泸教版七年级数学下学期期末专项复习 第十四章三角形（提高卷）（含解析）

第十四章 三角形（提高卷）-七年级数学下学期期末专项复习（沪教版）
第十四章 三角形（提高）
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（　　）
A．3cm B．4cm C．9cm D．10cm
2．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去
A．① B．② C．③ D．①和②
3．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在中，是边上的高，平分，，，则的度数是（ ）
A．14° B．24° C．19° D．9°
6．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=　（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
二、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共24分
7．如图，x的值为 ．
8．如图，八边形是正八边形，是等边三角形，连接，则的度数为 ．
9．一副直角三角板按如图所示放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上，点D在AC上，AB与DF相交于点O．若DE∥CF，则∠BOF等于 ．
10．如图，△ABC中内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠A与∠P之间的数量关系是 ．
11．如图，把沿线段折叠，使点A落在线段上的点F处，，若，则 度．
12．一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别为6和2019，则满足上述条件的三角形有 个．
13．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝ °．
14．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
15．如图，△ABC中，AB=AC，BH⊥AC，垂足为点H，BD平分∠ABH，点E为BH上一点，连接DE，∠BDE=45°，DH：CH=3：2，BE=10，则CH= ．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
17．三条不相等的整数长度的线段不能构成三角形的总长度和的最小值为1＋2＋3＝6，四条不相等的整数长度的线段任意三条均不能构成三角形的总长度和的最小值为1＋2＋3＋5＝11，由此请探究：一根钢管长1840cm，现把此钢管截成长度为互不相等整数长（单位cm）的小钢管，使任意三根钢管均不能围成三角形，则这根钢管最多可以截成 根小钢管．
18．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共58分
19．如图，求x和y的值．
20．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF＝DG
21．在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到三角形△A′B′C′，位置如图所示：
（1）分别写出点A、A'的坐标：A_______，A'_______；
（2）若点M(m，n)是△ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为_______；
（3）求△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．

（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF=8cm，AD=7 cm时，求△ABC的面积．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．
24．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
25．在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,
（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;
（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形三边的关系求解即可．
【详解】解：A项，3+3<7，故不符合题意；
B项，3+4=7，故不符合题意；
C项，3+9>7，符合题意；
D项，3+7=10，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形三边的关系．
2．C
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿③去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
3．B
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【详解】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
4．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
故①正确；
∵PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC＝2∠BAC，
故②错误；
同理：∠APC＝2∠ABC，
故④正确；
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°，
故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质等知识，根据线段垂直平分线性质证明PA＝PB＝PC是解题关键．
5．A
【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，从而求得的度数．
【详解】∵∠B=45°，∠C=73°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=62°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=31°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=73°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=17°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=31°-17°=14°．
故选：A．
【点睛】考了三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线定义等知识点，解题关键是能求出∠CAE和∠CAD的度数．
6．C
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【详解】作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=2∠BOP=30°
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2，
故选C.
【点睛】本题考查角平分线的性质、含30度角的直角三角形和三角形的外角性质，解题的关键是掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形和三角形的外角性质.
7．60
【分析】利用三角形内角和定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意得：（x﹣36）°+（x+36）°+x°＝180°，
解得：x＝60．
故填：60．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和解一元一次方程，解题关键是掌握三角形内角和定理．
8．
【分析】先根据多边形的内角和公式、正八边形的性质求出其每个内角的度数，从而可得的度数，再根据等边三角形的性质可得，从而可得的度数，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．
【详解】八边形是正八边形
其每条边均相等，每个内角均相等，且度数为
是等边三角形
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式、正八边形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟记多边形的内角和公式、正八边形的性质是解题关键．
9．15°．
【分析】根据平行线的性质，求出∠OFB，利用三角形外角的性质，求得∠BOF
【详解】∵∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，
∴∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠OFB＝∠EDF＝30°，
∴∠BOF＝∠ABC﹣∠OFB＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的外角性质是解题的关键．
10．
【分析】先根据三角形的外角性质得到，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
11．32
【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．
【详解】解：由折叠可知：
∠AEF=2∠AED=2∠FED，
∵∠A+∠B=106°，
∴∠C=180°-106°=74°，
∵BC∥DE，
∴∠AED=∠C=74°，
