专题5.5垂线 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练
文档属性
| 名称 | 专题5.5垂线 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 616.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-29 11:21:53 | ||
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文档简介
专题5.5 垂线（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线，相交于点E，于点E，若，那么的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
2．下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )．
A． B．
C． D．
3．如图，，，，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4 B．6 C．4.5 D．6.5
4．小宁同学在体育课上进行跳远测试，体育老师在测量他的跳远成绩时，用到数学基本原理，最恰当的是两点之间（ ）
A．线段最短 B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
5．下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，直线，交于点，，垂足是点．若平分，则下列结论错误的是（ ）
A．与互余 B．与互补
C．与是对顶角 D．与是对顶角
7．如图，，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离
9．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“直线，相交于点，平分，，垂足为（如图所示）．若，请用含的代数式表示，，中任意两个角的度数．”甲的结果是，；乙的结果是，；丙的结果是，．下列判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲和乙都错 C．乙和丙都对 D．乙对丙错
二、填空题
11．如图，，，是垂足，，那么的度数为 ；
12．在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经测量，PB＝3.3米，PC＝3米，PD＝3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是 米．
13．如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ．
14．如图，点，在直线上，且，的面积为．若是直线上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 cm．
15．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向．
16．如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是 ．
17．如图，在三角形ABC中，，，，，则点B到直线AC的距离为 ．
18．点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则与的面积相等；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
19．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为点D；
②过点P作PE⊥AB，垂足为点E；
③过点Q作QF⊥AC，垂足为点F；
④连P，Q两点；
⑤P，Q两点间的距离是线段______的长度；
⑥点Q到直线AB的距离是线段______的长度；
⑦点Q到直线AC的距离是线段______的长度；
⑧点P到直线AB的距离是线段______的长度．
20．几何说理填空：
如图，直线、相交于点，于点平分平分．
(1) ；
(2)求的度数．(过程如下，补全过程)
解：∵于点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，( )
∴ ，
∵平分，
∴ ．
21．已知，如图，点、分别代表两个村庄，直线代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是________________________________________．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是___________________________．
22．如图.
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？
23．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°．
（1）线段 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“”号连接）： ，并说明理由： ；
（3）求∠AON的度数．
24．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．
(1)试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
(2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】设为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直角及互补角的性质，理解题意是解题的关键．
2．D
【详解】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
可得D的画法正确．
故选：D．
3．A
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴到的距离为4.5，
点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是4．
故选A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为4.5是解题的关键．
4．B
【分析】根据垂线段的性质解答即可，垂线段的性质：垂线段最短．
【详解】解：体育课上老师测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
5．B
【分析】根据线段、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义和特征判断即可；
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，题中说法错误；
故①②③正确，
故选： B．
【点睛】本题考查了线段和垂线段的性质，垂线和点到直线的距离的定义，掌握相关定义和性质是解题关键．
6．D
【分析】根据垂线的定义，角平分线的定义，余角和补角的定义，对顶角的定义进行逐项分析即可．
【详解】于点，
，即∠AOC与∠COE互余，
平分，
，
与是对顶角且相等，
∴∠COE与∠BOD互余，
故A和C正确
，，
，
故B正确；
由图可知与是对顶角，
故D不正确．
故选：D．
【点睛】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，对顶角的定义，余角和补角的定义，解题关键是熟读图形，理清图中各角之间的关系．
7．B
【分析】根据垂直的定义，得，再结合图形的重叠特点求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知垂直的定义．
8．D
【分析】根据点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. PB⊥a，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项正确，符合题意；
B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故该选项正确，符合题意；
C. PA⊥PC，线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项正确，符合题意；
D. PA⊥PC，线段CP的长是点C到直线PA的距离，故该选项不正确，不符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的定义与性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意；
∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意；
点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意；
点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意；
线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意；
同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意．
综上，正确的有①⑤⑤共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
10．D
【分析】根据几何图形中的角度计算，含的代数式表示出，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴,
∵，
∴，
∴，
所以乙都对丙错．
故选：D
【点睛】本题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
11．60°##60度
【分析】根据垂线的定义，可得、的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线，关键是能利用了垂线的定义，求出各个角的度数．
12．3
【分析】因为垂线段最短，所以点P到起跳线l的垂线段的长度即PC的长度就是立定跳远的成绩．
【详解】∵PC⊥BD，PC＝3米，
∴该同学的实际立定跳远成绩是3米．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是知道立定跳远的成绩即为起跳线外一点到这条起跳线的垂线段的长度，即要知道直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
13．70°
【详解】解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
【点睛】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
14．8
【分析】根据点到直线的垂线段最短，再由面积求出高，即为AP的最小值，由题知，过点A作BC的垂线，即为所求，此时，该垂线也是三角形的高．
【详解】解：过点A作BC的垂线AP，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，
∴垂线段即为AP的最小值，
∵BC=5cm，ΔABC的面积为20，
∴，
∴AP=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，垂线段最短的性质，属于基础题．
15． 5 正北
【分析】根据勾股定理和方向角解题即可.
