泸教版七年级数学下学期期末专项复习-第十四章三角形（基础卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 泸教版七年级数学下学期期末专项复习-第十四章三角形（基础卷）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 552.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-29 11:50:40 | ||
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文档简介
第十四章 三角形（基础卷）-七年级数学下学期期末专项复习（沪教版）
第十四章 三角形（基础）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
2．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( )．
A．62° B．68° C．78° D．90°
5．作平分线的作图过程如下：
作法：（1）在和上分别截取、，使．
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．
（3）作射线，则就是的平分线．
用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与都是等边三角形，．下列结论中，①；②；③．其中正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分
7．已知中，，，则
8．如图，AE是ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝ °．
9．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝ ．
10．如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，若∠1=45°，则= ．
11．一副三角板有一个含30°角的直角三角形和一个含45°角的直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是 ．
13．如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为 ．
14．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 cm．
15．学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确： ，你的理由是 ．
16．如图，已知是的中线，是的中线，的面积为8，则的面积为 ．
17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝ °．
18．观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共58分
19．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
20．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
21．如图，在中，于，平分交于点，，求的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵（ ）
∴__________________________（等式的性质）
∵平分（已知）
∴__________________=____________________（ ）
∵（已知）
∴，
∴
∴．
22．如图1，四边形中，于点，于点，，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
23．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．
（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；
（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．
25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．
参考答案：
1．D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．
2．C
【分析】根据平行线求出，根据推出，根据全等得出，根据推出，根据全等求出，求出，根据推出即可．
【详解】解：，
，
在和中
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
即3对全等三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．A
【分析】讨论出三个整数和为21，并且符合三角形两边之和大于第三边即可．
【详解】解：用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边均为整数厘米的等腰三角形，
三角形三边长可以为：
1、10、10；3、9、9；5、8、8；6、6、9；7、7、7共5种．
故选A.
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边．
4．A
【详解】试题解析：∵∠A=70°，∠ACD=20°，
∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°，
在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-90°-28°=62°，
∴∠CFE=∠BFD=62°．
故选：A．
5．A
【分析】根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．
【详解】∵分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
∴CE=CD，
在△OCE和△OCD中，，
∴△OCE≌△OCD（SSS），
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
6．C
【分析】利用SAS证明△DAC≌△BAE，利用三角形内角和定理计算∠BOD的大小即可.
【详解】∵与都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠CAB =∠EAC+∠CAB，
∴∠DAC =∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD，
∴结论①正确；
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC =∠ABE，
∴∠BOD=180°-(∠BDO+∠DBO)，
∵∠BDO+∠DBO=60°-∠ADC +60°+∠ABE=120°，
∴∠BOD=180°-120°=60°，
∴结论②正确；
无法证明，
∴结论③错误；
故选C.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的证明和性质，三角形内角和定理，
熟练运用等边三角形的性质证明三角形的全等是解题的关键.
7．50
【分析】根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴30°+3∠B=180°，
∴∠B=50°．
故答案是：50．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．
8．16
【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠BAC=180°-66°-34°=80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=40°，
∵∠ABC=66°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD=90°-66°=24°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD=40°-24°=16°．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
9．150°．
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AB＝BE，∠ABE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°，
同理：∠CED＝75°，
∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．
10．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数．进而在△CDE中，得出∠CDE与∠CED的和，由平角的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，，
∴∠C=40°，
∴在△CDE中，则∠CDE+∠CED=140°，
由折叠，可知：
∵∠1+2∠CED=180°，∠2+2∠CDE=180°，
∴∠1+∠2=360°-2（∠CDE+∠CED）=80°，
∵∠1=45°，
∴=35°.
故答案为35°.
