泸教版七年级数学下册期末专项复习-第十三章相交线平行线【专项训练】（含解析）
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| 名称 | 泸教版七年级数学下册期末专项复习-第十三章相交线平行线【专项训练】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 853.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-29 11:40:05 | ||
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第十三章 相交线 平行线【专项训练】 -七年级数学下册期末专项复习（沪教版）
第十三章 相交线平行线专项训练
知识点一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，；求的度数.
举一反三：
3．已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
4．（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角 几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角） 几对邻补角？
5．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是 ，∠1的对顶角是 .
知识点二、垂线
6．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是 ．
举一反三：
7．在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（春 会宁县期中）
8．如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
举一反三：
9．如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC．
10．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近 在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远 (分别用文字表述你的结论，不必说明)
举一反三：
11．如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．
12．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【三线八角】
知识点一、“三线八角”模型
13．（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成．
（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？
知识点二、同位角、内错角、同旁内角的辨别
14．如图，
(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗 为什么
举一反三：
（ 江干区一模）
15．下列图形中，和不是同位角的是（ ）.
A． B． C． D．
（秋 太康县期末）
16．如图，用数字标出的八个角中，同位角.内错角.同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．
举一反三：
17．如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
18．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．
举一反三：
19．请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．
知识点三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系
20．如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
举一反三：
21．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ).
A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ；
C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2.
22．下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【平行线的判定】
知识点一、平行线的定义及表示
23．下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
知识点二、平行公理及推论
24．在同一平面内，下列说法
（1）过两点有且只有一条直线
（2）两条不相同的直线有且只有一个公共点
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑷过一点有且只有一条直线与已知直线平行
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D .4个
举一反三：
（春 北京校级期中）
25．下列命题中正确的有( )．
①相等的角是对顶角； ②若a//b，b//c，则a∥c；
③同位角相等； ④邻补角的平分线互相垂直．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点三、两直线平行的判定
（ 福州）
26．下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B． C． D．
举一反三：
27．庆庆在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°第二次向左拐130°
28．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF．
举一反三：
29．已知，如图，平分，平分，且与互余，试判断直线、的位置关系，请说明理由．
30．已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，，求证：．
【平行线的性质】
知识点一、平行线的性质
31．如图，平分，平分，求的度数．
举一反三：
（ 安徽模拟）
32．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
知识点二、两平行线间的距离
（ 六盘水）
33．如图，已知，l1∥l2 ， C1在l1上，并且C1A⊥l2 ，A为垂足，C2， C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1， △ABC2的面积为S2， △ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3， 请帮小颖说明理由．
举一反三：
34．如图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米；
知识点五、平行的性质与判定综合应用
35．如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
举一反三：
36．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
37．如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
举一反三：
38．已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ ．
39．如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点．
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.
举一反三：
40．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
相交线
（ 凉山州一模）
41．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有 对．
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对．
42．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数．
举一反三：
（ 河北模拟）
43．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
44．已知: 如图，∠1 = ∠B，∠2 = ∠3，EF⊥AB于F ， 求证: CD⊥AB ．
平行线的性质与判定
45．如图，，，，试说明.
举一反三：
46．如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是 （ ）
A．∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
B．∠BED＝∠ABE－∠CDE
C．∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
D．∠BED＝∠CDE－∠ABE
47．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC.
实际应用
48．手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF的度数吗？
举一反三：
（山东滨州）
49．如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
补充练习：
（2020春 濉溪县期末）
50．如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A．AC的长度 B．AD的长度 C．AE的长度 D．AB的长度
（2020 安徽模拟）
51．如图，AB∥CD，CE交AB于点F．∠A＝20°，∠E＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
（2020春 西华县期中）
52．如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，下列结论正确的是（ ）
①∠1与∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1＝∠4；④∠4+∠5＝180°．
A．②③ B．②④ C．①③ D．③④
（2020春 蕲春县期中）
53．已知l1∥l2，一块含30°的直角三角板如图所示放置，∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（2020春 瑶海区期末）
54．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
（2020春 金水区校级月考）
55．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOC，OF⊥OE 于 O，若∠AOD＝78°，则∠AOF 等于 ．
（2020秋 大渡口区月考）
56．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝57°，则∠2的度数是 ．
（2020秋 昌图县期末）
57．如图，，且CF平分∠AFE，若，则∠A的度数是 ．
（2020春 涧西区校级月考）
58．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝
（2020春 江岸区校级月考）
59．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为 度．（用n来表示）
（2020秋 鹿城区校级月考）
60．如图，AD是∠BAC的角平分线，点E是射线AC上一点，延长ED至点F，∠CAD+∠ADF＝180°．
（1）试说明AB∥EF．
（2）若∠ADE＝65°，求∠CEF的度数．
（2020春 黄陵县期末）
61．如图，已知，，求证：．
（2020秋 二道区期末）
62．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
（2020秋 宽城区期末）
63．如图，，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵，（已知）
∴∠1=∠ =60°．（ ）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ =180°．（ ）
∴∠ =180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（ ）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（ ）
（2020春 天河区期末）
64．如图，已知射线CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，E，F在射线CB上，且满足DB平分∠ADF，DE平分∠CDF．
（1）求证：CD∥BA；
（2）若左右平移AB，则∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．
参考答案：
1．证明过程见解析
【分析】根据角平分线的性质及对顶角的特点求出∠MON=∠AON+∠AOM=180°，故可得到OM和ON共线．
【详解】∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义），
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠AOM=∠BON（等量代换），
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），
∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线．
【点睛】此题主要考查邻补角的应用，解题的关键是熟知角平分线与对顶角的性质．
2．120°
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠BOF的角度，再根据∠AOF＝180－∠BOF即可．
【详解】解：因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠EOB.
又因为∠AOD：∠DOE＝4：1，∠AOD＋∠DOE＋∠EOB＝180°，
所以∠DOE＝∠EOB＝180°×＝30°，∠AOD＝120°，
所以∠COB＝∠AOD＝120°，
因为OF平分∠COB，
所以∠BOF＝60°．
所以∠AOF＝180°－60°＝120°．
3．
【分析】令的答案分别是32°，87°，58°，分别计算出α的值，再找到钝角即可．
【详解】解：若=32°，则∠α=80°，不合题意；
若=87°，则∠α=217.5°，不合题意；
若=58°，则∠α=145°，所以∠α=145°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据题意列出方程是解题的关键．
4．（1）2对对顶角，4对邻补角；（2）图中共有12对对顶角，24对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义判断即可；
（2）先将图（2）拆分成如图的形式，再根据（1）的结论判断即可．
【详解】解：（1）根据题图可知，图中共有2对对顶角，4对邻补角；
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)；
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角；
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
5． ∠2，∠4 ∠3
【详解】根据对顶角和邻补角的定义解答，注意两直线相交，一个角的对顶角只有一个，但邻补角有两个．
解：由图形可知，∠1的对顶角是∠3，
∠1的邻补角是∠2和∠4．
6．①②
【分析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断．
【详解】解：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直，正确；
②一条直线的垂线有无数条，正确，过任意一点都可以作；
对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点无数条直线与已知直线垂直，当这点在直线外时，过这点也有无数条直线与已知直线垂直，故③错误；
④错误，必须是两个邻角相等，如下图：
故答案为：①②．
【点睛】此题主要考查垂线的定义，解题的关键是熟知相交直线之间的特点与垂直的定义．
7．D
【分析】根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来．
【详解】解∶由题意可得∶是点与直线的最短距离问题，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，属于基础题型．
8．∠2＝60°，∠3＝30°
【分析】根据对顶角相等可得∠3＝∠1＝30°，再由垂直可得∠BOD＝90°，根据∠2＝90°﹣∠1即可算出度数．
【详解】解：∵直线AB和EF交于点O，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°.
【点睛】此题主要考查了对顶角，以及垂直的定义，题目比较简单，要注意领会由垂直得直角这一要点．
9．证明过程见解析
【分析】根据平分线的性质可得∠1=∠2，根据OM ⊥ON，得，再根据平角的定义可得：，则∠3=∠4，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵OM平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
又∵OM ⊥ON，
∴，
∵，
∴
∴∠3=∠4，
∴ ON平分∠BOC；
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
10．（1）作图见解析；（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【分析】（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以，．
（2）观察图形可以得到在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【详解】解：(1)过点M作，垂足为P，过点N作，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．
(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．
11．作图见解析
【分析】根据垂线的定义作图即可得答案．
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查垂线的作图，垂线的定义是两条直线相交，一角成直角，两线相互垂直，则一条直线叫另一条直线的垂线．
12．D
【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
13．(1) EF，CD；AB；（2）不是 ．
【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；
（2）根据三线八角的定义求解即可；
【详解】解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．
所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．
（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．
【点睛】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．
14．（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角；
【分析】（1）根据“三线八角”模型，截直线和，得到和为同位角；
（2）与是同旁内角，两角的一个边在直线上，截线是直线，被截直线为、；
（3）与没有公共边，没有被截直线，因此不是同位角．
【详解】解：（1）由图形可知，截线为，被截直线为和
根据“三线八角”模型可知和为同位角；
（2）与是同旁内角，观察图形可知直线是这两个角的公共边，
∴为被截直线，、为被截直线；
（3）不是，理由如下：
∵与没有公共边
∴和不是“三线八角”模型中的角
∴和不是同位角．
【点睛】此题主要考查了“三线八角”模型中角的关系，熟练掌握“三线八角”模型是解决本题的关键．
15．C
【分析】根据同位角的定义特点来分析判断即可：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【详解】根据同位角的定义判断，A，B，D是同位角，
故选C．
【点睛】此题主要考查了同位角，熟练掌握其定义是解题的关键．
16．同位角：∠2与∠8，∠3与∠7，∠4与∠6；内错角：∠1与∠4，∠2与∠6，∠3与∠5，∠4与∠8,；同旁内角：∠2与∠4，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠5.
【分析】根据两直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两边，可得内错角，根据两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角的位置相同，可得同位角．
【详解】同位角：∠2与∠8，∠3与∠7，∠4与∠6；
内错角：∠1与∠4，∠2与∠6，∠3与∠5，∠4与∠8；
同旁内角：∠2与∠4，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠5.
【点睛】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，注意同位角、内错角，同旁内角都是相对于角的位置而言．
17．同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；内错角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠5在截线AC同侧，在被截直线BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截线CE的上方，被截直线DB、EB的左侧，
∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2对；
∵∠2和∠3在截线BD两侧，被截直线AC与CE内部；∠1和∠4在截线BE两侧，被截直线AC与CE内部，
∴内错角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2对；
∵∠3和∠5在截线CD同侧，被截直线CB与DB内部；∠4和∠5在截线CE同侧，被截直线CB与EB的内部；∠4和∠2在截线BE同侧，被截直线DB与DE的内部，
∴同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3对.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
18．同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解．
【详解】
如图，可分解成三个基本图形，
由图(1)得内错角：∠A和∠ACD；
由图(1)得同位角：∠B和∠ACD；
由图(1)得同旁内角：∠B和∠BCA, ∠B和∠A,∠A和∠BCA；
由图(2)得同位角：∠B和∠ECD；
由图(2)得同旁内角：∠B和∠BCE；
由图(3)得内错角：∠A和∠ACE；
综上所述：
同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；
内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；
同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
19．∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.
【分析】根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；
内错角有：∠2与∠8，∠3与∠5；
同旁内角有：∠2与∠5，∠3与∠8.
【点睛】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
20．(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【分析】（1）根据同位角、内错角和同旁内角的定义求解；
（2）由,根据对顶角相等，邻补角互补，等量代换即可求得．
【详解】(1)两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角；
根据概念得：
∠1和∠2是内错角；
∠1和∠3是同旁内角；
∠1和∠4是同位角．
因为题目中没有说明两直线平行，所以每组中两角的大小均不确定．
(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知），
∠4＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）；
② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)，
∠1＝∠4(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°（等量代换），
即∠1和∠3互补；
综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、同位角、内错角和同旁内角的定义，解题关键是掌握同位角、内错角和同旁内角的概念．
21．D
【分析】根据同位角的定义和平行线的性质判断即可．
【详解】∵只有两直线平行时，同位角才可能相等，
∴根据已知∠1与∠2是同位角可以得出∠1=∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2，
三种情况都有可能，
故选D．
【点睛】本题考查了同位角和平行线的性质，能理解同位角的定义是解此题的关键．
22．C
【分析】对每个命题仔细分析，判断其对错．
【详解】解：①、两条直线相交，同角的补角一定相等，这两条直线不一定垂直，错误；
②、两条直线相交，一角与其邻补角互补且相等，则这两条直线垂直；正确．
③、内错角相等，则它们的角平分线互相平行，错误．
④、同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的性质和垂线等知识点，不是很难，但是要细心分析．
23．D
【详解】根据平行线的描述，不相交的两条直线是平行线，故选D.