【详解】∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，
∴AB===5（km），
又∵A地在C地的正东方向，
则B地在C地的正北方向．
故答案为5；正北．
【点睛】本题考查勾股定理的应用；方向角．正确理解题意，将生活问题转化为数学问题是解题的关键.
16．
【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小，
∵，，，BC=5，AP⊥BC，
∴，
∴
∴AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．
17．
【分析】根据直角三角形面积的两种算法，即可解答．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，，，，
∴三角形的面积，
∴，
即点B到直线AC的距离为．
故答案为：
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．
18．②④
【分析】根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离进行分析，即可得到答案．
【详解】①点P在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确；
③若，则与的面积相等，说法错误，因为点P在线段A点左边或在B点右边时，虽然，但点P不是线段AB中点，与的面积等高不等底，说法错误；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确．
故答案为：②④
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是正确掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形。
19．①②③④作图见解析；⑤PQ；⑥QD；⑦QF；⑧PE
【分析】由题意①②③④根据题目要求即可作出图示，⑤⑥⑦⑧根据两点之间距离及点到直线的距离的定义即可得出答案．
【详解】①②③④作图如图所示；
⑤根据两点之间距离即可得出P，Q两点间的距离是线段PQ的长度；
⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度；
⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度；
⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度.
【点睛】本题主要考查基本作图和两点之间距离及点到直线的距离，熟练掌握相关概念与作图方法是解题的关键．
20．(1)
(2)，，对顶角相等，，
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，进而根据，即可求解；
（2）结合图形，根据垂直的意义，角平分线的定义，邻补角，对顶角相等，填空即可求解．
【详解】（1）解：∵平分平分
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）∵于点，
∴，
∵，
∴，
∵，(对顶角相等)
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：，，对顶角相等，，．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，对顶角相等，数形结合是解题的关键．
21．（1）画图见详解，垂线段最短；（2）画图见详解，两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，过点M作MP⊥直线l，则P点为所求；
（2）利用所有连结两点的线中，线段最短，连结MN与直线l交于Q，则Q点为所求．
【详解】（1）∵计划建一个离村庄最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
（2）∵燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，与两点之间，线段最短问题，掌握垂线段，与线段的定义，会利用垂线段最短，与两点之间，线段最短问题解释生活中实际问题是解题关键．
22．（1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12；（2）
【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.
【详解】（1）∵，
∴点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12.
（2）设点C到直线AB的距离为h，
的面积为，
∴，
∴.
∴点C到直线AB的距离为.
【点睛】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.