【点睛】本题考查三角形内角和定理及平角的性质，折叠的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和是180°．
11．165°
【分析】如解图所示，根据题意可得∠1=45°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠2，最后根据平角的定义即可求出结论．
【详解】解：如下图所示
由题意可得，∠1=45°
根据三角形外角的性质可得∠2=∠1－30°=15°
∴∠α=180°－∠2=165°
故答案为：165°．
【点睛】此题考查的是三角形外角的性质和平角定义，掌握三角形外角的性质是解题关键．
12．∠1＝2∠2．
【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．
【详解】∵是△ABD的外角，是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠2+∠C，∠ADC＝∠B+∠1，
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴,
∴,
即,
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
,
即∠1＝2∠2,
故填：∠1＝2∠2．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．
13．102°
【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】三角形ABC为等边三角形
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．5．
【分析】根据角平分线和平行线的性质可证BD＝FD，EF＝CE，再根据线段和差可求CE的长．
【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∵BD＝9cm，DE＝4cm，，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，解题关键是理解已知条件，根据角平分线和平行线得出等腰三角形．
15． 不正确 2+2＜5，2，2，5不构成三角形．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，因为2+2＜5，
根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故答案为不正确，2+2＜5，2，2，5不构成三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．2
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可．
【详解】解：是的中线，的面积为8，
，
是的中线，
；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
17．52.5．
【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．
【详解】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，
∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，
∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，
∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，
∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，
故答案为52.5．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法，可以得到，，再根据是的外角，从而求得；
（2）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；
（3）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；通过观察规律，可以发现A1N=AnM并且．
【详解】解∵（1）如图①，在正三角形中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
在△ABN和△ACM中，，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，
∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．
则AN＝CM，；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
同理：△ABN≌△ADM（SAS），
∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，
∴∠NOD＝90°
则AN＝DM，；
（3）同理：如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
则AN＝EM，；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，
且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．
也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn＝．
故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn＝．
【点睛】此题考查三角形全等的证明和外角的性质，通过观察证明所给例子找出规律是解决本题的关键．
19．72°
【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的性质计算即可；
【详解】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线的性质计算是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【详解】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
21．三角形内角和等于180°；100°；∠BAC；50°；角平分线定义；∠ADC；∠CAD；12°．
【分析】根据题意及证明过程直接进行解答即可．
【详解】∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180 ）
∴∠BAC=180°-52°-28°=_100°_ （ 等式的性质 ）
∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠CAE=∠BAC = 50°（角平分线定义）
∵AD⊥BC （已知）
∴ ∠ADC=90°
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C==180°-90°-52°=38°
∴∠DAE=∠CAE- ∠CAD_ = 12°
【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，关键是根据题意进行解答过程即可．
22．（1）见解析；（2），；，；，；，
【分析】（1）由“”可证≌，可得；
（2）由平行四边形的判定可证四边形，四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】证明：（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（1）∠BOC＝120°；（2）见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝，由角平分线的性质可得到∠OBC＝∠OCB＝，再利用三角形的内角和为列式计算即可；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，通过证明△BOE≌△COG得到OG＝OE，BE＝CG，从而得到，即可通过线段的等量代换证明结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝，
∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，
∵∠BOC＝，
∴∠BOF+∠COG＝，
∵∠EOF＝，
∴∠EOB+∠BOF＝，
∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝，
∴∠EBO＝∠OCG，
在BOE与COG中，
，
∴，
∴OG＝OE，BE＝CG，
在OEF与OGF中，
，
∴，
∴EF＝FG，
∵CF＝FG+CG，
∴CF＝EF+BE．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线以及灵活寻找全等三角形判定的条件是解题的关键．
24．（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．
【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，
理由如下：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，
∴∠CAD＝∠BCF；
（2）如图所示：
猜想：AD＝CF+DF，
理由如下：过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，
则∠ACB+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△CBG中，
∵，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，AD＝CG，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BG＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CBA＝45°，
∴∠FBG＝∠CBG﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FBG＝∠FBD，
在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴DF＝GF，
∵AD＝CG＝CF+FG，
∴AD＝CF+DF．
【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）点G的速度为1.5或3或1．
【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质定理，得到△ABD≌△CDB，进而，可证明AD∥BC；
（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质，分四种情况进行讨论：①当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，若△DEG≌△BGF；②当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，若△DEG≌△BGF.