∴∠AEF=2∠AED=148°，
∴∠FEC=180°-∠AEF=32°．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理和平行线的性质．
12．5
【分析】在本题中设第三边为x再根据三角形的三边关系可以得到2019-6【详解】解：设第三边是x，
则2019-6即2013而三角形的周长是偶数，6+2019=2025为奇数，
所以x为奇数，
因而x=2015或2017或2019或2021或2023．
满足条件的三角形共有5个．
故答案为:5．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解决此类问题的关键是熟练掌握三角形的三边关系三角形中两边之和大于第三边，两之差小于第三边，由此定理可列出第三边的所需满足的关系．
13．100
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【详解】解：如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100
【点睛】本题考查了角的平分线及三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线与三角形内角和定理是解题的关键．
14．5
【分析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l交于点E，与l交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF=1，BF=2．根据勾股定理可求BC得正方形的面积．
【详解】解：过C点作EF⊥l，交l于E点，交l于F点．
∵l∥l∥l∥l，EF⊥l，
∴EF⊥l，EF⊥l， 即∠CED=∠BFC=90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°．
∴∠DCE+∠BCF=90°．
又∵∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BCF．
在△CDE和△BCF中，，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF=CE=2．
∵CF=1，
∴BC=1+2=5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．
15．4
【分析】延长DE交BC于F，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理和角平分线的性质，由AAS证明△BEF≌△DCF，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长DE交BC于F，
∵AB=AC，
设∠A=2α，则∠ABC=∠ACB=90°-α，
∵BH⊥AC，
∴∠HBC=90°-∠ACB=α，
∠A+∠ABH=90°，
∵BD平分∠ABH，
∴∠DBH=∠ABH=45°-α，
∴∠DBF=45°-α+α=45°，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠DFB=∠DFC=90°，
∴DF=BF，
∵∠DFB=∠DHB=90°，
∴∠CDF=∠EBF，
在△BEF和△DCF中，
，
∴△BEF≌△DCF（AAS），
∴BE=CD=CH+DH=10，
∵DH：CH=3：2，
∴CH=4．
故答案为：4．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，题目关键是得到∠DBF=45°，利用全等三角形的性质得到BE=CD．
16．5
【分析】先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD＝CD＝3，AD＝BD＝8，即可算出AF的长．
【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故填：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
17．14
【分析】根据题中的方法可得到1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610，每个数是它前面两数的和，从而可判断这14根整数长的小钢管中的任意三根钢管均不能围成三角形．
【详解】1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610＝1595．
所以把此钢管截成整数长的小钢管，使任意三根钢管均不能围成三角形，这根钢管最多可以截成14根整数长的小钢管．
故答案为14．
【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，规律探索，利用三边关系找到规律是解题的关键．
18．或或或或
【分析】分三种情形：当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP或BQ＝PA满足条件，当点Q在BA上时，Q与P重合或AP＝QB满足条件，分别构建方程求解即可．
【详解】解：当点Q在AC上时，CQ＝PA时，△BCQ≌△CAP，AP=t，AQ=4t，CQ=1-4t；
此时t＝1﹣4t，解得t＝．
当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP时，△ACQ≌△CAP，AP=t， CQ=4t -1， BQ=2-4t；
∴4t﹣1＝t，解得 t＝；
BQ＝PA时，△ABQ≌△CAP，
∴2﹣4t＝t，
解得t＝，
当点Q在BA上时，有两种情形，Q与P重合，△ACQ≌△ACP，AP=t，AQ=3-4t，BQ=4t -2；
∴t＝3-4t，解得t＝；
AP＝QB时，△ACP≌△BCQ，
t＝4t﹣2，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或或或，
故答案为：或或或或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．x=60，y=50
【分析】根据三角形内角和及外角和定理分别列出方程，求出x,y的值.
【详解】解：根据三角形的外角的性质得，
x+70=x+x+10，
解得，x=60，
则x+70=130，，
则y=180°-130°=50°，
答：x=60，y=50
【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角和定理进行列式进行计算.
20．详见解析
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF≌△ADG，根据全等三角形对应边相等可得AF＝DG．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴AF＝DG．
【点睛】此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握正方形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
21．（1）（1，0），（-4，4）；（2）（m-5，n+4）；（3）7
【分析】（1）根据已知图形可得答案；
（2）由A（1，0）对应点的对应点A′（-4，4）得平移规律，即可得到答案；
（3）利用长方形面积减去周围三角形面积得出即可．
【详解】解：（1）由图知A（1，0），A'（-4，4）；
（2）A（1，0）对应点的对应点A′（-4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，
故△ABC内M（m，n）平移后对应点M'的坐标为（m-5，n+4）；
（3）△ABC的面积为：4×4-×4×2-×3×2-×1×4=7．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键．
22．（1）∠BAE=∠CAE，∠ADC=∠ADB，BF=FC；（2）56cm
【分析】（1）分别根据角平分线定义、三角形的高线和三角形的中线定义解决问题即可；
（2）根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF．
图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE=∠CAE，∠ADB=∠ADC=90°，BF=CF．
（2）∵BF=CF，BF=8cm，AD=7cm，
∴BC=2BF=2×8=16cm，
∴S△ABC=BC AD=×16cm×7cm
=56cm2．
答：△ABC的面积是56cm2．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高线，三角形的面等知识，熟记概念是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，
∵∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝80°．
答：∠ADC的度数为80°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】解：（1）当时，，，
又，
在和中，
．
，
．
，
即线段与线段垂直．
（2）①若，
则，，
则，
解得：；
②若，
则，，
则，
解得：；
综上所述，存在或使得与全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析.
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；
（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可.
【详解】（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED；
（2）如图2，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．