高中数学人教A版（2019）必修2 9.1 随机抽样 解答题专项章节综合练习题（答案+解析）

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9.1 随机抽样 解答题专项
一、解答题
1．（2023高一下·天河期末）在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球.
（1）若采用有放回简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；
（2）若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率.
2．（2021高二上·浦东期末）2020年1月8日，在“不忘初心 牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史 新中国史 改革开放史 社会主义发展史结合起来.”为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴 牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；
（2）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）.
附图：
3．（2023高二上·青冈开学考）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
频数(个) 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.
4．（2023高一下·楚雄期末）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值以及女生被抽取的人数；
（2）估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.
5．（2023·海盐开学考）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
6．（2023高二上·朝阳开学考）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
9.6 10.1 9.7 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 10.1 10.2
经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；
（3）在第（2）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．
7．为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
　 组 组 组
疫苗有效 673
疫苗无效 77 90
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗有效的概率是0.33．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在组抽取多少个？
（Ⅲ）已知，，求不能通过测试的概率．
8．（2022高一下·恩施期末）某农户从一批待售的苹果中随机抽取100个，对样本中每个苹果称重，数据如下表.
质量(单位，千克) [0.08，0.09) [0.09，0.1) [0.1，0.11) [0.11，0.12) [0.12，0.13) [0.13，0.14］
个数 10 10 20 40 15 5
若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于0.12千克的苹果为一级果；质量不小于0.1千克且小于0.12千克的苹果为二级果；质量在0.1千克以下的苹果为三级果.
（1）根据以上抽样调查数据，能否认为这批苹果符合“二级果和一级果的数量之和至少要占全部产品的70%”的规定
（2）若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为10元/千克；二级果的售价为8元/千克；三级果的售价为6元/千克经估算，这批苹果有150000个，请问该批苹果的销售收入约为多少元 (问一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
9．（2021高二上·湖南月考）为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择（　　）
A.1.5小时以上 B.1~1.5小时 C.0.5~1小时 D.0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题.
（1）求本次一共调查了多少名学生，并在图①中将选项对应的部分补充完整；
（2）采用分层抽样的方法在组和组中共抽取8人，求组，组各抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人，求这2人中至少有1人来自组的概率.
10．（2020高二上·南京期末）“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：
⑴个税起征点为5000元；
⑵每月应纳税所得额（含税） 收入-个税起征点-专项附加扣除；
⑶专项附加扣除包括住房 子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
　 旧个税税率表（税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数 每月应纳税所得额（含税） 收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 专项附加扣除 税率（%）
1 不超过1500元部分 3 不超过3000元部分 3
2 超过1500元至4500元部分 10 超过3000元至12000元部分 10
3 超过4500元至9000元的部分 20 超过12000元至25000元的部分 20
4 超过9000元至35000元的部分 25 超过25000元至35000元的部分 25
5 超过35000元至55000元部分 30 超过35000元至55000元部分 30
随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 ；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
11．某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照，，，进行分组，得到下列统计图.
（1）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；
（2）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
（3）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，恰有1人生产时间少于65min的概率.
12．（2023·）杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某中学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数；
（2）试估计这100名学生成绩的第75百分位数；
（3）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在的概率．
13．（2023高一下·电白期末）第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
14．（2023高一下·联合期末）为提高全民的身体素质，某市体育局举行“万人健步走”活动，体育局通过市民上传微信走步截图的方式统计上传者每天的步数，现从5月20日参加活动的全体市民中随机抽取了100人的走步数组成样本进行研究，并制成如图所示的频率分布直方图（步数单位：千步）．
（1）求a的值，并根据直方图估计5月20日这100位市民走步数的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）按分层抽样的方式在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行走步路线调查，求这2人步数都在的概率．
15．（2023高一下·海南期末）第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值及这20名学生得分的80%分位数；
（2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率
16．（2023高一下·嘉兴期末）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省 市 自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a和中位数b的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（2）若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A同学的成绩是105分，E同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率.
17．（2023高一下·番禺期末）某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：
（1）求图中的值；
（2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）
18．（2023高二下·嘉定期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）求的值；
（2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲乙至少一人被抽到的概率．
19．（2023高一下·衢州期末）随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.
（1）求频率分布直方图中，的值；
（2）估计该校学生每周零花钱的第55百分位数；
（3）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数.