【详解】（1）证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴ ，
∴，
∴v＝3；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴ （舍去）；
当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴，
∴v＝1.5；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴，
∴v＝1．
综上，点G的速度为1.5或3或1．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质的应用，在几何动点问题中，对全等三角形的对应边或对应角进行分类讨论，是解题的关键.
第十四章 三角形（基础）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
2．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( )．
A．62° B．68° C．78° D．90°
5．作平分线的作图过程如下：
作法：（1）在和上分别截取、，使．
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．
（3）作射线，则就是的平分线．
用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与都是等边三角形，．下列结论中，①；②；③．其中正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分
7．已知中，，，则
8．如图，AE是ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝ °．
9．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝ ．
10．如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，若∠1=45°，则= ．
11．一副三角板有一个含30°角的直角三角形和一个含45°角的直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是 ．
13．如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为 ．
14．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 cm．
15．学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确： ，你的理由是 ．
16．如图，已知是的中线，是的中线，的面积为8，则的面积为 ．
17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝ °．
18．观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共58分
19．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
20．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
21．如图，在中，于，平分交于点，，求的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵（ ）
∴__________________________（等式的性质）
∵平分（已知）
∴__________________=____________________（ ）
∵（已知）
∴，
∴
∴．
22．如图1，四边形中，于点，于点，，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
23．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．
（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；
（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．
25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．
参考答案：
1．D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．
2．C
【分析】根据平行线求出，根据推出，根据全等得出，根据推出，根据全等求出，求出，根据推出即可．
【详解】解：，
，
在和中
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
即3对全等三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．A
【分析】讨论出三个整数和为21，并且符合三角形两边之和大于第三边即可．
【详解】解：用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边均为整数厘米的等腰三角形，
三角形三边长可以为：
1、10、10；3、9、9；5、8、8；6、6、9；7、7、7共5种．
故选A.
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边．
4．A
【详解】试题解析：∵∠A=70°，∠ACD=20°，
∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°，
在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-90°-28°=62°，
∴∠CFE=∠BFD=62°．
故选：A．
5．A
【分析】根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．
【详解】∵分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
∴CE=CD，
在△OCE和△OCD中，，
∴△OCE≌△OCD（SSS），
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
6．C
【分析】利用SAS证明△DAC≌△BAE，利用三角形内角和定理计算∠BOD的大小即可.
【详解】∵与都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠CAB =∠EAC+∠CAB，
∴∠DAC =∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD，
∴结论①正确；
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC =∠ABE，
∴∠BOD=180°-(∠BDO+∠DBO)，
∵∠BDO+∠DBO=60°-∠ADC +60°+∠ABE=120°，
∴∠BOD=180°-120°=60°，
∴结论②正确；
无法证明，
∴结论③错误；
故选C.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的证明和性质，三角形内角和定理，
熟练运用等边三角形的性质证明三角形的全等是解题的关键.
7．50
【分析】根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴30°+3∠B=180°，
∴∠B=50°．
故答案是：50．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．
8．16
【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠BAC=180°-66°-34°=80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=40°，
∵∠ABC=66°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD=90°-66°=24°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD=40°-24°=16°．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
9．150°．
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AB＝BE，∠ABE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°，
同理：∠CED＝75°，
∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．
10．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数．进而在△CDE中，得出∠CDE与∠CED的和，由平角的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，，
∴∠C=40°，
∴在△CDE中，则∠CDE+∠CED=140°，
由折叠，可知：
∵∠1+2∠CED=180°，∠2+2∠CDE=180°，
∴∠1+∠2=360°-2（∠CDE+∠CED）=80°，
∵∠1=45°，
∴=35°.
故答案为35°.