24．B
【详解】（1）过两点有且只有一条直线，正确；
（2）∵两条不相同的直线相交时有且只有一个公共点，平行时没有公共点，故不正确；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
⑷∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确；
∴正确的有（1）和（3）.
故选B.
25．C
【详解】考点：平行公理及推论；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．
分析：根据对顶角的定义以及平行公理及推论和邻补角的性质分别进行判断即可得出答案．
解答：解：①相等的角是对顶角； 根据对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；根据平行于同一直线的两条直线平行，故此选项正确；
③同位角相等；根据两直线平行，同位角相等，故此选项错误，
④邻补角的平分线互相垂直，根据角平分线的性质得出，邻补角的平分线互相垂直．
已知：AB，CD相交于O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD，
证明：∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠AOF=（∠AOC+∠AOD）=90°，
∴OE⊥OF．
故此选项正确．
∴正确的有2个．
故选C．
点评：此题主要考查了平行公理及推论以及对顶角的定义和平行线的性质以及邻补角的定义等，熟练掌握其定义是解题关键．
26．A
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．
【详解】解：A、由∠1＝∠2能得到AB∥CD；
B、∠1、∠2是同旁内角，由∠1＝∠2不能得到AB∥CD；
C、∠1＝∠2能得到AC∥BD, 不能得到AB∥CD；
D、由∠1＝∠2不能得到AB∥CD．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．
27．A
【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．
【详解】解：A、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，故本选项符合题意；
B、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项不符合题意；
C、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项不符合题意；
D、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项吧符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．
28．见解析
【详解】证明 如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°．
在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN，
所以AB∥CM，EF∥ND．
因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°，
所以∠DCM＝∠CDN．
所以CM∥ND，所以AB∥EF．
29．AB∥CD，理由详见解析
【分析】根据平分，平分得到与的关系和与的关系，再根据与互余，得到与互补，从而得到AB∥CD．
【详解】解：AB∥CD，理由如下：
∵平分，平分，
∴＝2，＝2．
又∵+＝90°，
∴+＝180°．
∴AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和角平分线的意义，解决本题的关键是用角平分线得到＝2，＝2．
30．见解析
【分析】根据垂直的定义得到，，得到，推出，推出，即可得到结论．
【详解】证明：∵ABBD于B，CDBD于D，
∴，
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
31．90°
【分析】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．
【详解】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°，
∵PG∥AB，
∴∠BAP＝∠APG，PG∥CD，
∴∠GPC＝∠PCD，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAP＝∠BAC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠BAP＋∠PCD＝∠BAC＋∠ACD＝90°，
∴∠APC＝∠APG＋∠CPG＝∠BAP＋∠CDP＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行公理，平行线的性质定理，掌握“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，是解题的关键．
32．B
【分析】过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
33．S1=S2=S3
【详解】试题分析：根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答．
试题解析：解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
考点：平行线之间的距离；三角形的面积．
34．35
【分析】利用图形分割法,构造两个正方形和拐角线,利用正方形的周长计算即可
【详解】如图，根据题意,将图形分割成一个边长为3,边长为5的正方形,余下线长为1+2=3,
故螺线总长度为：3×4+5×4+3=35，
故答案为：35.
【点睛】本题考查了螺线长度的计算，适当分割构造正方形是解题的关键．
35．960(m2)
【分析】把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根据总种植花草的面积列出式子求解即可．
【详解】解：如图所示②
把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
那么，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
所以，种植花草部分的面积为960m2．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
36．B
【详解】由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：20m，30m，
所以，可以得出路的总面积为：20×1+30×1-1×1=49m2，
又知该矩形的面积为：20×30=600m2，
所以，耕地的面积为：600-49=551m2．
故选B.
37．∠B＝∠E；AB∥DE；BC∥EF；理由见解析．
【分析】根据平行线的性质及判定定理即可得答案；
【详解】可由①②说明③成立，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠CKD．
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠CKD，
∴BC∥EF．
故答案为：∠B＝∠E；AB∥DE；BC∥EF；（答案不唯一）
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
38．115°
【分析】根据图形与已知可以得到∠1=∠CGE，则AB//CD，根据平行的性质得到∠4=∠FHD=180°-∠3，得出结论．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠2=∠CGE，
∴∠1=∠CGE，
∴AB//CD，
∴∠4=∠FHD，
∵∠3=65°，∠3+∠FHD=180°，
∴∠4=∠FHD=180°-∠3=180°-65°=115°，
故答案为：115°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质．平行的判定定理要掌握：同位角相等，两直线平行，
解题关键在于利用对顶角相等，等量代换出同位角．
39．（1）75°；（2）∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND，证明过程见解析；（3）∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N
【分析】（1）过P1作P1E∥AB，进而利用∠1=∠BMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，求出即可；
（2）分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，由平行线的性质可知，∠1=∠AMP1，∠FP2P1=∠P2P1E，∠FP2N=∠4，所以∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，故∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；
（3）分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，从而可得∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，进而得到∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．
【详解】解：（1）过P1作P1E∥AB，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥CD，
∴∠1=∠BMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，
∴∠MP1N=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
（2）结论：∠AMP1+∠P1P2N＝∠MP1P2+∠P2ND，
分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD，
∴∠1=∠AMP1，∠2=∠3，∠P2ND=∠4，
∴∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，
∴∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；
（3）∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N；
分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD∥P3H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，
∴∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．
40．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
41． 90 n（n﹣1）
【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；
（2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可．
【详解】解：（1）如图①
两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，
故答案为：90；
（2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．
42．50°或130°
【分析】分两种情况：①直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角；②直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，分别画出图形，进而即可求解．
【详解】解：分两种情况：
第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°，
∵∠COE＝40°，
∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝50°；
第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝40°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°．
综上所述：∠BOD=50°或130°．
【点睛】本题主要考查角的和与差，垂直的定义，对顶角的性质，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
43．C
【详解】试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，
∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，
∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；
故选C．
考点：垂线．
44．证明过程见解析
【分析】根据∠1 = ∠B，得到MD∥BC，∠2＝∠BCD，通过等量代换，得到∠3＝∠BCD，则EF∥CD，最后得出结论．
【详解】证明：∵∠1＝∠B，
∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2 ＝∠3（已知）
∴∠3＝∠BCD
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵EF⊥AB（已知）
∴CD⊥AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，关键性质定理与判定定理二者之间的区别以及正确掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．
45．见解析
【详解】解：过E点作EF∥AB，则∠B=∠3，
又∵∠1=∠B，
∴∠1=∠3．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠4=∠D，
又∵∠2=∠D，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°即∠BED=90°，
∴BE⊥ED．
46．C
【分析】当E在AB的上方时，过E作EF∥AB，因为CD∥AB，所以EF∥CD，于是得到∠FED=∠3，∠1=∠2，故∠BED=∠FED-∠FEB=∠CDE-∠ABE；若E在DC的下方时同理可得∠BED=∠ABE-∠CDE，然后即可得到题目的结果．
【详解】
如图，当E在AB的上方时，
过E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠3，∠1=∠2，
故∠BED=∠FED-∠FEB=∠CDE-∠ABE；
当E在DC的下方时，
同理可得∠BED=∠ABE-∠CDE．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线，根据平行线的性质即可求出结论．
47．证明见解析
【详解】证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠FBC.
∵DE平分∠ADC，
∴∠2＝∠ADE.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＋∠FBC＝∠2＋∠ADE，
∴2∠1＝2∠2，即∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥DC.
48．120°
【分析】由平行线的性质可得∠DEF=∠EFG=30°，由折叠性质可得∠GEF=∠DEF=30°，可求∠DEG，再利用平行线性质可求∠EGC即可．
【详解】解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF=∠EFG=30°（两直线平行，内错角相等），
因为∠GEF=∠DEF=30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG=2∠DEF=60°，
所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查平行线性质，折叠性质，掌握平行线性质，折叠性质是解题关键．
49．C
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到答案．
【详解】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，剪下的直角三角形是由两条对角线分割成的4个直角三角形中的一个，若该直角三角形是等腰直角三角形，则剪出的菱形为正方形，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
50．B
【详解】由图可知，图中线段AD⊥BC于点D，
∴点A到线段BC所在直线的距离是线段AD的长度.
故选B.
51．A
【分析】首先三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠E+∠A＝∠EFB，再根据根据平行线的性质得到∠EFB＝∠C．
【详解】∵∠A＝20°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠A+∠E＝20°+30°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠C＝50°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角与外角的关系，关键是熟练掌握①平行线的性质：定理1：两直线平行，同位角相等；定理2：两直线平行，同旁内角互补；定理3：两直线平行，内错角相等；②三角形的内角与外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
52．A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义去判断即可．
【详解】①∠1与∠2是邻补角，并不是同位角，故原题说法错误；
②∠3和∠4互为内错角，故原题说法正确；
③∠1与∠4是对顶角，则∠1＝∠4，故原题说法正确；
④∠5与∠4是同旁内角，但∠4+∠5≠180°，故原题说法错误；
即正确的结论有②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了一条直线截两条直线所成的同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的识别，关键是掌握这四类角的特征，另外应避免同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这种错误的结论．
53．C
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠EDG的度数，再由平行线的性质得出∠CEF度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，根据对顶角的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠EDG是△ADG的外角，
∴∠EDG＝∠A+∠3＝30°+20°＝50°，
∵l1∥l2，
∴∠EDG＝∠CEF＝50°，
∵∠4+∠FEC＝90°，
∴∠4＝90°﹣50°＝40°，
∴∠2＝40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，掌握三角形外角定理和三角形的性质很重要．
54．C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数．
【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，
∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，
46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．
55．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质得，最后根据平角的性质求解即可．
【详解】∵，
∴．
∵OE 平分∠BOC，
∴．
∵OF⊥OE，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．
56．33°．
【分析】根据平行线的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
故答案为：33°．
【点睛】本题考查平行线，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
57．
【分析】由，利用平行线的性质得出∠CFE的度数，结合角平分线的定义可求出∠AFE，由，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠A的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵CF平分∠AFE，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
58．50°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
59．n或180﹣n
【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
60．（1）证明过程见解析；（2）130°
【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠CAD=∠DAB，再通过等量代换得到∠DAB+∠ADF=180°，即可完成求证；
（2）利用平行线的性质得到∠ADE＝∠DAB，∠ CEF＝∠CAB，再利用角平分线的定义和等量代换，得到∠CEF＝2∠ADE，即可完成求解．
【详解】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠DAB，
又∵∠CAD+∠ADF＝180°，
∴∠DAB+∠ADF＝180°，
∴AB∥EF；
（2）∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DAB，∠CEF＝∠CAB，
∵∠CAB=2∠DAB，
∴∠CEF＝2∠ADE，
∵∠ADE＝65°，
∴∠CEF＝2∠ADE＝2×65°＝130°；
∴∠CEF的度数为130°．
【点睛】本题综合考查了角平分线的定义和平行线的判定与性质等，解决本题的关键是理解并能灵活运用相关概念与性质，能正确运用几何语言进行推理表述，本题较基础，考查了学生的基本功．
61．见解析．
【分析】先根据∠1=∠3得出AE∥DB，再由∠2=∠E可知∠4=∠2,故BE∥CD
【详解】证明：，
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
62．（1）∠AOC=∠BOC=60°；（2）30°或150°
【分析】（1）根据角平分线定义即可求出；
（2）当OD⊥OA时，分两种情况，当OD在∠COB内部时，当OD在∠COD外部时，根据∠AOD=90°，∠AOC=60°，利用这两角和与差计算可求；当OD⊥OB时，分两种情况，当OD在∠COA内部时，当OD在∠COA外部时，根据∠BOD=90°，∠BOC=60°，利用这两角的和与差计算即可．
【详解】解：（1）∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，分两种情况
当OD在∠COB内部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COD外部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
当OD⊥OB时，分两种情况
当OD在∠COA内部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COA外部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
故∠COD的度数为30°或150°．
【点睛】本题考查角平分线定义，两直线垂直，直角，角的和差，掌握以上基本知识是解题关键．
63．B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．
【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．
【详解】解∵，（已知）
∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（角平分线性质）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
64．（1）证明过程见解析；（2）不变，∠DEC﹣∠DBF=30°，∠DEC+∠DBA=90°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可证明；
（2）先根据平行线的性质可得出∠DBF＝∠ADB，再利用角平分线的性质得出∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，
∴∠CDA＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴CD∥BA；
（2）不变，理由如下：
∵CB∥DA，
∴∠DBF＝∠ADB，
∵DB平分∠ADF，
∴∠FDB＝∠ADB，
∴∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠EDB＝∠FDE+∠FDB＝∠CDA＝×60°＝30°；
∴∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB＝30°；
∵∠DBA＝∠ABC﹣∠DBF，
∴∠DEC+∠DBA＝∠DEC+60°﹣∠DBF＝30°+60°＝90°．
∴∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值不变，分别是30°和90°．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
第十三章 相交线平行线专项训练
知识点一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，；求的度数.