20．（2023高二上·梅河口开学考）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．
21．（2022高一下·揭东期末）某校对学生成绩统计（折合百分制，得分为整数），考试该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1∶3∶6∶4∶2，第五组的频数为12．
（1）该样本的容量是多少？
（2）该样本的第75百分位数在第几组中？
22．一个地区共有5个乡镇，共30万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从这30万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，则应采取什么样的抽样方法 并写出具体过程.
23．某校高一年级500名学生中，血型为O的有200人，血型为A的有125人，血型为B的有125人，血型为AB型的有50人．为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为AB型的抽样过程．
24．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42. 5%，中年人占47. 5%，老年人占10%. 登山组的职工占参加活动总人数的 ，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%. 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
25．（2018高二上·宜昌期末）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
26．（2017高一上·马山月考）网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题.
（1）求表中的n，中位数落在哪组，扇形统计图中 组对应的圆心角为多少度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流机会，计划在 组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知 组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率.
27．某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：
（1）求高三(1)班全体女生的人数；
（2）求分数在[80,90)之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析女生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
28．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间分成8组，得到如下的频率分布直方图：
（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．
29．（2023高二上·梅河口开学考）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
30．（2023高三上·开远月考）《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．
（1）请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差．
（2）若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．
①将y表示为x的函数；
②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：记2个蓝球分别为，2个红球分别为，黄球为，
若采用有放回简单随机抽样，共有25个基本事件，恰好摸到一个红球的有12个基本事件，
所以恰好摸到一个红球的概率.
2 1 a b c d e
a ╳ ╳ √ √ ╳
b ╳ ╳ √ √ ╳
c √ √ ╳ ╳ √
d √ √ ╳ ╳ √
e ╳ ╳ √ √ ╳
（2）解：若采用无放回简单随机抽样，
则有，共10个基本事件，
取出的球颜色相同的有，共2个基本事件，
所以取出的球颜色相同的概率.
【解析】【分析】（1）根据题意简单随机抽样，通过列表排列组合，得到所有事件数，再根据要求算出仅有一个红球的事件数，从而求出概率.
（2）简单随机抽样，但是不再放回，可以通过枚举法，列出总的事件数，进一步得到求颜色相同的概率.
2．【答案】（1）解：从给到的“随机数表”中从第二行的第三个数开始从左往右抽，依次是580，956，438，908，其中956不在给到的成绩编号001—950的范围内，故去掉，因此，前3个被抽到样本编号580，438，908；
（2）解：由题意可知：，解得；
有频率分布直方图的平均数为：
，
故该校此次参赛学生成绩估计的平均分为71分.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合随机数表的方法，从而写出前3个被抽到样本编号 。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，得出a的值，再结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该校此次参赛学生成绩的平均分 。
3．【答案】（1）解：苹果的重量在的频率为；
（2）解：）重量在的有（个）；
（3）解：设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为；
从中任取两个，可能的情况有：共6种，
设任取个，重量在和中各有个的事件为，则事件包含有共3种，
所以.
【解析】【分析】（1）根据重量在的频数除以总数，可得频率为 ；
（2）利用抽取的总数乘以该层所占的比例可求得结果；
（3） 设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为； 然后用有序数对表示出任取两个的所有可能结果，最后分析所有可能结果求解出目标事件的概率.
4．【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得，其中女生被抽取的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得：，，
所以分位数位于区间，则分位数为.
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质得所有小长方形面积和为1列出方程求得a的值，结合分层抽样原理求女生被抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法求解.
5．【答案】（1）解：第六组的频率为，
∴第七组的频率为
（2）解：由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得
（3）解：第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积和为1求第七组的频率；
(2)根据中位数的定义利用频率分布直方图求中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
6．【答案】（1）解：样本平均值
样本方差．
（2）解：估计改进后该厂生产的产品评分的平均数，
方差．
（3）解：可以认为是一等品．因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为，所以可以认为这10件产品平均等级为一等品不一定是一等品．
因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分及以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
【解析】【分析】(1)利用平均数和方差的定义求解；
(2)根据平均数的性质和方差的性质求解；
(3)从平均数角度分析或从抽样具有随机性角度分析.