23．（1）MO；（2），垂线段最短；（3）65°．
【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；
（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【详解】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；
故答案为：MO；
（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
故答案为： MO＜MN；垂线段最短．
（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，对顶角，几何中角度的计算，角平分线的定义等等，掌握点到直线的距离是解题的关键．
24．(1)小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
(2)CD即为小丽家到街道AB距离．
【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．
【详解】（1）解：∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，
∴AC⊥BC，
∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
（2）解：如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．
【点睛】此题主要考查了点到直线的距离定义，点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，正确把握定义是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，直线，相交于点E，于点E，若，那么的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
2．下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )．
A． B．
C． D．
3．如图，，，，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4 B．6 C．4.5 D．6.5
4．小宁同学在体育课上进行跳远测试，体育老师在测量他的跳远成绩时，用到数学基本原理，最恰当的是两点之间（ ）
A．线段最短 B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
5．下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，直线，交于点，，垂足是点．若平分，则下列结论错误的是（ ）
A．与互余 B．与互补
C．与是对顶角 D．与是对顶角
7．如图，，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离
9．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“直线，相交于点，平分，，垂足为（如图所示）．若，请用含的代数式表示，，中任意两个角的度数．”甲的结果是，；乙的结果是，；丙的结果是，．下列判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲和乙都错 C．乙和丙都对 D．乙对丙错
二、填空题
11．如图，，，是垂足，，那么的度数为 ；
12．在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经测量，PB＝3.3米，PC＝3米，PD＝3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是 米．
13．如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ．
14．如图，点，在直线上，且，的面积为．若是直线上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 cm．
15．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向．
16．如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是 ．
17．如图，在三角形ABC中，，，，，则点B到直线AC的距离为 ．
18．点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则与的面积相等；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
19．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为点D；
②过点P作PE⊥AB，垂足为点E；
③过点Q作QF⊥AC，垂足为点F；
④连P，Q两点；
⑤P，Q两点间的距离是线段______的长度；
⑥点Q到直线AB的距离是线段______的长度；
⑦点Q到直线AC的距离是线段______的长度；
⑧点P到直线AB的距离是线段______的长度．
20．几何说理填空：
如图，直线、相交于点，于点平分平分．
(1) ；
(2)求的度数．(过程如下，补全过程)
解：∵于点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，( )
∴ ，
∵平分，
∴ ．
21．已知，如图，点、分别代表两个村庄，直线代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是________________________________________．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是___________________________．
22．如图.
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？
23．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°．
（1）线段 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“”号连接）： ，并说明理由： ；
（3）求∠AON的度数．
24．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．
(1)试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
(2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】设为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直角及互补角的性质，理解题意是解题的关键．
2．D
【详解】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
可得D的画法正确．
故选：D．
3．A
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴到的距离为4.5，
点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是4．
故选A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为4.5是解题的关键．
4．B
【分析】根据垂线段的性质解答即可，垂线段的性质：垂线段最短．
【详解】解：体育课上老师测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
5．B
【分析】根据线段、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义和特征判断即可；
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，题中说法错误；
故①②③正确，
故选： B．
【点睛】本题考查了线段和垂线段的性质，垂线和点到直线的距离的定义，掌握相关定义和性质是解题关键．
6．D
【分析】根据垂线的定义，角平分线的定义，余角和补角的定义，对顶角的定义进行逐项分析即可．
【详解】于点，
，即∠AOC与∠COE互余，
平分，
，
与是对顶角且相等，
∴∠COE与∠BOD互余，
故A和C正确
，，
，
故B正确；
由图可知与是对顶角，
故D不正确．
故选：D．
【点睛】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，对顶角的定义，余角和补角的定义，解题关键是熟读图形，理清图中各角之间的关系．
7．B
【分析】根据垂直的定义，得，再结合图形的重叠特点求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知垂直的定义．
8．D
【分析】根据点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. PB⊥a，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项正确，符合题意；
B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故该选项正确，符合题意；
C. PA⊥PC，线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项正确，符合题意；
D. PA⊥PC，线段CP的长是点C到直线PA的距离，故该选项不正确，不符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的定义与性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意；
∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意；
点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意；
点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意；
线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意；
同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意．
综上，正确的有①⑤⑤共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
10．D
【分析】根据几何图形中的角度计算，含的代数式表示出，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴,
∵，
∴，
∴，
所以乙都对丙错．
故选：D
【点睛】本题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
11．60°##60度
【分析】根据垂线的定义，可得、的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线，关键是能利用了垂线的定义，求出各个角的度数．
12．3
【分析】因为垂线段最短，所以点P到起跳线l的垂线段的长度即PC的长度就是立定跳远的成绩．
【详解】∵PC⊥BD，PC＝3米，
∴该同学的实际立定跳远成绩是3米．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是知道立定跳远的成绩即为起跳线外一点到这条起跳线的垂线段的长度，即要知道直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
13．70°
【详解】解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
【点睛】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
14．8
【分析】根据点到直线的垂线段最短，再由面积求出高，即为AP的最小值，由题知，过点A作BC的垂线，即为所求，此时，该垂线也是三角形的高．
【详解】解：过点A作BC的垂线AP，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，
∴垂线段即为AP的最小值，
∵BC=5cm，ΔABC的面积为20，
∴，
∴AP=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，垂线段最短的性质，属于基础题．
15． 5 正北
【分析】根据勾股定理和方向角解题即可.