【点睛】本题考查三角形内角和定理及平角的性质，折叠的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和是180°．
11．165°
【分析】如解图所示，根据题意可得∠1=45°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠2，最后根据平角的定义即可求出结论．
【详解】解：如下图所示
由题意可得，∠1=45°
根据三角形外角的性质可得∠2=∠1－30°=15°
∴∠α=180°－∠2=165°
故答案为：165°．
【点睛】此题考查的是三角形外角的性质和平角定义，掌握三角形外角的性质是解题关键．
12．∠1＝2∠2．
【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．
【详解】∵是△ABD的外角，是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠2+∠C，∠ADC＝∠B+∠1，
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴,
∴,
即,
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
,
即∠1＝2∠2,
故填：∠1＝2∠2．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．
13．102°
【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】三角形ABC为等边三角形
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．5．
【分析】根据角平分线和平行线的性质可证BD＝FD，EF＝CE，再根据线段和差可求CE的长．
【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∵BD＝9cm，DE＝4cm，，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，解题关键是理解已知条件，根据角平分线和平行线得出等腰三角形．
15． 不正确 2+2＜5，2，2，5不构成三角形．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，因为2+2＜5，
根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故答案为不正确，2+2＜5，2，2，5不构成三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．2
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可．
【详解】解：是的中线，的面积为8，
，
是的中线，
；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
17．52.5．
【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．
【详解】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，
∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，
∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，
∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，
∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，
故答案为52.5．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法，可以得到，，再根据是的外角，从而求得；
（2）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；
（3）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；通过观察规律，可以发现A1N=AnM并且．
【详解】解∵（1）如图①，在正三角形中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
在△ABN和△ACM中，，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，
∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．
则AN＝CM，；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
同理：△ABN≌△ADM（SAS），
∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，
∴∠NOD＝90°
则AN＝DM，；
（3）同理：如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
则AN＝EM，；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，
且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．
也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn＝．
故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn＝．
【点睛】此题考查三角形全等的证明和外角的性质，通过观察证明所给例子找出规律是解决本题的关键．
19．72°
【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的性质计算即可；
【详解】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线的性质计算是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【详解】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
21．三角形内角和等于180°；100°；∠BAC；50°；角平分线定义；∠ADC；∠CAD；12°．
【分析】根据题意及证明过程直接进行解答即可．
【详解】∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180 ）
∴∠BAC=180°-52°-28°=_100°_ （ 等式的性质 ）
∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠CAE=∠BAC = 50°（角平分线定义）
∵AD⊥BC （已知）
∴ ∠ADC=90°
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C==180°-90°-52°=38°
∴∠DAE=∠CAE- ∠CAD_ = 12°
【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，关键是根据题意进行解答过程即可．
22．（1）见解析；（2），；，；，；，
【分析】（1）由“”可证≌，可得；
（2）由平行四边形的判定可证四边形，四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】证明：（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（1）∠BOC＝120°；（2）见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝，由角平分线的性质可得到∠OBC＝∠OCB＝，再利用三角形的内角和为列式计算即可；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，通过证明△BOE≌△COG得到OG＝OE，BE＝CG，从而得到，即可通过线段的等量代换证明结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝，
∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，
∵∠BOC＝，
∴∠BOF+∠COG＝，
∵∠EOF＝，
∴∠EOB+∠BOF＝，
∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝，
∴∠EBO＝∠OCG，
在BOE与COG中，
，
∴，
∴OG＝OE，BE＝CG，
在OEF与OGF中，
，
∴，
∴EF＝FG，
∵CF＝FG+CG，
∴CF＝EF+BE．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线以及灵活寻找全等三角形判定的条件是解题的关键．
24．（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．
【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，
理由如下：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，
∴∠CAD＝∠BCF；
（2）如图所示：
猜想：AD＝CF+DF，
理由如下：过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，
则∠ACB+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△CBG中，
∵，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，AD＝CG，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BG＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CBA＝45°，
∴∠FBG＝∠CBG﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FBG＝∠FBD，
在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴DF＝GF，
∵AD＝CG＝CF+FG，
∴AD＝CF+DF．
【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）点G的速度为1.5或3或1．
【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质定理，得到△ABD≌△CDB，进而，可证明AD∥BC；
（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质，分四种情况进行讨论：①当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，若△DEG≌△BGF；②当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，若△DEG≌△BGF.
【详解】（1）证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴ ，
∴，
∴v＝3；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴ （舍去）；
当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴，
∴v＝1.5；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴，
∴v＝1．
综上，点G的速度为1.5或3或1．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质的应用，在几何动点问题中，对全等三角形的对应边或对应角进行分类讨论，是解题的关键.