7．【答案】解：（Ⅰ）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到 组疫苗有效的概率是0.33．
，
．
（Ⅱ）C组样本个数是 ，
用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，
应在 组抽取的个数为 ．
（Ⅲ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设测试不能通过事件为 ，
组疫苗有效与无效的可能情况有
共有6种结果，
满足条件的事件是 共有2个
根据等可能事件的概率知 ．
【解析】【分析】(1)根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到要求的数字与样本容量之间的比值等于0.33，可得 的值；
(2)求出每个个体被抽到的概率，利用这一组的总体个数，乘以每个个体被抽到的概率，得到应在 组抽取的个数；
(3)本题是一个等可能事件的概率，C组疫苗有效与无效的可能情况有 共有6种结果，满足条件的事件是 共有2个，根据等可能事件的概率可得不能通过测试的概率．
8．【答案】（1）解：由题意可知，样本中二级果和一级果的数量之和占比为.
所以这批苹果符合规定；
（2）解：由样本知，这批苹果中一级果占20%，二级果占60%，三级果占20%，
所以150000个苹果中一级果有30000个，二级果有90000个，三级果有30000个.
一级果的质量约为千克
三级果的质量约为千克.
三级果的质量约为千克：
总售价约为
所以该苹果的销售收入的为183450元
【解析】【分析】（1）根据已知数据计算二级果和一级果的数量之和占比可得结论；
（2）求出一级、二级、三级果品的数量及平均质量后得各级果品质量，从而得总收入.
9．【答案】（1）由题图①知，选的人数为，而图②显示，选的人数占总人数的，故本次调查的总人数为.由题图②知，选的人数占总人数的，因此其人数为.
图①补充如图所示
（2）由图②可知，组与组的比值为，所以组人，组人.
（3）设组抽取的人为，组抽取的人为，则抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；其中这2人中至少有1人来自组的情况为，，，，，，，，，，，，，共13种情况，所以所求概率为.
【解析】【分析】(1) 由题图①知，选的人数为，而图②显示，选的人数占总人数的， 由此能求出本次一共调查学生数， 由题图②知，求出选的人数，由此能补充完整的条形统计图 ；
(2) 由图②可知，组与组的比值为 ，由此可求出 组，组各抽取的人数；
(3)利用列举法即可求出这2人中至少有1人来自组的概率.
10．【答案】（1）解：由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 .
①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
元，
月缴个税为 元，其概率为 ；
②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
元，
月缴个税为 元，其概率为 ；
③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为 元，
月缴个税为 元，其概率为 ；
④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 元，
月缴个税为 元，其概率为 ；
（2）解：在旧政策下，该收入阶层的 从业者每月应纳税所得额为 元，
故月缴个税为 元，
在新政策下，该收入阶层的 从业者每月应纳税所得额为 元，
每月少缴个税 元，
设经过 个月该市该收入阶层的 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，
则 ，又 ，解得 ，
所以经过12个月，该市该收入阶层的 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入.
【解析】【分析】 （1）根据题中给出的信息，分四种情况按照条件中的计算公式分别求出月缴个税即可；
（2）计算两种政策下的每月应缴个税额度差，然后列出不等式，求解即可得到答案．
11．【答案】（1）解：第一组工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人），
第二组工人40人.其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有
人，
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人）.
（2）解：第一组平均时间为：，
第二组平均时间为：，
∵，∴乙车间工人生产效率更高.
（3）解：由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，
其中生产时间少于65min的有2人，分别用，代表，
生产时间不少于65min的工人用，，，代表，
抽取2人基本事件空间为：
，共15个基本事件.
设事件A：恰有1人生产时间少于65min，
则.
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合频率分布直方图分析运算；
(2) 根据题意结合平均数公式运算求解，并对比分析；
(3)根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型分析求解.
12．【答案】（1）解：由频率分布直方图中数据可知：
（2）解：成绩小于80的频率为，成绩在的频率为，因为，
所以这名学生成绩的第百分位数在内，
所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为.
（3）解：因为成绩在，，的学生人数所占比例为3：2：1，
所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人.
记抽取成绩在的3人为，成绩在为.
，
，共15种，
抽取的2人成绩都在的是，共3种，
抽取的人成绩都在的概率为.
【解析】【分析】(1)根据题意结合频率分布直方图求相应的频率，进而可求人数；
(2)根据题意结合百分位数的定义运算求解；
(3)先根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
13．【答案】（1）由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为岁，
因为，
，
所以第75百分位数位于[50，60）内，设第75百分位数为x，
则，解得，
所以第75百分位数为52.5
（2）医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于1求出的值，再根据频率分布直方图中得数据计算平均值，根据百分位数的求法求解即可；
（2）根据分层抽样可得医疗组抽取人数为2，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出5人中选取3人组成综合组的所有可能情况，再从中选出满足条件的，代入概率公式求概率即可.
