专题5.1相交线 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题5.1 相交线（知识讲解）
【学习目标】
1．了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2．能依据对顶角、邻补角概念与性质，进行简单的计算．
【知识要点】
相交线定义：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
特别说明：
（1）邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
（2）邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
（3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
（4）邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线．
2．对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
特别说明：
（1）由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
（2）对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线．
3．邻补角与对顶角对比：
角的名称 特征 性质 相同点 不同点
对顶角 ①两条直线相交形成的角；②有一个公共顶点； ③没有公共边． 对顶角相等． ①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的． ①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对．
邻补角 ①两条直线相交而成；②有一个公共顶点； ③有一条公共边． 邻补角互补．
【典型例题】
类型一、相交线 相关定义 对顶角 邻补角
1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
举一反三：
【变式1】
2．下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（ ）

A．都互为对顶角 B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角
C．都不互为对顶角 D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角
【变式2】
3．如图，直线AB，AB相交于点O，OE，OF为射线，则对顶角有(　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．下列四个图中，与互为邻补角的是（　　　）
A． B．
C． D．
举一反三：
【变式1】
5．如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
6．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述一定正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为对顶角 B．∠1和∠3互为邻补角 C．∠1=∠2 D．∠1=∠3
类型二、相交线 对顶角、邻补角的理解与认识
7．如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对
举一反三：
【变式1】
8．如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
【变式2】
9．如图，直线AB和CD相交于点O，则∠AOC的邻补角是 .
类型三、相交线 对顶角 邻补角的性质 角平分线 运算
10．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
举一反三：
【变式1】
11．如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠BOC∠AOC，∠BOM＝80°，ON平分∠DOM，
求∠BOC和∠MON．
【变式2】
12．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
类型四、相交线 对顶角 邻补角的性质 角平分线 方程思想
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
(1)若∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
(2)若∠BOC＝2∠AOC，求∠DOE的度数．
举一反三：
【变式1】
14．如图，直线、、相交于点，，是的2倍多30°，求的度数．
【变式2】
15．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角　 　，∠COE的补角是　 　；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．
类型四、相交线 对顶角 邻补角的性质 角平分线 分类讨论思想
16．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．
举一反三：
【变式】
17．已知与互为补角，平分．
(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；
B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．
2．D
【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角，
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，是需要熟记的内容．
3．B
【分析】根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断.
【详解】图中对顶角有：∠AOC与∠BOD、∠AOD与∠BOC，共2对．
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．本题关键是分清楚已知的角是哪两条直线相交形成的，根据角的两条边，找出它的反向延长线形成的夹角即可
4．D
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选：D．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
5．B
【分析】根据对顶角和邻补角的性质，即可求解．
【详解】解：∵直线、交于点，
∴，，，
故A、C错误，不符合题意；B正确，符合题意；
无法确定与 的数量关系，故D错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等，互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．
6．D
【分析】根据对顶角的定义、邻补角的定义进行判断即可；
【详解】解：∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠1和∠3互为对顶角；故A、B错误；
∴∠1=∠3；故D正确；
∵∠1+∠2=180°，故C错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角的定义、邻补角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
7．A
【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键．
8．C
【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角.
故选：C
【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.
9．∠AOD和∠BOC
【详解】因为AB和CD交于点O,则∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC,故答案为: ∠AOD和∠BOC.
10．∠3=50°，∠2=65°．
【分析】根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC ，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可
【详解】解：∵∠AOB=180°，
∴∠1+∠3+∠COF=180°，
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°， ∠BOC=∠1+∠FOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
11．∠BOC为30°；∠MON为65°
【分析】由∠BOC∠AOC，∠BOC+∠AOC＝180°求得∠BOC的度数；
由∠BOM的度数，可求出∠COM和∠DOM的度数，根据ON平分∠DOM求出∠MON的度数.
【详解】解：∵∠BOC∠AOC，
∴∠AOC＝5∠BOC
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
∵∠BOM＝80°，
∴∠COM＝∠BOM﹣∠BOC＝50°，
∴∠DOM＝180°﹣∠COM＝130°，
∵ON平分∠DOM，
∴∠MON∠DOM＝65°.
答：∠BOC为30°；∠MON为65°.
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
12．(1)
(2)
【分析】（1）依据，即可得到∠DOB=∠AOC=70°，再根据角平分线的定义，即可得出∠DOE=∠DOB，即可得到；
（2）依据OF⊥OE，可得∠EOF=90°，进而得到，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴∠AOC=，
∴∠DOB=∠AOC=70°，
又∵OE平分∠BOD，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，垂直的定义，几何图形中角度的计算，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义和对顶角的性质即可得到结论；
（2）根据邻补角的定义和角的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
．
，
答：的度数为；
（2）解：，，
，
，
，
答：的度数为．
【点睛】本题考查了垂线的意义，对顶角的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角和邻补角的性质．
14．
【分析】设，表示出，根据邻补角的定义列式求出，再求出，然后根据对顶角相等解答．
【详解】解：设，则，
由邻补角的定义得，，
解得，
所以，，
，
，
．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质及一元一次方程的应用，解题的关键是准确识图并求出的度数．
15．（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°
【分析】（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；
（2）先设∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∠AOD的度数，然后将∠AOE与∠AOD的度数相加即可．
【详解】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；
（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，
∵∠AOC＝60°，
∴x+2x＝60，
解得x＝20，
即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．
【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．
16．（1）∠COD=30°；（2）40°或20°或30°
【分析】（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，进而问题可求解；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，然后由题意分①当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可．
【详解】解：（1）∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠COD时，则有，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠AOC时，则有，
∴，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°．
【点睛】本题主要考查角的和差关系及对顶角的定义，熟练掌握角的和差关系及对顶角的定义是解题的关键．
17．(1)，
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
【详解】（1）解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
（2）解：当在的外部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
（3）当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，
平分，
,和重合，
；
当时，如图，
,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，
平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
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