泸教版七年级数学下学期期末专项复习-第十二章实数【专项训练】（含解析）
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| 名称 | 泸教版七年级数学下学期期末专项复习-第十二章实数【专项训练】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-29 11:45:13 | ||
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第十二章 实数【专项训练】-七年级数学下学期期末专项复习 （沪教版）
第十二章 实数专项训练
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m的值．
举一反三：
【变式】
2．已知2－1与－＋2是的平方根，求的值．
3．为何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）； （3）； （4）．
举一反三：
【变式】
4．已知，求的算术平方根．
知识点二、平方根的运算
5．求下列各式的值．
（1）；（2）．
知识点三、利用平方根解方程
6．求下列各式中的．
（1）
（2）；
（3）
举一反三：
【变式】
7．求x的值：（x﹣2）2=4．
知识点四、平方根的综合应用
8．若x，y为实数，且满足．求的值．
举一反三：
【变式】
9．若，求的值．
10．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明．
知识点五、立方根的概念
11．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
举一反三：
【变式】
12．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
知识点六、立方根的计算
13．求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
举一反三：
【变式】
14．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
知识点七、利用立方根解方程
15．求下列各式中x的值：
（1）3（x﹣1）3=24．
（2）（x+1）3=﹣64．
举一反三：
【变式】
16．求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，则＝ ；
（2）若－3＝213，则＝ ；
（3）若＋125＝0，则＝ ；
（4）若＝8，则＝ ．
知识点八、立方根实际应用
17．在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
举一反三：
【变式】
18．将棱长分别为acm和bcm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体铝块的棱长为________cm．(不计损耗)
知识点九、次方根的运算
19．（1）求的5次方根；
（2）求的6次方根．
知识点十、实数概念
20．把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
举一反三：
【变式】
21．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
知识点十一、实数大小的比较
22．比较与的大小．
举一反三：
【变式】
23．若两个连续整数x，y满足x＜＋1＜y，则x＋y的值是 ．
知识点十二、实数的运算
24．求的值．
举一反三：
【变式】
25．若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
知识点十三、实数的综合运用
26．已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为 ．
举一反三：
【变式】
27．已知，求的值．
知识点十四、近似数和有效数字
28．下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位，各有几个有效数字.
（1） （2）亿； （3）
知识点十五、分数指数幂的运算
29．把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
举一反三：
【变式】
30．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A． B． C． D．
31．口算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
举一反三：
【变式】
32．口算：（1）；（2）；（3）．
33．用计算器计算，结果保留三位小数：
（1）；（2）；（3）．
34．计算：
（1） ；（2） ；（3）；（4）
实数章节题型总结：
知识点一、有关方根的问题
35．一个正数 m 的平方根是 2a 3 与 5 a ，求 a和 m．
举一反三：
【变式1】
36．已知，求的平方根．
【变式2】
37．若和互为相反数，试求的值．
38．已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根.
知识点二、与实数有关的问题
39．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求(－a)3＋(b＋3)2的值.
举一反三：
【变式】
40．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
41．阅读理解，回答问题．
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜．
例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：
∵
∴
请你参考小东同学的作法，比较与的大小．
举一反三：
【变式】
42．实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；
43．用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数
（1）万（精确到千位）；（2）12 341 000（精确到万位）；（3）0.030 56（保留3个有效数字）
44．计算：
（1） ；（2） ；（3）；（4）
知识点三、实数综合应用
45．已知a、b满足，解关于x的方程.
举一反三：
【变式】
46．设、、都是实数，且满足，求代数式的值．
47．学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.小明的方法：
因为，
所以设，则.
所以，所以，解得.
所以．
（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例概括出估算的公式：已知非负整数a，b，m，若，且，则________（用含a，b的代数式表示）
（3）请用（2）中的结论估算的近似值.
补充练习：
一、单选题（共6小题）
48．下列六个数：0、、、、－、中，无理数出现的频数是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
49．的值为( )
A． B． C． D．
50．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
51．若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
52．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
53．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
二、填空题（共6小题）
54．计算： ．
55．已知实数，满足那么代数式的值为 ．
56．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ．
57．若a，b为实数，且|a﹣1|+＝0，则（a+b）2020的值为 ．
58．把无理数， ， ，-表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
59．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是 ．
三、解答题（共4小题）
60．计算：
（1）．
（2）．
61．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题：
（1）比较大小：a﹣1 0；b+1 0；c+1 0；
（2）化简﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|．
62．计算．
（1）已知、满足，且，求的平方根．
（2）已知实数、，在数轴上的对应点如图所示，化简．
（3）已知、满足，求的值．
63．先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？
解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．
解答问题：已知y2，求xy的值．
参考答案：
1．1或-3.