举一反三：
3．已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
4．（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角 几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角） 几对邻补角？
5．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是 ，∠1的对顶角是 .
知识点二、垂线
6．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是 ．
举一反三：
7．在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（春 会宁县期中）
8．如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
举一反三：
9．如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC．
10．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近 在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远 (分别用文字表述你的结论，不必说明)
举一反三：
11．如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．
12．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【三线八角】
知识点一、“三线八角”模型
13．（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成．
（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？
知识点二、同位角、内错角、同旁内角的辨别
14．如图，
(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗 为什么
举一反三：
（ 江干区一模）
15．下列图形中，和不是同位角的是（ ）.
A． B． C． D．
（秋 太康县期末）
16．如图，用数字标出的八个角中，同位角.内错角.同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．
举一反三：
17．如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
18．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．
举一反三：
19．请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．
知识点三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系
20．如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
举一反三：
21．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ).
A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ；
C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2.
22．下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【平行线的判定】
知识点一、平行线的定义及表示
23．下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
知识点二、平行公理及推论
24．在同一平面内，下列说法
（1）过两点有且只有一条直线
（2）两条不相同的直线有且只有一个公共点
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑷过一点有且只有一条直线与已知直线平行
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D .4个
举一反三：
（春 北京校级期中）
25．下列命题中正确的有( )．
①相等的角是对顶角； ②若a//b，b//c，则a∥c；
③同位角相等； ④邻补角的平分线互相垂直．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点三、两直线平行的判定
（ 福州）
26．下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B． C． D．
举一反三：
27．庆庆在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°第二次向左拐130°
28．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF．
举一反三：
29．已知，如图，平分，平分，且与互余，试判断直线、的位置关系，请说明理由．
30．已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，，求证：．
【平行线的性质】
知识点一、平行线的性质
31．如图，平分，平分，求的度数．
举一反三：
（ 安徽模拟）
32．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
知识点二、两平行线间的距离
（ 六盘水）
33．如图，已知，l1∥l2 ， C1在l1上，并且C1A⊥l2 ，A为垂足，C2， C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1， △ABC2的面积为S2， △ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3， 请帮小颖说明理由．
举一反三：
34．如图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米；
知识点五、平行的性质与判定综合应用
35．如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
举一反三：
36．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
37．如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
举一反三：
38．已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ ．
39．如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点．
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.
举一反三：
40．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
相交线
（ 凉山州一模）
41．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有 对．
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对．
42．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数．
举一反三：
（ 河北模拟）
43．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
44．已知: 如图，∠1 = ∠B，∠2 = ∠3，EF⊥AB于F ， 求证: CD⊥AB ．
平行线的性质与判定
45．如图，，，，试说明.
举一反三：
46．如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是 （ ）
A．∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
B．∠BED＝∠ABE－∠CDE
C．∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
D．∠BED＝∠CDE－∠ABE
47．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC.
实际应用
48．手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF的度数吗？
举一反三：
（山东滨州）
49．如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
补充练习：
（2020春 濉溪县期末）
50．如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A．AC的长度 B．AD的长度 C．AE的长度 D．AB的长度
（2020 安徽模拟）
51．如图，AB∥CD，CE交AB于点F．∠A＝20°，∠E＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
（2020春 西华县期中）
52．如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，下列结论正确的是（ ）
①∠1与∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1＝∠4；④∠4+∠5＝180°．
A．②③ B．②④ C．①③ D．③④
（2020春 蕲春县期中）
53．已知l1∥l2，一块含30°的直角三角板如图所示放置，∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（2020春 瑶海区期末）
54．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
（2020春 金水区校级月考）
55．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOC，OF⊥OE 于 O，若∠AOD＝78°，则∠AOF 等于 ．
（2020秋 大渡口区月考）
56．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝57°，则∠2的度数是 ．
（2020秋 昌图县期末）
57．如图，，且CF平分∠AFE，若，则∠A的度数是 ．
（2020春 涧西区校级月考）
58．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝
（2020春 江岸区校级月考）
59．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为 度．（用n来表示）
（2020秋 鹿城区校级月考）
60．如图，AD是∠BAC的角平分线，点E是射线AC上一点，延长ED至点F，∠CAD+∠ADF＝180°．
（1）试说明AB∥EF．
（2）若∠ADE＝65°，求∠CEF的度数．
（2020春 黄陵县期末）
61．如图，已知，，求证：．
（2020秋 二道区期末）
62．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
（2020秋 宽城区期末）
63．如图，，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵，（已知）
∴∠1=∠ =60°．（ ）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ =180°．（ ）
∴∠ =180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（ ）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（ ）
（2020春 天河区期末）
64．如图，已知射线CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，E，F在射线CB上，且满足DB平分∠ADF，DE平分∠CDF．
（1）求证：CD∥BA；
（2）若左右平移AB，则∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．
参考答案：
1．证明过程见解析
【分析】根据角平分线的性质及对顶角的特点求出∠MON=∠AON+∠AOM=180°，故可得到OM和ON共线．
【详解】∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义），
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠AOM=∠BON（等量代换），
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），
∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线．
【点睛】此题主要考查邻补角的应用，解题的关键是熟知角平分线与对顶角的性质．
2．120°
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠BOF的角度，再根据∠AOF＝180－∠BOF即可．
【详解】解：因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠EOB.
又因为∠AOD：∠DOE＝4：1，∠AOD＋∠DOE＋∠EOB＝180°，
所以∠DOE＝∠EOB＝180°×＝30°，∠AOD＝120°，
所以∠COB＝∠AOD＝120°，
因为OF平分∠COB，
所以∠BOF＝60°．
所以∠AOF＝180°－60°＝120°．
3．
【分析】令的答案分别是32°，87°，58°，分别计算出α的值，再找到钝角即可．
【详解】解：若=32°，则∠α=80°，不合题意；
若=87°，则∠α=217.5°，不合题意；
若=58°，则∠α=145°，所以∠α=145°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据题意列出方程是解题的关键．
4．（1）2对对顶角，4对邻补角；（2）图中共有12对对顶角，24对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义判断即可；
（2）先将图（2）拆分成如图的形式，再根据（1）的结论判断即可．
【详解】解：（1）根据题图可知，图中共有2对对顶角，4对邻补角；
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)；
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角；
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
5． ∠2，∠4 ∠3
【详解】根据对顶角和邻补角的定义解答，注意两直线相交，一个角的对顶角只有一个，但邻补角有两个．
解：由图形可知，∠1的对顶角是∠3，
∠1的邻补角是∠2和∠4．
6．①②
【分析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断．
【详解】解：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直，正确；
②一条直线的垂线有无数条，正确，过任意一点都可以作；
对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点无数条直线与已知直线垂直，当这点在直线外时，过这点也有无数条直线与已知直线垂直，故③错误；
④错误，必须是两个邻角相等，如下图：
故答案为：①②．
【点睛】此题主要考查垂线的定义，解题的关键是熟知相交直线之间的特点与垂直的定义．
7．D
【分析】根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来．
【详解】解∶由题意可得∶是点与直线的最短距离问题，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，属于基础题型．
8．∠2＝60°，∠3＝30°
【分析】根据对顶角相等可得∠3＝∠1＝30°，再由垂直可得∠BOD＝90°，根据∠2＝90°﹣∠1即可算出度数．
【详解】解：∵直线AB和EF交于点O，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°.
【点睛】此题主要考查了对顶角，以及垂直的定义，题目比较简单，要注意领会由垂直得直角这一要点．
9．证明过程见解析
【分析】根据平分线的性质可得∠1=∠2，根据OM ⊥ON，得，再根据平角的定义可得：，则∠3=∠4，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵OM平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
又∵OM ⊥ON，
∴，
∵，
∴
∴∠3=∠4，
∴ ON平分∠BOC；
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
10．（1）作图见解析；（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【分析】（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以，．
（2）观察图形可以得到在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【详解】解：(1)过点M作，垂足为P，过点N作，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．
(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．
11．作图见解析
【分析】根据垂线的定义作图即可得答案．
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查垂线的作图，垂线的定义是两条直线相交，一角成直角，两线相互垂直，则一条直线叫另一条直线的垂线．
12．D
【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
13．(1) EF，CD；AB；（2）不是 ．
【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；
（2）根据三线八角的定义求解即可；
【详解】解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．
所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．
（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．
【点睛】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．
14．（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角；
【分析】（1）根据“三线八角”模型，截直线和，得到和为同位角；
（2）与是同旁内角，两角的一个边在直线上，截线是直线，被截直线为、；
（3）与没有公共边，没有被截直线，因此不是同位角．
【详解】解：（1）由图形可知，截线为，被截直线为和
根据“三线八角”模型可知和为同位角；
（2）与是同旁内角，观察图形可知直线是这两个角的公共边，
∴为被截直线，、为被截直线；
（3）不是，理由如下：
∵与没有公共边
∴和不是“三线八角”模型中的角
∴和不是同位角．
【点睛】此题主要考查了“三线八角”模型中角的关系，熟练掌握“三线八角”模型是解决本题的关键．
15．C
【分析】根据同位角的定义特点来分析判断即可：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【详解】根据同位角的定义判断，A，B，D是同位角，
故选C．
【点睛】此题主要考查了同位角，熟练掌握其定义是解题的关键．
16．同位角：∠2与∠8，∠3与∠7，∠4与∠6；内错角：∠1与∠4，∠2与∠6，∠3与∠5，∠4与∠8,；同旁内角：∠2与∠4，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠5.
【分析】根据两直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两边，可得内错角，根据两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角的位置相同，可得同位角．
【详解】同位角：∠2与∠8，∠3与∠7，∠4与∠6；
内错角：∠1与∠4，∠2与∠6，∠3与∠5，∠4与∠8；
同旁内角：∠2与∠4，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠5.
【点睛】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，注意同位角、内错角，同旁内角都是相对于角的位置而言．
17．同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；内错角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠5在截线AC同侧，在被截直线BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截线CE的上方，被截直线DB、EB的左侧，
∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2对；
∵∠2和∠3在截线BD两侧，被截直线AC与CE内部；∠1和∠4在截线BE两侧，被截直线AC与CE内部，
∴内错角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2对；
∵∠3和∠5在截线CD同侧，被截直线CB与DB内部；∠4和∠5在截线CE同侧，被截直线CB与EB的内部；∠4和∠2在截线BE同侧，被截直线DB与DE的内部，
∴同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3对.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
18．同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解．
【详解】
如图，可分解成三个基本图形，
由图(1)得内错角：∠A和∠ACD；
由图(1)得同位角：∠B和∠ACD；
由图(1)得同旁内角：∠B和∠BCA, ∠B和∠A,∠A和∠BCA；
由图(2)得同位角：∠B和∠ECD；
由图(2)得同旁内角：∠B和∠BCE；
由图(3)得内错角：∠A和∠ACE；
综上所述：
同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；
内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；
同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
19．∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.
【分析】根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；
内错角有：∠2与∠8，∠3与∠5；
同旁内角有：∠2与∠5，∠3与∠8.
【点睛】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
20．(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【分析】（1）根据同位角、内错角和同旁内角的定义求解；
（2）由,根据对顶角相等，邻补角互补，等量代换即可求得．
【详解】(1)两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角；
根据概念得：
∠1和∠2是内错角；
∠1和∠3是同旁内角；
∠1和∠4是同位角．
因为题目中没有说明两直线平行，所以每组中两角的大小均不确定．
(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知），
∠4＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）；
② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)，
∠1＝∠4(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°（等量代换），
即∠1和∠3互补；
综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、同位角、内错角和同旁内角的定义，解题关键是掌握同位角、内错角和同旁内角的概念．
21．D
【分析】根据同位角的定义和平行线的性质判断即可．
【详解】∵只有两直线平行时，同位角才可能相等，
∴根据已知∠1与∠2是同位角可以得出∠1=∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2，
三种情况都有可能，
故选D．
【点睛】本题考查了同位角和平行线的性质，能理解同位角的定义是解此题的关键．
22．C
【分析】对每个命题仔细分析，判断其对错．
【详解】解：①、两条直线相交，同角的补角一定相等，这两条直线不一定垂直，错误；
②、两条直线相交，一角与其邻补角互补且相等，则这两条直线垂直；正确．
③、内错角相等，则它们的角平分线互相平行，错误．
④、同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的性质和垂线等知识点，不是很难，但是要细心分析．
23．D
【详解】根据平行线的描述，不相交的两条直线是平行线，故选D.
24．B
【详解】（1）过两点有且只有一条直线，正确；
（2）∵两条不相同的直线相交时有且只有一个公共点，平行时没有公共点，故不正确；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
⑷∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确；
∴正确的有（1）和（3）.
