专题5.3相交线 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题5.3 相交线（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．平面内有三条直线，那么它们的交点个数有（　）
A．0个或1个 B．0个或2个 C．0个或1个或2个 D．0个或1个或2个或3个
2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，直线MN和∠AOB的两边分别相交于点C，D.已知∠1＋∠2＝180°，则图中与∠1相等的角(不含∠1)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+80°＝∠BOC，则∠2等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）
A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5
8．如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE＝∠COE，∠DOE＝72°.则∠COE的度数是(　　)
A．36°
B．72°
C．44°
D．56°
9．如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
二、填空题
11．直线AB，CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=230°，则∠AOC= °．
12．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝ ．
13．在括号内填写依据：
如图，因为直线a，b相交于点O，
所以∠1＋∠3＝180°（ ），
∠1＝∠2（ ）．
14．若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角.
15．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD= °．
17．已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数= ．
18．已知为直线上一点，为直角，平分．
（1）如图，若，则 ；
（2）若，则的度数为 ，和的数量关系为 ．
三、解答题
19．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
(1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；
(2)在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
21．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
(1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
(2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
22．如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分．
(1)若平分，求的度数；
(2)若，，求的度数．
23．如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD．
(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
24．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；
(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】直线的位置关系不明确，应分情况讨论．
【详解】当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线两两相交成三角形时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选D．
【点睛】本题考查直线相交的相关知识，难度中等．
2．C
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；
B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．
3．C
【分析】首先根据邻补角的性质可得∠2+∠3=180°，再根据同角的补角相等可得∠1=∠3，再根据对顶角相等可得∠1=∠3=∠4=∠5．
【详解】如图：
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3，
∵∠4=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠1和∠5是对顶角，
∴∠1=∠5，
即∠1=∠3=∠4=∠5，
故选C
【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握对顶角相等，同角的补角相等．
4．D
【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选D．
5．D
【分析】根据邻补角的定义，可得∠1与∠BOC为对顶角，再根据∠1+80°＝∠BOC，可得∠1，最后根据对顶角的性质即可解答．
【详解】解：由邻补角的性质，得∠1+∠BOC＝180°，
∵∠1+80°＝∠BOC，
∴ ，
解得
由对顶角相等，得∠2＝∠1＝50°．
故答案为D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质和角的和差，其中理解并灵活运用对顶角的性质是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据对折的性质可知，∠FEG=∠FEC，找出与∠FEC互补的角即可．
【详解】∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形
∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF
由图形知，∠FEC与∠FCB互补
∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补
∴∠EF与∠EFD也互补
故选：C
【点睛】本题考查对折的性质和互补的性质，解题关键是将∠FEG转化为∠FEC．
7．B
【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．
【详解】，
，
，，
，
，
，
，，
，
则图中互余的角的对数为4对；
，
，
点C是直线AB上一点，
，
，，
又，，
，，
则图中互补的角的对数为7对，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．
8．B
【分析】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．
【详解】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=（180°-3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+（180°-3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
故选B．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．
9．B
【分析】由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
【点睛】本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．
10．D
【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案．
【详解】∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90° 30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；
∴t的值为：6或24．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想．
11．65
【分析】直接利用对顶角的定义得出∠AOD，∠BOC的度数，进而得出∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠AOD+∠BOC=230°，
∴∠AOD=∠BOC=×230°=115°，
∴∠AOC的度数为：180°-115°=65°．
故答案为65．
【点睛】此题主要考查了对顶的角的定义以及邻补角的定义，正确得出∠AOD，∠BOC的度数是解题关键．
12．140°
【详解】∵∠1与∠2是对顶角,∴∠1=∠2=80°,又已知∠2=2∠3,∴∠3=40°,
∵∠4与∠3互为邻补角,∴∠4=180°－∠3=180°－40°=140°.
故答案为: 140°.