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】解：当2m-4=3m-1时，m=-3，
当2m-4+3m-1=0时，m=1．
故答案为1或-3．
【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m-4与3m-1相等或互为相反数是解题的关键．
2．1或9．
【分析】根据平方根的性质列出方程，得出a的值，即可得出m的值
【详解】解：2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数．
①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝
②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以
【点睛】本题考查了平方根的性质和解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键
3．（1）取任何值；（2）x≥4；（3）；（4）且．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件加以判断即可．
【详解】解：(1)∵，
∴当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，
解得，
∴当时，有意义．
(3)由题意可知：，
解得，．
∴当时，有意义．
(4)由题意可知：，
解得，且．
∴当且时，有意义．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，熟知二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
4．．
【分析】根据算术平方根的定义可得解不等式组，求出a,b，代入求值即可．
【详解】解：根据题意，得
则，
∴＝2，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题考核知识点：算术平方根，解不等式组．理解算术平方根定义和解不等式组方法是关键．
5．（1）35；（2）-1.7
【分析】（1）根据实数的性质化简即可求解；
（2）根据实数的性质化简即可求解．
【详解】解：(1) ；
(2)．
【点睛】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
6．（1） ；（2）＝16或＝－18；（3）或
【分析】用直接开平方解方程即可
【详解】（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18．
（3）∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，开平方法是解题的关键．
7．x1=8，x2=﹣4．
【分析】根据平方根的性质定义即可求解．
【详解】解：∵（x﹣2）2=4，
∴（x﹣2）2=36，
∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，
解得：x1=8，x2=﹣4．
【点睛】此题主要考查平方根的应用，解题的关键是熟知平方根的性质特点．
8．1
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
则原式=．
【点睛】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可．
9．2或0．
【分析】根据算术平方根的非负性求出x，y，故可求解．
【详解】解：由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知算术平方根的非负性．
10．不能剪出符合要求的纸片；理由见解析．
【分析】首先设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽，然后与正方形的边长进行比较大小，如果大于正方形边长则不能剪出．
【详解】解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，
根据题意得：3x·2x=300，
解得：x=5 或x=-5(舍去)，
则3x=15cm， 2x=10cm，
∵正方形的面积为400，
∴边长为20cm，
∵15cm＞20cm ，
∴不能剪出符合要求的纸片．
11．D
【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 64的立方根是4，故错误；
B. 是的立方根，故错误；
C. 立方根等于本身的数只有0，1和-1，故错误；
D. ，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是了解立方根的定义及求法．
12．（1）成立；（2）-1
【试题分析】举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数；
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.
【试题解析】（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立.
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1.
【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.
13．（1）；（2）9；（3）；（4）1；（5）
【分析】（1）根据立方根的定义即可化简求解；
（2）根据立方根的定义即可化简求解；
（3）根据立方根的定义即可化简求解；
（4）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解；
（5）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解．
【详解】解：（1）
（2）=
（3）
（4）
（5）．
【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方．
14． －0.2
【分析】根据实数的性质依次化简即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
故答案为：－0.2；；；．
【点睛】此题主要考查实数的性质化简，解题的关键是熟知立方根的定义．
15．（1）x=3；（2）x=﹣5．
【分析】（1）先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．
（2）先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．
【详解】解：（1）3（x﹣1）3=24，
（x﹣1）3=8，
x﹣1=2，
∴x=3．
（2）开立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5．
【点睛】本题是用开立方的方法解方程，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
16． 0.7 6 －5 3
【分析】（1）利用立方根的定义解答即可；
（2）利用立方根的定义解答即可；
（3）利用立方根的定义解答即可；
（4）利用立方根的定义解答即可．
【详解】（1）∵＝0.343，
∴＝=0.7；
（2）∵－3＝213，
∴＝216，
∴＝=6；
（3）∵＋125＝0，
∴=-125，
∴＝=-5；
（4）∵＝8，
∴a-1=2，
∴＝3．
故答案为： 0.7； 6；－5； 3．
【点睛】本题考查了利用立方根解方程，熟练利用立方根的定义是解决问题的关键．
17．烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4
【分析】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积．
【详解】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为，可列方程解得
设烧杯内部的底面半径为，可列方程，解得6．
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 ．
【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍．本题体现与物理学科的综合．
18．
【详解】棱长为acm，bcm的正方体铝块的体积分别为a3cm3，b3cm3，它们熔化后制成的大正方体铝块的体积为(a3＋b3)cm3，故大正方体铝块的棱长为cm．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据，故可求解．
【详解】解：（1）∵
∴；
（2）∵，
∴的6次方根为．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．
20．有理数有：， ，，，0；无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【分析】根据有理数和无理数的定义分析即可．有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数．