【详解】∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，
∴AB===5（km），
又∵A地在C地的正东方向，
则B地在C地的正北方向．
故答案为5；正北．
【点睛】本题考查勾股定理的应用；方向角．正确理解题意，将生活问题转化为数学问题是解题的关键.
16．
【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小，
∵，，，BC=5，AP⊥BC，
∴，
∴
∴AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．
17．
【分析】根据直角三角形面积的两种算法，即可解答．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，，，，
∴三角形的面积，
∴，
即点B到直线AC的距离为．
故答案为：
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．
18．②④
【分析】根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离进行分析，即可得到答案．
【详解】①点P在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确；
③若，则与的面积相等，说法错误，因为点P在线段A点左边或在B点右边时，虽然，但点P不是线段AB中点，与的面积等高不等底，说法错误；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确．
故答案为：②④
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是正确掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形。
19．①②③④作图见解析；⑤PQ；⑥QD；⑦QF；⑧PE
【分析】由题意①②③④根据题目要求即可作出图示，⑤⑥⑦⑧根据两点之间距离及点到直线的距离的定义即可得出答案．
【详解】①②③④作图如图所示；
⑤根据两点之间距离即可得出P，Q两点间的距离是线段PQ的长度；
⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度；
⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度；
⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度.
【点睛】本题主要考查基本作图和两点之间距离及点到直线的距离，熟练掌握相关概念与作图方法是解题的关键．
20．(1)
(2)，，对顶角相等，，
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，进而根据，即可求解；
（2）结合图形，根据垂直的意义，角平分线的定义，邻补角，对顶角相等，填空即可求解．
【详解】（1）解：∵平分平分
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）∵于点，
∴，
∵，
∴，
∵，(对顶角相等)
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：，，对顶角相等，，．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，对顶角相等，数形结合是解题的关键．
21．（1）画图见详解，垂线段最短；（2）画图见详解，两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，过点M作MP⊥直线l，则P点为所求；
（2）利用所有连结两点的线中，线段最短，连结MN与直线l交于Q，则Q点为所求．
【详解】（1）∵计划建一个离村庄最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
（2）∵燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，与两点之间，线段最短问题，掌握垂线段，与线段的定义，会利用垂线段最短，与两点之间，线段最短问题解释生活中实际问题是解题关键．
22．（1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12；（2）
【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.
【详解】（1）∵，
∴点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12.
（2）设点C到直线AB的距离为h，
的面积为，
∴，
∴.
∴点C到直线AB的距离为.
【点睛】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.
23．（1）MO；（2），垂线段最短；（3）65°．
【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；
（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【详解】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；
故答案为：MO；
（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
故答案为： MO＜MN；垂线段最短．
（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，对顶角，几何中角度的计算，角平分线的定义等等，掌握点到直线的距离是解题的关键．
24．(1)小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
(2)CD即为小丽家到街道AB距离．
【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．
【详解】（1）解：∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，
∴AC⊥BC，
∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
（2）解：如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．
【点睛】此题主要考查了点到直线的距离定义，点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，正确把握定义是解题关键．
答案第1页，共2页
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