利用余弦定理化角为边可得，即，从而可得三角形为等腰三角形.
13．【答案】C
【解析】【解答】由余弦定理知，又，，，
由得，，又， 是等边三角形。
故答案为：C
【分析】由 结合余弦定理得，利用三角恒的变换化简 得，进而判断三角形的形状。
14．【答案】C
【解析】【解答】因为，则，
又因为为钝角三角形，可得：
若C为钝角，则，即，解得；
若B为钝角，则，即，解得；
综上所述：.
可得，
所以ABD正确，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知C为钝角或B为钝角，结合余弦定理和三角形性质列式求解.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴可得，
即，
∵角A，B，C均为锐角，
∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B ，
∴，
∵角A，B，C均为锐角，
∴
∴，
∵恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴令，则恒成立，，
∴或，
∴，
故选：C.
【分析】首先根据正弦定理以及两角和正弦公式证明A=2B，C=π-3B，可将化简，结合该三角形为锐角三角形，可以求出B的取值范围，再根据恒成立，得到关于的不等式，结合二次函数的性质，求解即可得出答案.
16．【答案】A
【解析】【解答】由 得2sinCcosA= sinB- sinC = sin(A +C)- sinC
则2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC-sinC
故sinC=sin(A- C)，
即或
故或(舍)
由正弦定理可得
又由△ABC是锐角三角形，得，解得
则，得，即
故选： A.
【分析】 先根据已知条件化简可得A=2C，再将 化为，结合△ABC是锐角三角形，可得C的范围，进而求解出 的取值范围 .
17．【答案】D
【解析】【解答】 由 得 即
由正弦定理得
由余弦定理得
又，得
故选： D.
【分析】由二倍角的余弦公式化简已知表达式，再结合余弦定理可求出cosC的值，结合C的范围可求出C的值，即可得答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】由正弦定理知 ，，
又 面积，，
如图连接，，
则，，，
在中由余弦定理知，.
故答案为：C
【分析】利用正弦定理结合面积公式化简 ，再由余弦定理求解 。
19．【答案】C
【解析】【解答】如图，
由，
，，，
的外接球半径为，点在弦所对应的优弧上运动，
，当，，，三点共线即经过圆心时取得最大值，
，取E为BC中点，则OE=32，ED=12，∴OD=ED2+OE2=122+322=1，
∴ AD的最大值为3+1 。
故答案为：C
【分析】利用正弦定理求出角A，再利用 △ABC 的外接球，圆内一点D与圆上点A的距离 的最值当AD经过圆心时取得。
20．【答案】D
【解析】【解答】设D为BC中点，则有OD垂直于BC
由 得：
b+c=2a
∴
故选：D
【分析】通过数量积投影得到，对 左右点积得到边长关系，求出.
21．【答案】5（答案不唯一）
【解析】【解答】解：由余弦定理得，即关于的方程有两正根，，，，求得.
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】利用余弦定理得，则关于的方程有两正根，进而利用一元二次方程性质求解.
22．【答案】
【解析】【解答】解：因为 的外接圆半径为，
由题意可得，
如图，因为 ， 可知，可得，
则，且，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，，
且与互补，则，可得，
则，由正弦定理可得，
所以 的面积为.
故答案为： .
【分析】根据题意利用正弦定理可得，在根据 和正弦定理可得，进而可得，，再利用面积公式运算求解.
23．【答案】
【解析】【解答】解： ，又，，，又，，设外接圆半径，由正弦定理得，
故答案为： .
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理求角，再根据正弦定理求外接圆半径.
24．【答案】
【解析】【解答】解：由余弦定理得 ，化简得，又，，
又，，，，由题意得是的角平分线，，，，.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理求得，结合二倍角公式得，再利用等面积法求解.
25．【答案】（1）解：由已知可得：，
∴，而，
∴．
（2）解：选①②：
∵，，
∴；
由正定理得，∴；
故．
【解析】【分析】(1)利用余弦降幂公式和二倍角公式化简；
(2)选①② ，由条件求出角，利用正弦定理求边，再根据三角形内角和定理和面积公式求解.
26．【答案】（1）解：因为，所以．
又，
所以．
因为，所以．
又，所以．
（2）解：由（1）可知，，所以．
由，得，则，
则．
因为，所以，，
则，故△ABC周长的取值范围为．
【解析】【分析】（1）由三角形的恒等变换可得，可得，从而求得；
（2）由（1）利用正弦定理可得， 因为，所以 ，进而利用正弦函数的性质可得△ABC周长的取值范围为．
27．【答案】（1）解：及正弦定理得，
∴，
∴，即，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：设外接圆的半径为，由，
得，即，
则，∴．
的面积．
∵，∴，，∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∴，∴，即锐角面积的取值范围是．
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
(2)设外接圆的半径为， 利用正弦定理可得 ，利用正弦定理边化角，利用面积公式结合三角恒等变换可得 ，进而结合正弦函数的有界性运算求解.
28．【答案】（1）解：因为，所以.
因为，所以，所以.
由余弦定理，得，整理，得.
由余弦定理，得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以根据正弦定理，得，所以.
在中，由余弦定理，得，整理得，
因为，所以，
整理可得即，当且仅当时等号成立，
所以取得最大值是，当时取到，
所以周长的最大值为.
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式化简可得，由，所以，结合余弦定理整理可知，即可求得角；
（2）由已知条件，利用正弦定理可得，在，根据余弦定理化简整理可得，最后利用基本不等式求得最大值，从而可得三角形周长的最大值.
29．【答案】（1）解：因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）解：设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．
【解析】【分析】（1）根据题意由余弦定理求得，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，在，利用正弦定理可知①，在，根据正弦定理可得②，结合①②化简整理可得，即可求得的值.
30．【答案】（1）解：若选条件①：
由向量，
可得，
所以函数的最小正周期为.
若选条件②：
由向量，
可得，，
所以，所以函数的最小正周期为.
（2）解：选条件①：
由（1）得，则，
因为，所以，所以，即，
在中，由余弦定理，
整理得，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或．
若选条件②：
由（1）得，则，
因为，所以，所以，即，
在中，由余弦定理，
整理得，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或．
【解析】【分析】 (1) 若选条件①：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，进而可求周期；若选条件②：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，进而可求周期；
(2) 对于条件①②：由可得，利用余弦定理可得或，进而可求面积.
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