【详解】有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【点睛】常见的无理数有三种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，如：0．3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，．
21． 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可
【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误．
(2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．
(3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误．
(4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误．
(5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．
(6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误．
(7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．
(8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
22．＜．
【分析】根据，，可得，据此即可求解．
【详解】解：因为，，
∴，，
即，．
故：＜
【点睛】本题考查实数的大小比较，实数的比较有多种方法，关键是求出和的取值范围，除了上述方法外，还有作商法、同分子法、倒数法等．
23．7
【详解】试题解析：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
故答案为7．
24．0或2．
【分析】分≥0和＜0两种情况进行讨论即可
【详解】解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
25．（1）4；（2）4．
【分析】（1） 设的平方根为，，根据题意可得方程组，解方程组求得，由此即可求得a的值；
（2）先求 的值，再求其算术平方根即可．
【详解】（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：，
解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用平方根互为相反数得出方程组是解题的关键．
26．12．
【分析】由非负数的性质可得a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，由此可得a=﹣6，b2﹣2b=3，再用整体思想求2b2﹣4b﹣a的值即可．
【详解】∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣4b=6，
则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种知识点的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
27．3．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【点睛】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
28．（1）1, 2，0；（2）1,4,9；（3）3,0；
【分析】有效数字可以从左边第一个不是0的数开始数起；精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】（1）精确到百分位，有三个有效数字1, 2，0；
（2）亿精确到百万位，有三个有效数字1,4,9；
（3）精确到千位，有两个有效数字3,0；
【点睛】主要考查了近似数和有效数字的确定．从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
29．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据分数指数幂的定义即可求解；
（2）根据分数指数幂的定义即可求解；
（3）根据分数指数幂的定义即可求解；
（4）根据分数指数幂的定义即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查分数指数幂的换算，解题的关键是熟知，其中为正整数，．
30．D
【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D
【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义．理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键．
31．（1）4；（2）3；（3）12；（4）4．
【分析】（1）可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值；
（2）可将分数指数幂表示成立方根的形式再求值；
（3）可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值；
（4）可将分数指数幂表示成四次方根的形式再求值；
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了分数指数幂，求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数．
32．口算：（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系即可解决；
（2）根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决；
（3）根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系，熟练掌握它们是本题的关键．
33．（1）；（2）；（3）．
【分析】根据用计算器求出一个分数指数幂的方法求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系．
34．（1） 6；（2） 225；（3）1125；（4）
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（3）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（4）根据有理数指数幂的运算性质计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算性质，熟练运用有理数指数幂的运算性质是解决问题的关键．
35．a=-2；m=49．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得方程（2a-3）+（5-a）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得m的两个平方根，由此即可求得m的值．
【详解】∵一个正数m的平方根为2a-3和5-a，
∴（2a-3）+（5-a）=0，
解得：a=-2．
∴2a-3=-7，5-a=7，
∴m=（±7）2=49．
【点睛】本题考查了平方根的定义，正数的平方根有两个是互为相反数，正的平方根叫算术平方根；负数没有平方根，零的平方根是零．
36．±3
【分析】根据算术平方根有意义的条件得出x的值，再求出y的值，得到结果．
【详解】解：由题意得：
解得＝2
∴＝3，，
∴的平方根为±3．
【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
37．1．
【分析】根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，
∴＝1．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
38．±2
【分析】估算得出整数a的值，求出之和确定出M，求出不等式的最大整数确定出N，进而确定出M+N的平方根．
【详解】解：∵，∴整数a=﹣1，0，1，2，它们的和M=﹣1+0+1+2=2，
∵，∴N=2，
∴M+N=2+2=4，4的平方根是±2．
∴M＋N的平方根是±2.
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键．
39．－17
【分析】因为所以的整数部分为，小数部分为代入求解即可.
【详解】
的整数部分为，小数部分为，
∴，
，
.
【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值，正确求得a和b值是解答的关键.
40．D
【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数，即可估算的值.
【详解】本题考查二次根式的估值．∵，∴，∴．
一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：
选项 逐项分析 正误
A 若 ×
B 若 ×
C 若 ×
D 若 √
【点睛】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.