故选B.
25．C
【详解】考点：平行公理及推论；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．
分析：根据对顶角的定义以及平行公理及推论和邻补角的性质分别进行判断即可得出答案．
解答：解：①相等的角是对顶角； 根据对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；根据平行于同一直线的两条直线平行，故此选项正确；
③同位角相等；根据两直线平行，同位角相等，故此选项错误，
④邻补角的平分线互相垂直，根据角平分线的性质得出，邻补角的平分线互相垂直．
已知：AB，CD相交于O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD，
证明：∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠AOF=（∠AOC+∠AOD）=90°，
∴OE⊥OF．
故此选项正确．
∴正确的有2个．
故选C．
点评：此题主要考查了平行公理及推论以及对顶角的定义和平行线的性质以及邻补角的定义等，熟练掌握其定义是解题关键．
26．A
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．
【详解】解：A、由∠1＝∠2能得到AB∥CD；
B、∠1、∠2是同旁内角，由∠1＝∠2不能得到AB∥CD；
C、∠1＝∠2能得到AC∥BD, 不能得到AB∥CD；
D、由∠1＝∠2不能得到AB∥CD．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．
27．A
【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．
【详解】解：A、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，故本选项符合题意；
B、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项不符合题意；
C、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项不符合题意；
D、如图：两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向不相同，故本选项吧符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．
28．见解析
【详解】证明 如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°．
在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN，
所以AB∥CM，EF∥ND．
因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°，
所以∠DCM＝∠CDN．
所以CM∥ND，所以AB∥EF．
29．AB∥CD，理由详见解析
【分析】根据平分，平分得到与的关系和与的关系，再根据与互余，得到与互补，从而得到AB∥CD．
【详解】解：AB∥CD，理由如下：
∵平分，平分，
∴＝2，＝2．
又∵+＝90°，
∴+＝180°．
∴AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和角平分线的意义，解决本题的关键是用角平分线得到＝2，＝2．
30．见解析
【分析】根据垂直的定义得到，，得到，推出，推出，即可得到结论．
【详解】证明：∵ABBD于B，CDBD于D，
∴，
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
31．90°
【分析】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．
【详解】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°，
∵PG∥AB，
∴∠BAP＝∠APG，PG∥CD，
∴∠GPC＝∠PCD，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAP＝∠BAC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠BAP＋∠PCD＝∠BAC＋∠ACD＝90°，
∴∠APC＝∠APG＋∠CPG＝∠BAP＋∠CDP＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行公理，平行线的性质定理，掌握“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，是解题的关键．
32．B
【分析】过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
33．S1=S2=S3
【详解】试题分析：根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答．
试题解析：解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
考点：平行线之间的距离；三角形的面积．
34．35
【分析】利用图形分割法,构造两个正方形和拐角线,利用正方形的周长计算即可
【详解】如图，根据题意,将图形分割成一个边长为3,边长为5的正方形,余下线长为1+2=3,
故螺线总长度为：3×4+5×4+3=35，
故答案为：35.
【点睛】本题考查了螺线长度的计算，适当分割构造正方形是解题的关键．
35．960(m2)
【分析】把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根据总种植花草的面积列出式子求解即可．
【详解】解：如图所示②
把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
那么，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
所以，种植花草部分的面积为960m2．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
36．B
【详解】由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：20m，30m，
所以，可以得出路的总面积为：20×1+30×1-1×1=49m2，
又知该矩形的面积为：20×30=600m2，
所以，耕地的面积为：600-49=551m2．
故选B.
37．∠B＝∠E；AB∥DE；BC∥EF；理由见解析．
【分析】根据平行线的性质及判定定理即可得答案；
【详解】可由①②说明③成立，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠CKD．
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠CKD，
∴BC∥EF．
故答案为：∠B＝∠E；AB∥DE；BC∥EF；（答案不唯一）
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
38．115°
【分析】根据图形与已知可以得到∠1=∠CGE，则AB//CD，根据平行的性质得到∠4=∠FHD=180°-∠3，得出结论．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠2=∠CGE，
∴∠1=∠CGE，
∴AB//CD，
∴∠4=∠FHD，
∵∠3=65°，∠3+∠FHD=180°，
∴∠4=∠FHD=180°-∠3=180°-65°=115°，
故答案为：115°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质．平行的判定定理要掌握：同位角相等，两直线平行，
解题关键在于利用对顶角相等，等量代换出同位角．
39．（1）75°；（2）∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND，证明过程见解析；（3）∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N
【分析】（1）过P1作P1E∥AB，进而利用∠1=∠BMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，求出即可；
（2）分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，由平行线的性质可知，∠1=∠AMP1，∠FP2P1=∠P2P1E，∠FP2N=∠4，所以∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，故∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；
（3）分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，从而可得∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，进而得到∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．
【详解】解：（1）过P1作P1E∥AB，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥CD，
∴∠1=∠BMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，
∴∠MP1N=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
（2）结论：∠AMP1+∠P1P2N＝∠MP1P2+∠P2ND，
分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD，
∴∠1=∠AMP1，∠2=∠3，∠P2ND=∠4，
∴∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，
∴∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；
（3）∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N；
分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD∥P3H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，
∴∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．
40．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
41． 90 n（n﹣1）
【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；
（2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可．
【详解】解：（1）如图①
两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，
故答案为：90；
（2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．
42．50°或130°
【分析】分两种情况：①直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角；②直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，分别画出图形，进而即可求解．
【详解】解：分两种情况：
第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°，
∵∠COE＝40°，
∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝50°；
第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝40°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°．
综上所述：∠BOD=50°或130°．
【点睛】本题主要考查角的和与差，垂直的定义，对顶角的性质，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
43．C
【详解】试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，
∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，
∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；
故选C．
考点：垂线．
44．证明过程见解析
【分析】根据∠1 = ∠B，得到MD∥BC，∠2＝∠BCD，通过等量代换，得到∠3＝∠BCD，则EF∥CD，最后得出结论．
【详解】证明：∵∠1＝∠B，
∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2 ＝∠3（已知）
∴∠3＝∠BCD
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵EF⊥AB（已知）
∴CD⊥AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，关键性质定理与判定定理二者之间的区别以及正确掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．
45．见解析
【详解】解：过E点作EF∥AB，则∠B=∠3，
又∵∠1=∠B，
∴∠1=∠3．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠4=∠D，
又∵∠2=∠D，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°即∠BED=90°，
∴BE⊥ED．
46．C
【分析】当E在AB的上方时，过E作EF∥AB，因为CD∥AB，所以EF∥CD，于是得到∠FED=∠3，∠1=∠2，故∠BED=∠FED-∠FEB=∠CDE-∠ABE；若E在DC的下方时同理可得∠BED=∠ABE-∠CDE，然后即可得到题目的结果．
【详解】
如图，当E在AB的上方时，
过E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠3，∠1=∠2，
故∠BED=∠FED-∠FEB=∠CDE-∠ABE；
当E在DC的下方时，
同理可得∠BED=∠ABE-∠CDE．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线，根据平行线的性质即可求出结论．
47．证明见解析
【详解】证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠FBC.
∵DE平分∠ADC，
∴∠2＝∠ADE.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＋∠FBC＝∠2＋∠ADE，
∴2∠1＝2∠2，即∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥DC.
48．120°
【分析】由平行线的性质可得∠DEF=∠EFG=30°，由折叠性质可得∠GEF=∠DEF=30°，可求∠DEG，再利用平行线性质可求∠EGC即可．
【详解】解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF=∠EFG=30°（两直线平行，内错角相等），
因为∠GEF=∠DEF=30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG=2∠DEF=60°，
所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查平行线性质，折叠性质，掌握平行线性质，折叠性质是解题关键．
49．C
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到答案．
【详解】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，剪下的直角三角形是由两条对角线分割成的4个直角三角形中的一个，若该直角三角形是等腰直角三角形，则剪出的菱形为正方形，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
50．B
【详解】由图可知，图中线段AD⊥BC于点D，
∴点A到线段BC所在直线的距离是线段AD的长度.
故选B.
51．A
【分析】首先三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠E+∠A＝∠EFB，再根据根据平行线的性质得到∠EFB＝∠C．
【详解】∵∠A＝20°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠A+∠E＝20°+30°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠C＝50°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角与外角的关系，关键是熟练掌握①平行线的性质：定理1：两直线平行，同位角相等；定理2：两直线平行，同旁内角互补；定理3：两直线平行，内错角相等；②三角形的内角与外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
52．A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义去判断即可．
【详解】①∠1与∠2是邻补角，并不是同位角，故原题说法错误；
②∠3和∠4互为内错角，故原题说法正确；
③∠1与∠4是对顶角，则∠1＝∠4，故原题说法正确；
④∠5与∠4是同旁内角，但∠4+∠5≠180°，故原题说法错误；
即正确的结论有②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了一条直线截两条直线所成的同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的识别，关键是掌握这四类角的特征，另外应避免同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这种错误的结论．
53．C
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠EDG的度数，再由平行线的性质得出∠CEF度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，根据对顶角的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠EDG是△ADG的外角，
∴∠EDG＝∠A+∠3＝30°+20°＝50°，
∵l1∥l2，
∴∠EDG＝∠CEF＝50°，
∵∠4+∠FEC＝90°，
∴∠4＝90°﹣50°＝40°，
∴∠2＝40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，掌握三角形外角定理和三角形的性质很重要．
54．C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数．
【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，
∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，
46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．
55．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质得，最后根据平角的性质求解即可．
【详解】∵，
∴．
∵OE 平分∠BOC，
∴．
∵OF⊥OE，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．
56．33°．
【分析】根据平行线的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
故答案为：33°．
【点睛】本题考查平行线，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
57．
【分析】由，利用平行线的性质得出∠CFE的度数，结合角平分线的定义可求出∠AFE，由，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠A的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵CF平分∠AFE，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
58．50°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
59．n或180﹣n
【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
60．（1）证明过程见解析；（2）130°
【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠CAD=∠DAB，再通过等量代换得到∠DAB+∠ADF=180°，即可完成求证；
（2）利用平行线的性质得到∠ADE＝∠DAB，∠ CEF＝∠CAB，再利用角平分线的定义和等量代换，得到∠CEF＝2∠ADE，即可完成求解．
【详解】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠DAB，
又∵∠CAD+∠ADF＝180°，
∴∠DAB+∠ADF＝180°，
∴AB∥EF；
（2）∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DAB，∠CEF＝∠CAB，
∵∠CAB=2∠DAB，
∴∠CEF＝2∠ADE，
∵∠ADE＝65°，
∴∠CEF＝2∠ADE＝2×65°＝130°；
∴∠CEF的度数为130°．
【点睛】本题综合考查了角平分线的定义和平行线的判定与性质等，解决本题的关键是理解并能灵活运用相关概念与性质，能正确运用几何语言进行推理表述，本题较基础，考查了学生的基本功．
61．见解析．
【分析】先根据∠1=∠3得出AE∥DB，再由∠2=∠E可知∠4=∠2,故BE∥CD
【详解】证明：，
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
62．（1）∠AOC=∠BOC=60°；（2）30°或150°
【分析】（1）根据角平分线定义即可求出；
（2）当OD⊥OA时，分两种情况，当OD在∠COB内部时，当OD在∠COD外部时，根据∠AOD=90°，∠AOC=60°，利用这两角和与差计算可求；当OD⊥OB时，分两种情况，当OD在∠COA内部时，当OD在∠COA外部时，根据∠BOD=90°，∠BOC=60°，利用这两角的和与差计算即可．
【详解】解：（1）∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，分两种情况
当OD在∠COB内部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COD外部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
当OD⊥OB时，分两种情况
当OD在∠COA内部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COA外部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
故∠COD的度数为30°或150°．
【点睛】本题考查角平分线定义，两直线垂直，直角，角的和差，掌握以上基本知识是解题关键．
63．B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．
【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．
【详解】解∵，（已知）
∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（角平分线性质）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
64．（1）证明过程见解析；（2）不变，∠DEC﹣∠DBF=30°，∠DEC+∠DBA=90°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可证明；
（2）先根据平行线的性质可得出∠DBF＝∠ADB，再利用角平分线的性质得出∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，
∴∠CDA＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴CD∥BA；
（2）不变，理由如下：
∵CB∥DA，
∴∠DBF＝∠ADB，
∵DB平分∠ADF，
∴∠FDB＝∠ADB，
∴∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠EDB＝∠FDE+∠FDB＝∠CDA＝×60°＝30°；
∴∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB＝30°；
∵∠DBA＝∠ABC﹣∠DBF，
∴∠DEC+∠DBA＝∠DEC+60°﹣∠DBF＝30°+60°＝90°．
∴∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值不变，分别是30°和90°．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．