13． 邻补角互补 对顶角相等
【分析】根据邻补角和对顶角的性质即可得解．
【详解】解：因为直线a，b相交于点O，
所以∠1＋∠3＝180°（邻补角互补），
∠1＝∠2（对顶角相等）
故答案为邻补角互补，对顶角相等．
【点睛】本题考查了邻补角角和对顶角，熟练掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键．
14．24
【分析】一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点，每2个交点确定一条线段，共有3条线段，4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4=12条线段，每条线段两侧共有2对内错角，由此可知内错角总数．
【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12条线段，
又∵每条线段两侧共有2对内错角，
∴共有内错角 12×2=24对，
故答案为24．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，主要考查的是内错角的定义，解题的关键是结合图形、熟记内错角的位置特点，两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对内错角．
15．20°或120°
【分析】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180° ∠AOC＝180° 70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE ∠BOC＝130° 11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180° ∠AOC＝180° 70°＝110°，于是得到∠COE′＝180° ∠DOE′＝180° 60°＝120°．
【详解】如图，
当OE在AB的上面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；
当OE在直线AB的下面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，
∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠COE＝20°或120°，
故答案为：20°或120°．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角．解题的关键是采用形数结合的方法分情况讨论．
16．150
【详解】首先根据直角定义可得∠COE=90°，
根据角的和差关系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，
根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=150°．
故答案为：150
17．142.5°或127.5°
【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．
【详解】解：∵|∠BOD|＝30°，
∴∠BOD＝±30°，
当∠BOD-∠BOC=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOD-∠BOC=30°，
∴∠BOC=∠BOD-30°，
∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=105°，
∴∠BOC=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=37.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．
当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOC-∠BOD=30°，
∴∠BOD=∠BOC-30°，
∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，
∴∠BOC=105°，
∴∠BOD=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=52.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，
综上：∠COE=142.5°或127.5°，
故答案为：142.5°或127.5°．
【点睛】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．
18． 68°
【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE为直角，可求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而求出∠BOE．
（2）根据（1）的思路求解即可．
【详解】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE为直角，
∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝112°．
∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°；
（2）∵∠COF＝m°，∠COE为直角，
∴∠EOF＝90°﹣m°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m°．
∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°．
∴∠BOE＝2∠COF．
故答案为：2m°，∠BOE＝2∠COF．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
19．(1)50°
(2)150°
【分析】（1）根据∠BOE=180°-∠AOC-∠COE直接解答即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE
=180°-40°-90°
=50°；
（2）解：∵∠BOC ＝2∠BOD，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=60°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=60°，
∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+60°=150°．
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）设，则，先根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义求出的值，从而可得的度数，然后根据对顶角相等即可得；
（2）先求出，再分①点在的上方和②点在的下方两种情况，根据角的和差即可得．
【详解】（1）解：由题意，设，则，
平分，
，，
，
，
解得，
，
由对顶角相等得：．
（2）解：由（1）可知，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在的上方时，
则；
②如图，当点在的下方时，
则；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算、对顶角相等、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
21．(1)∠COE＝20°；
(2)∠BOD＝3∠COE，理由见解析．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据∠AOE＝2∠DOE计算可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60 x，再利用∠AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【详解】（1）解：∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE＝∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD ∠DOE＝60° 40°＝20°；
（2）解：∠BOD＝3∠COE，理由如下：
设∠COE＝x，则∠DOE＝60 x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60 x）＝180 3x，
∴∠BOD＝180 ∠AOD＝180 （180 3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点睛】本题主要考查了邻补角、平角、角的和差，用代数式表示各个相关的角是解题关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得，，再根据邻补角的定义，就可求出的度数．
（2）根据已知及角平分线的定义，用含的代数式表示出，再根据，建立关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，OE平分∠BOC，
∴，，
∵
∴
答：的度数为．
（2）解：∵，
∴
∵平分
∴
∵
∴
解之：
答：的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线定义、平角以及角的计算等知识，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．
23．(1)∠EOC＝20°；
(2)①∠EOB＝；②∠EOB＝∠AOC；
(3)当0°<∠AOC ≤90°时，∠EOB＝∠AOC＋120°；当90°<∠AOC ≤120°时，∠EOB＝240°－∠AOC．
【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；
（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；
（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC ≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC ≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝∠AOC＋120°，最后根据周角的定义计算得出答案．
【详解】（1）解：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
∴∠DOF＝∠AOD＝20°，
∴∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）解：①∵∠AOC＝α，
∴∠AOD＝180°－α，
∴∠DOF＝∠AOD＝60°－，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－，
由题意得：∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝α－60°，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－＋α－60°＝；
②观察①中结果可得：∠EOB＝，
证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，
∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC－60°＝∠AOC；
（3）解：①当0°<∠AOC ≤90°时，
如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°．
②当90°<∠AOC ≤120°时，
如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC，
∴∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°，
∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－∠AOC－120°＝240°－∠AOC．
【点睛】本题考查了补角的定义，角的和差计算，对顶角相等，理清各角之间的关系是正确计算的前提．
24．(1)60°
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由求出的度数，取出的值，根据计算求解即可；
（2）对顶角相等可知，由求的值，进而结论得证；
（3）由题意知，，则，整理可得的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵OM平分∠BOC，
∴，
又∵，
∴，
∴∠BON的值为60°．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴射线OP是∠AOC的平分线．
（3）解：．
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页