41．＜
【分析】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小．
【详解】解：∵
∴＜
【点睛】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择．
42．
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可
【详解】
又两边同时乘以
两边同时除以
将表示在数轴上：
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
43．（1）或表示为万；（2）；(3) 0.030 6
【分析】根据四舍五入的方法按要求计算即可；
【详解】（1）万=或表示为万；
（2）12 341 000=；
（3） 0.030 56≈0.030 6；
【点睛】本题主要考查了近似数的计算，准确计算和理解是解题的关键．
44．（1） 8；（2） 36；（3）576；（4）
【分析】（1）根据幂的运算公式即可变形求解；
（2）根据幂的运算公式即可变形求解；
（3）根据幂的运算公式即可变形求解；
（4）根据幂的运算公式即可变形求解．
【详解】解：（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的根据是熟知有理数指数幂的运算法则．
45．x=4．
【详解】试题分析：根据如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，可得a，b的值，再将a，b的值代入到方程中得到关于x的一元一次方程.
试题解析：
根据题意得，2a+8=0，b﹣ =0， 解得a=﹣4，b= ，
所以（﹣4+2）x+3=﹣4﹣1，即﹣2x=﹣8，
解得x=4．
点睛：当一元一次方程中含有字母系数时，一般需要根据题目中的已知条件求出字母系数的值，再将所求得的字母系数的值代入到原方程中，得到关于未知数的一元一次方程，再来求解.
46．0
【分析】根据非负性列出方程组求出a，b，c即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得
∴．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知平方、二次根式及绝对值的非负性．
47．（1）6.24；（2）；（3）6.08.
【分析】（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出=6+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解．
【详解】（1）因为，
所以设，则，
所以，所以，解得，
所以．
（2）
设，所以.因为，所以，解得，所以.
（3）因为，所以，，所以，
所以.
【点睛】本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题．
48．A
【分析】根据无理数的概念即可作答.
【详解】解：∵其中无理数有：，，；∴无理数出现的频数是3，
故选：A.
【点睛】本题考查无理数的概念，是中考的常考题，掌握无理数的内涵是基础.
49．A
【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
【详解】原式
；
故答案为：A.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
50．C
【分析】根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可．
【详解】解：∵x为实数，且＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴＝±3，
故选：C．
【点睛】此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数．
51．D
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
【详解】由f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.
52．B
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③+＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识；理解相关定义是关键．
53．B
【分析】将化简得，先估算的取值范围，再估算出的取值范围，进而确定在数轴上的位置即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴在点A和点B之间
故选：B．
【知识点】本题主要考查了数轴上表示实数的点所在位置的确定，准确对实数进行计算并估算取值范围是解决本题的关键．
54．2
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而求出答案；
【详解】解：原式=.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
55．1．
【分析】根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可．
【详解】由题意可知，
，，
∴
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键．
56．
【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算．
【详解】由题意得：
==2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可．
57．1
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵|a﹣1|+＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴（a+b）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知算术平方根、绝对值的非负性．
58．
【详解】∵，，，且被墨迹覆盖的数在3至4之间，
∴上述四个数中被墨迹覆盖的数是
故答案为：
59．6560
【分析】由结果反向求出第三次参与运算的最大数，再求出第二次参与运算的最大数，最后求出第一次参与运算的最大数即可．
【详解】∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[]＝2，
∴第2次的结果为8，
∴第2次参与运算的最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[]＝8，
∴第1次的结果为80，
∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[]＝80，
也就是，6560[]＝80[]＝8[]＝2，
故答案为：6560．
【点睛】本题考查无理数大小的估算，理解新定义[x]的意义是解答本题的关键．
60．（1）2；（2）5
【分析】（1）根据平方，立方根、算术平方根法则计算，再合并即可；
（2）先利用二次根式乘法分配律去括号和绝对值符号，再计算即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查二次根式与实数的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．
61．（1），，；（2）
【分析】（1）根据数轴得出，再比较大小即可；
（2）根据、和去掉绝对值符号，再算加减即可．
【详解】（1）从数轴可知：，
所以，，，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知：，，，
所以
．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较、数轴、绝对值计算，通过数轴比较字母大小并进行取绝对值计算是解决本题的关键．
62．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据几个非负数和为0求出a、b的值，再根据立方根定义求出c的值，最后代入计算即可；
（2）先根据二次根式性质化简，最后根据数轴去绝对值即可；
（3）根据二次根式有意义求出x、y的值代入计算即可.
【详解】（1），
∵，且，
∴且，
∴，
∵，
∵，
∵
，
∴的平方根为．
（2）由数轴可知，，，
∴原式
．
（3）由题意可得：
，且，
∴，
，
，
又∵为分母，．
∴，
，
∴，
将代入式子得
，
，
原式
．
【点睛】本题考查平方根、立方根的性质和定义，熟记性质是解题的关键.