14．【答案】（1）解：由题有，
解得，
由频率分布直方图的数据，可得这100位市民走步数的平均数：
千步；
（2）解：在和两组中的人数分别为人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为，
在分组中抽取的人数为2人，记为，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种取法，
其中这2人步数都在的情况只有，共有1种，
所以这2人步数都在的概率为．
【解析】【分析】(1)根据频率和为1求a，进而根据平均数公式运算求解；
(2)根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
15．【答案】（1）解：由直方图知，
.
设分位数为. 前3组的频率之和为0.65 ，前4组的频率之和为0.9 .
，且.
故这20名学生得分的分位数为.
（2）解：由已知可得：得分在内的人数为，
得分在内的人数为.
记得分在内的学生为，得分在内的学生为.
则所有的样本点为： ，
，共15个，
其中恰有1人的得分在内的样本点为：
， ，共8个，
故这2人中恰有1人的得分在内的概率.
【解析】【分析】 (1) 根据频率和为1求a，再根据百分位数的概念运算求解；
(2) 先根据分层抽样求各层人数，再利用列举法和古典概型运算求解.
16．【答案】（1）解：由上表可知，，解得，
平均数
中位数，
由题意可知，，解得，
即平均数，中位数；
（2）解：由图可知，成绩在有人，
成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设A，B，C，D四位同学的成绩在两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有共12个样本，
符合条件的3个样本，所以符合条件的概率为，
即两位同学的试卷都被抽到的概率为.
【解析】【分析】 (1) 根据概率和为1求m的值，根据中位数、平均数的概念运算求解；
(2) 根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
17．【答案】（1）解：，.
（2）解：原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；
人均在的概率.
（3）解：由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）.
【解析】【分析】 (1) 根据频率和为1运算求解；
(2) 先根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解；
(3) 根据题意结合中位数的概念运算求解.
18．【答案】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．
其中分数段有人，分数段有人，
所以在分数段中抽取人，分数段抽取人，
设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，
则，，
则甲乙至少一人被抽到的概率为．
【解析】【分析】 (1) 根据频率和为1运算求解；
(2) 先根据分层抽样求各层人数，进而可得甲、乙被抽到的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
19．【答案】（1）解：，即
又，所以，.
（2）解：前3组的频率和为，
前4组的频率和为，
∴第55百分位数位于第4组内.
∴估计第55百分位数为元.
（3）解：，，这三组的频率分别为，，，比例为，
则从内抽取的人数分别为.
【解析】【分析】(1)由频率和为1可得，结合已知条件，解方程组即可求出.
（2）利用百分位数的定义，先判断第55百分位数所在的区间，结合频率直方图即可求出.
(3)先算出各组的频数，再根据各组的比例即可求出.
20．【答案】（1）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（2）解：学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【解析】【分析】(1)先根据频率分布直方图求 不少于20小时的频率 ，进而求人数；
(2)根据题意分析可得 分位数在， 结合百分位数的定义运算求解；
(3)根据随机抽样的性质分析判断.
21．【答案】（1）解：由题意可知，第五组的频率为，
则样本的容量为．
（2）解：因为的频率为，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
，，
该样本的第75百分位数在第四组中．
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解；
（2）根据已知条件，结合第75百分位数的定义，即可求解．
22．【答案】解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法.具体过程如下：
⑴将30万人分成5层，一个乡镇为一层.
⑵按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：
300× =60(人)，300× =40(人)，
300× =100(人)，300× =40(人)，
300× =60(人).
各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
⑶将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本
【解析】【分析】根据分层抽样的方法可以得到。
23．【答案】解：因为40÷500＝ ，所以应用分层抽样法抽取血型为O型的 ×200＝16(人)，A型的 ×125＝10(人)，B型的 ×125＝10(人)，AB型的 ×50＝4(人)．
AB型的4人可以这样抽取：
第一步，将50人随机编号，编号为1，2，…，50.
第二步，把以上50人的编号分别写在大小相同的小纸片上，揉成小球，制成号签．
第三步，把得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀．
第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
第五步，根据所得编号找出对应的4人即可得到样本.