63．
【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．
【详解】解：∵y2，
∴1﹣2x≥0，2x﹣1≤0，
解得x，
则y＝2，
所以，xy＝（）2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意算术平方根的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．
第十二章 实数专项训练
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m的值．
举一反三：
【变式】
2．已知2－1与－＋2是的平方根，求的值．
3．为何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）； （3）； （4）．
举一反三：
【变式】
4．已知，求的算术平方根．
知识点二、平方根的运算
5．求下列各式的值．
（1）；（2）．
知识点三、利用平方根解方程
6．求下列各式中的．
（1）
（2）；
（3）
举一反三：
【变式】
7．求x的值：（x﹣2）2=4．
知识点四、平方根的综合应用
8．若x，y为实数，且满足．求的值．
举一反三：
【变式】
9．若，求的值．
10．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明．
知识点五、立方根的概念
11．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
举一反三：
【变式】
12．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
知识点六、立方根的计算
13．求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
举一反三：
【变式】
14．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
知识点七、利用立方根解方程
15．求下列各式中x的值：
（1）3（x﹣1）3=24．
（2）（x+1）3=﹣64．
举一反三：
【变式】
16．求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，则＝ ；
（2）若－3＝213，则＝ ；
（3）若＋125＝0，则＝ ；
（4）若＝8，则＝ ．
知识点八、立方根实际应用
17．在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
举一反三：
【变式】
18．将棱长分别为acm和bcm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体铝块的棱长为________cm．(不计损耗)
知识点九、次方根的运算
19．（1）求的5次方根；
（2）求的6次方根．
知识点十、实数概念
20．把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
举一反三：
【变式】
21．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
知识点十一、实数大小的比较
22．比较与的大小．
举一反三：
【变式】
23．若两个连续整数x，y满足x＜＋1＜y，则x＋y的值是 ．
知识点十二、实数的运算
24．求的值．
举一反三：
【变式】
25．若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
知识点十三、实数的综合运用
26．已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为 ．
举一反三：
【变式】
27．已知，求的值．
知识点十四、近似数和有效数字
28．下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位，各有几个有效数字.
（1） （2）亿； （3）
知识点十五、分数指数幂的运算
29．把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
举一反三：
【变式】
30．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A． B． C． D．
31．口算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
举一反三：
【变式】
32．口算：（1）；（2）；（3）．
33．用计算器计算，结果保留三位小数：
（1）；（2）；（3）．
34．计算：
（1） ；（2） ；（3）；（4）
实数章节题型总结：
知识点一、有关方根的问题
35．一个正数 m 的平方根是 2a 3 与 5 a ，求 a和 m．
举一反三：
【变式1】
36．已知，求的平方根．
【变式2】
37．若和互为相反数，试求的值．
38．已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根.
知识点二、与实数有关的问题
39．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求(－a)3＋(b＋3)2的值.
举一反三：
【变式】
40．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
41．阅读理解，回答问题．
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜．
例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：
∵
∴
请你参考小东同学的作法，比较与的大小．
举一反三：
【变式】
42．实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；
43．用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数
（1）万（精确到千位）；（2）12 341 000（精确到万位）；（3）0.030 56（保留3个有效数字）
44．计算：
（1） ；（2） ；（3）；（4）
知识点三、实数综合应用
45．已知a、b满足，解关于x的方程.
举一反三：
【变式】
46．设、、都是实数，且满足，求代数式的值．
47．学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.小明的方法：
因为，
所以设，则.
所以，所以，解得.
所以．
（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例概括出估算的公式：已知非负整数a，b，m，若，且，则________（用含a，b的代数式表示）
（3）请用（2）中的结论估算的近似值.
补充练习：
一、单选题（共6小题）
48．下列六个数：0、、、、－、中，无理数出现的频数是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
49．的值为( )
A． B． C． D．
50．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
51．若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
52．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
53．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
二、填空题（共6小题）
54．计算： ．
55．已知实数，满足那么代数式的值为 ．
56．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ．
57．若a，b为实数，且|a﹣1|+＝0，则（a+b）2020的值为 ．
58．把无理数， ， ，-表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
59．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是 ．
三、解答题（共4小题）
60．计算：
（1）．
（2）．
61．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题：
（1）比较大小：a﹣1 0；b+1 0；c+1 0；
（2）化简﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|．
62．计算．
（1）已知、满足，且，求的平方根．
（2）已知实数、，在数轴上的对应点如图所示，化简．
（3）已知、满足，求的值．
63．先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？
解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．
解答问题：已知y2，求xy的值．
参考答案：
1．1或-3.
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】解：当2m-4=3m-1时，m=-3，
当2m-4+3m-1=0时，m=1．
故答案为1或-3．
【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m-4与3m-1相等或互为相反数是解题的关键．
2．1或9．
【分析】根据平方根的性质列出方程，得出a的值，即可得出m的值
【详解】解：2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数．
①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝
②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以
【点睛】本题考查了平方根的性质和解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键
3．（1）取任何值；（2）x≥4；（3）；（4）且．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件加以判断即可．
【详解】解：(1)∵，
∴当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，
解得，
∴当时，有意义．
(3)由题意可知：，
解得，．
∴当时，有意义．
(4)由题意可知：，
解得，且．
∴当且时，有意义．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，熟知二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
4．．
【分析】根据算术平方根的定义可得解不等式组，求出a,b，代入求值即可．
【详解】解：根据题意，得
则，
∴＝2，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题考核知识点：算术平方根，解不等式组．理解算术平方根定义和解不等式组方法是关键．
5．（1）35；（2）-1.7
【分析】（1）根据实数的性质化简即可求解；
（2）根据实数的性质化简即可求解．
【详解】解：(1) ；
(2)．
【点睛】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
6．（1） ；（2）＝16或＝－18；（3）或
【分析】用直接开平方解方程即可
【详解】（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18．
（3）∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，开平方法是解题的关键．
7．x1=8，x2=﹣4．
【分析】根据平方根的性质定义即可求解．
【详解】解：∵（x﹣2）2=4，
∴（x﹣2）2=36，
∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，
解得：x1=8，x2=﹣4．
【点睛】此题主要考查平方根的应用，解题的关键是熟知平方根的性质特点．
8．1
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
则原式=．
【点睛】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可．
9．2或0．
【分析】根据算术平方根的非负性求出x，y，故可求解．
【详解】解：由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知算术平方根的非负性．
10．不能剪出符合要求的纸片；理由见解析．
【分析】首先设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽，然后与正方形的边长进行比较大小，如果大于正方形边长则不能剪出．
【详解】解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，
根据题意得：3x·2x=300，
解得：x=5 或x=-5(舍去)，
则3x=15cm， 2x=10cm，
∵正方形的面积为400，
∴边长为20cm，
∵15cm＞20cm ，
∴不能剪出符合要求的纸片．
11．D
【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 64的立方根是4，故错误；
B. 是的立方根，故错误；
C. 立方根等于本身的数只有0，1和-1，故错误；
D. ，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是了解立方根的定义及求法．
12．（1）成立；（2）-1
【试题分析】举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数；
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.
【试题解析】（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立.
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1.
【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.
13．（1）；（2）9；（3）；（4）1；（5）
【分析】（1）根据立方根的定义即可化简求解；
（2）根据立方根的定义即可化简求解；
（3）根据立方根的定义即可化简求解；
（4）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解；
（5）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解．
【详解】解：（1）
（2）=
（3）
（4）
（5）．
【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方．
14． －0.2
【分析】根据实数的性质依次化简即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
故答案为：－0.2；；；．
【点睛】此题主要考查实数的性质化简，解题的关键是熟知立方根的定义．
15．（1）x=3；（2）x=﹣5．
【分析】（1）先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．
（2）先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．
【详解】解：（1）3（x﹣1）3=24，
（x﹣1）3=8，
x﹣1=2，
∴x=3．
（2）开立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5．
【点睛】本题是用开立方的方法解方程，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
16． 0.7 6 －5 3
【分析】（1）利用立方根的定义解答即可；
（2）利用立方根的定义解答即可；
（3）利用立方根的定义解答即可；
（4）利用立方根的定义解答即可．
【详解】（1）∵＝0.343，
∴＝=0.7；
（2）∵－3＝213，
∴＝216，
∴＝=6；
（3）∵＋125＝0，
∴=-125，
∴＝=-5；
（4）∵＝8，
∴a-1=2，
∴＝3．
故答案为： 0.7； 6；－5； 3．
【点睛】本题考查了利用立方根解方程，熟练利用立方根的定义是解决问题的关键．
17．烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4
【分析】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积．
【详解】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为，可列方程解得
设烧杯内部的底面半径为，可列方程，解得6．
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 ．
【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍．本题体现与物理学科的综合．
18．
【详解】棱长为acm，bcm的正方体铝块的体积分别为a3cm3，b3cm3，它们熔化后制成的大正方体铝块的体积为(a3＋b3)cm3，故大正方体铝块的棱长为cm．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据，故可求解．
【详解】解：（1）∵
∴；
（2）∵，
∴的6次方根为．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．
20．有理数有：， ，，，0；无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【分析】根据有理数和无理数的定义分析即可．有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数．