【解析】【分析】由题意可以得出应用分层抽样，由分层抽样的特点可以得到。
24．【答案】（1）解：设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，
则有
解得b＝50%，c＝10%，
故a＝100%－50%－10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%
（2）解：由（1）知游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%，
则抽取的青年人人数为200× ×40%＝60(人)；
抽取的中年人人数为200× ×50%＝75(人)；
抽取的老年人人数为200× ×10%＝15(人)．
即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人
【解析】【分析】(1)由题意可以设出登山组人数，又因为游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，通过列出方程可以求出对应的值。
（2）由（1）求出的青年人、中年人、老年人各占比例，即按此比例求出抽取的人数。
25．【答案】解：（Ⅰ）根据所问即为第二组和第三组都是及格的人，由直方图得到一共有频率为0.058的人数及格，又因为一共有50名同学，所以及格的人数为 人。
（Ⅱ）若使|m﹣n|＞10，那么所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取。由直方图知，成绩在 的人数是 人，假设两人的成绩为 ，成绩在 的人数是 人，设三人的成绩为，令 ，那么进行分组讨论：
若都在A集合中抽取，那成绩分别为 ；若都在B集合中抽取，成绩可能为 ；若在不同的集合抽取，成绩可能为 。
所以一共有10种基本事件，而符合|m﹣n|＞10的事件有 ，所以 。
所以实数 的取值范围是
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，最后利用频率分布直方图的性质能求出平均数．
（Ⅱ）设成绩为x，y，成绩在[90，100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m-n|＞10”所包含的基本事件个数，最后利用等可能事件的概率公式求解即可．注意频率分布直方图的性质及列举法的合理运用．
26．【答案】（1）解： ， ，
∵总人数为80人，
∴中位数落在第40、41个学生学习时间的平均数，
， ，
∴中位数落在 组，
，
故答案为
（2）解：如图所示.
（3）解：画树状图为：
共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，
∴
【解析】【分析】（1）此题考查的是利用已知数据结合频率分布表求出n，再统计出数据中的中位数，最后结合中位数的值和所占的比例求出扇形统计图中 B 组对应的圆心角度数。
（2）根据频率分布表补全频率分布直方图
（3）根据频率分布直方图求出E组学生人数，再按照要求结合树状图求出满足要求的情况，最后结合古典概型概率公式，求出抽取的两名学生都来自九年级的概率。
27．【答案】（1）解：设全班女生人数为 ，
（2）解：根据题意，由于分数在 之间的女生人数25-21=4人，根据比例关系得0.016
（3）解：设六个人编号为1,2,3,4,5,6.所有可能根据列举法得（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4, 5）（4,6）（5,6）15个基本事件，其中符合的是（1,5）（1,6）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）9个基本事件，
所以所求概率为
【解析】【分析】（1）设全班女生人数为 x,根据茎叶图得分数在[50，60）之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60）之间的频率，根据频率、频数和样本容量x之间的关系解出高三(1)班全体女生的人数．
（2）先算出分数在[80，90）的频率，根据小矩形的面积表示频率，计算可得矩形的高．
（3）通过列举法得到试验包含的所有基本事件数，以及满足条件的事件数，由古典概型公式求出答案．
28．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在
的频率分别为
，由，解得，
则样本落在的频率分别为，所以月用电量的平均值为
（2）解：为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数．
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是．
又，所以对应的用电量为350．
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是．
【解析】【分析】 (1)根据所有小长方形的面积和为1列方程求a的值，再根据频率分布直方图计算平均值；
(2)为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；使20%的居民缴费在第二档
需要确定月用电量的分位数，结合百分数的计算方法求解．
29．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）解：的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）解：由题得①；②
又
同理，
∴
【解析】【分析】(1)根据题意结合频率和为1求得 ， 进而可求相应人数；
（2）根据题意可知 75％分位数落在， 结合百分位数的定义列式求解；
（3）根据平均数、方差的公式，结合 ， ， 运算求解.
30．【答案】（1）解：，
，
（2）解：①当，且时，万元；
当，且时，万元，
所以，
②，，，所以，
当时，万元，
当时，由得，
故当万元时，，
综上所述：，
所以.
所以估计且y不少于68万元的概率为.
【解析】【分析】 (1) 根据频率分布直方图结合平均数、方差的公式运算求解；
(2)① 分 ， 两种情况，结合题意运算求解；
② 根据题意可得 ， 由①可得， 进而可得结果.
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