【详解】有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【点睛】常见的无理数有三种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，如：0．3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，．
21． 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可
【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误．
(2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．
(3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误．
(4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误．
(5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．
(6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误．
(7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．
(8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
22．＜．
【分析】根据，，可得，据此即可求解．
【详解】解：因为，，
∴，，
即，．
故：＜
【点睛】本题考查实数的大小比较，实数的比较有多种方法，关键是求出和的取值范围，除了上述方法外，还有作商法、同分子法、倒数法等．
23．7
【详解】试题解析：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
故答案为7．
24．0或2．
【分析】分≥0和＜0两种情况进行讨论即可
【详解】解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
25．（1）4；（2）4．
【分析】（1） 设的平方根为，，根据题意可得方程组，解方程组求得，由此即可求得a的值；
（2）先求 的值，再求其算术平方根即可．
【详解】（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：，
解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用平方根互为相反数得出方程组是解题的关键．
26．12．
【分析】由非负数的性质可得a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，由此可得a=﹣6，b2﹣2b=3，再用整体思想求2b2﹣4b﹣a的值即可．
【详解】∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣4b=6，
则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种知识点的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
27．3．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【点睛】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
28．（1）1, 2，0；（2）1,4,9；（3）3,0；
【分析】有效数字可以从左边第一个不是0的数开始数起；精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】（1）精确到百分位，有三个有效数字1, 2，0；
（2）亿精确到百万位，有三个有效数字1,4,9；
（3）精确到千位，有两个有效数字3,0；
【点睛】主要考查了近似数和有效数字的确定．从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
29．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据分数指数幂的定义即可求解；
（2）根据分数指数幂的定义即可求解；
（3）根据分数指数幂的定义即可求解；
（4）根据分数指数幂的定义即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查分数指数幂的换算，解题的关键是熟知，其中为正整数，．
30．D
【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D
【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义．理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键．
31．（1）4；（2）3；（3）12；（4）4．
【分析】（1）可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值；
（2）可将分数指数幂表示成立方根的形式再求值；
（3）可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值；
（4）可将分数指数幂表示成四次方根的形式再求值；
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了分数指数幂，求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数．
32．口算：（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系即可解决；
（2）根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决；
（3）根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系，熟练掌握它们是本题的关键．
33．（1）；（2）；（3）．
【分析】根据用计算器求出一个分数指数幂的方法求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系．
34．（1） 6；（2） 225；（3）1125；（4）
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（3）根据有理数指数幂的运算性质计算即可；
（4）根据有理数指数幂的运算性质计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算性质，熟练运用有理数指数幂的运算性质是解决问题的关键．
35．a=-2；m=49．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得方程（2a-3）+（5-a）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得m的两个平方根，由此即可求得m的值．
【详解】∵一个正数m的平方根为2a-3和5-a，
∴（2a-3）+（5-a）=0，
解得：a=-2．
∴2a-3=-7，5-a=7，
∴m=（±7）2=49．
【点睛】本题考查了平方根的定义，正数的平方根有两个是互为相反数，正的平方根叫算术平方根；负数没有平方根，零的平方根是零．
36．±3
【分析】根据算术平方根有意义的条件得出x的值，再求出y的值，得到结果．
【详解】解：由题意得：
解得＝2
∴＝3，，
∴的平方根为±3．
【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
37．1．
【分析】根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，
∴＝1．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
38．±2
【分析】估算得出整数a的值，求出之和确定出M，求出不等式的最大整数确定出N，进而确定出M+N的平方根．
【详解】解：∵，∴整数a=﹣1，0，1，2，它们的和M=﹣1+0+1+2=2，
∵，∴N=2，
∴M+N=2+2=4，4的平方根是±2．
∴M＋N的平方根是±2.
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键．
39．－17
【分析】因为所以的整数部分为，小数部分为代入求解即可.
【详解】
的整数部分为，小数部分为，
∴，
，
.
【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值，正确求得a和b值是解答的关键.
40．D
【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数，即可估算的值.
【详解】本题考查二次根式的估值．∵，∴，∴．
一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：
选项 逐项分析 正误
A 若 ×
B 若 ×
C 若 ×
D 若 √
【点睛】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.
41．＜
【分析】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小．
【详解】解：∵
∴＜
【点睛】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择．
42．
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可
【详解】
又两边同时乘以
两边同时除以
将表示在数轴上：
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
43．（1）或表示为万；（2）；(3) 0.030 6
【分析】根据四舍五入的方法按要求计算即可；
【详解】（1）万=或表示为万；
（2）12 341 000=；
（3） 0.030 56≈0.030 6；
【点睛】本题主要考查了近似数的计算，准确计算和理解是解题的关键．
44．（1） 8；（2） 36；（3）576；（4）
【分析】（1）根据幂的运算公式即可变形求解；
（2）根据幂的运算公式即可变形求解；
（3）根据幂的运算公式即可变形求解；
（4）根据幂的运算公式即可变形求解．
【详解】解：（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的根据是熟知有理数指数幂的运算法则．
45．x=4．
【详解】试题分析：根据如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，可得a，b的值，再将a，b的值代入到方程中得到关于x的一元一次方程.
试题解析：
根据题意得，2a+8=0，b﹣ =0， 解得a=﹣4，b= ，
所以（﹣4+2）x+3=﹣4﹣1，即﹣2x=﹣8，
解得x=4．
点睛：当一元一次方程中含有字母系数时，一般需要根据题目中的已知条件求出字母系数的值，再将所求得的字母系数的值代入到原方程中，得到关于未知数的一元一次方程，再来求解.
46．0
【分析】根据非负性列出方程组求出a，b，c即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得
∴．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知平方、二次根式及绝对值的非负性．
47．（1）6.24；（2）；（3）6.08.
【分析】（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出=6+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解．
【详解】（1）因为，
所以设，则，
所以，所以，解得，
所以．
（2）
设，所以.因为，所以，解得，所以.
（3）因为，所以，，所以，
所以.
【点睛】本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题．
48．A
【分析】根据无理数的概念即可作答.
【详解】解：∵其中无理数有：，，；∴无理数出现的频数是3，
故选：A.
【点睛】本题考查无理数的概念，是中考的常考题，掌握无理数的内涵是基础.
49．A
【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
【详解】原式
；
故答案为：A.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
50．C
【分析】根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可．
【详解】解：∵x为实数，且＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴＝±3，
故选：C．
【点睛】此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数．
51．D
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
【详解】由f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.
52．B
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③+＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识；理解相关定义是关键．
53．B
【分析】将化简得，先估算的取值范围，再估算出的取值范围，进而确定在数轴上的位置即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴在点A和点B之间
故选：B．
【知识点】本题主要考查了数轴上表示实数的点所在位置的确定，准确对实数进行计算并估算取值范围是解决本题的关键．
54．2
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而求出答案；
【详解】解：原式=.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
55．1．
【分析】根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可．
【详解】由题意可知，
，，
∴
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键．
56．
【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算．
【详解】由题意得：
==2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可．
57．1
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵|a﹣1|+＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴（a+b）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知算术平方根、绝对值的非负性．
58．
【详解】∵，，，且被墨迹覆盖的数在3至4之间，
∴上述四个数中被墨迹覆盖的数是
故答案为：
59．6560
【分析】由结果反向求出第三次参与运算的最大数，再求出第二次参与运算的最大数，最后求出第一次参与运算的最大数即可．
【详解】∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[]＝2，
∴第2次的结果为8，
∴第2次参与运算的最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[]＝8，
∴第1次的结果为80，
∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[]＝80，
也就是，6560[]＝80[]＝8[]＝2，
故答案为：6560．
【点睛】本题考查无理数大小的估算，理解新定义[x]的意义是解答本题的关键．
60．（1）2；（2）5
【分析】（1）根据平方，立方根、算术平方根法则计算，再合并即可；
（2）先利用二次根式乘法分配律去括号和绝对值符号，再计算即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查二次根式与实数的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．
61．（1），，；（2）
【分析】（1）根据数轴得出，再比较大小即可；
（2）根据、和去掉绝对值符号，再算加减即可．
【详解】（1）从数轴可知：，
所以，，，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知：，，，
所以
．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较、数轴、绝对值计算，通过数轴比较字母大小并进行取绝对值计算是解决本题的关键．
62．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据几个非负数和为0求出a、b的值，再根据立方根定义求出c的值，最后代入计算即可；
（2）先根据二次根式性质化简，最后根据数轴去绝对值即可；
（3）根据二次根式有意义求出x、y的值代入计算即可.
【详解】（1），
∵，且，
∴且，
∴，
∵，
∵，
∵
，
∴的平方根为．
（2）由数轴可知，，，
∴原式
．
（3）由题意可得：
，且，
∴，
，
，
又∵为分母，．
∴，
，
∴，
将代入式子得
，
，
原式
．
【点睛】本题考查平方根、立方根的性质和定义，熟记性质是解题的关键.
63．
【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．
【详解】解：∵y2，
∴1﹣2x≥0，2x﹣1≤0，
解得x，
则y＝2，
所以，xy＝（）2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意算术平方根的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．