苏科版七年级数学下学期期末专项复习 专题04二元一次方程组（含解析）

专题04 二元一次方程组-七年级数学下学期期末专项复习（苏科版）
专题04 二元一次方程组
（时间100分，总分120分）
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是：（ ）
A． B． C． D．
3．已知二元一次方程2x＋3y＝4，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（ ）
A．x=-4，y=4 B．x=4，y=-4 C．x=3，y=-3 D．x=-3，y=3
4．若和是方程的两组解，则m，n的值分别为（ ）
A．， B．2，4 C．4，2 D．，
5．若xm﹣n﹣2ym+n﹣2=2021，是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=1 D．m=2，n=3
6．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
7．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
8．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．已知二元一次方程4x-2y=7，用含有x的式子表示y，则y= ．
10．二元一次方程的正整数解有 组．
11．在一本书上写着方程组的解是 ，其中y的值被墨渍盖住了，不过，我们可解得出p＝ ．
12．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为 ．
13．如果两数x、y满足，那么x2－y2＝ ．
14．已知方程组和有相同的解，则a＋b＝
15．已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为 ．
16．若方程组的解是，请求出方程组中m，n的值，m＝ ，n＝ ．
三、解答题（共72分）
17．解方程组：
（1）．
（2）
18．若与的值互为相反数，试求x与y的值．
19．已知方程组由于甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，试求原方程组的解．
20．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.
21．体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？
22．放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
23．对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：.例如.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
参考答案：
1．B
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可.
【详解】A. xy项的次数是2次，所以不是二元一次方程，故本选项错误；
B. 两个未知数，未知数的次数都是1，所以是二元一次方程，故本选项正确；
C. 属于分式，所以不是二元一次方程，故本选项错误；
D. 只有一个未知数，且x2项的次数为2，所以不是二元一次方程，故本选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查二元一次方程的定义. 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2．C
【分析】根据二元一次方程组解的定义将方程组的解逐一代入判断即可．
【详解】A． 不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B． 将代入，不能使方程组左右两侧相等，故不是该二元一次方程组的解，故本选项不符合题意；
C． 将代入能使方程组左右两侧相等，故是该二元一次方程组的的解，故本选项符合题意；
D． 将代入，不能使方程组左右两侧相等，故不是该二元一次方程组的解，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解的判断，掌握二元一次方程组解的定义是解决此题的关键．
3．A
【分析】x与y互为相反数，那么y=-x，然后联立解方程组即可求解．
【详解】解：由题意得：x+y=0，即y=-x，
代入已知方程得：2x-3x=4，
解得：x=-4，
则y=4．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．C
【分析】把x与y的两对值代入方程列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【详解】根据题意，得，
，得，解得，
把代入①，得．
故选：C
【点睛】此题考查了二元一次方程的解及解二元一次方程组，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．C
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m，n的二元一次方程，进而即可求解．
【详解】解：根据题意，得：，解得：，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义，列出方程组，是解题的关键．
6．B
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．D
【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
8．A
【分析】直接根据题意列方程组即可．
【详解】解：根据题意，得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解答的关键．
9．
【分析】本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
【详解】解：4x-2y=7，
2y=4x-7
解之：y=．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y．
10．3
【分析】先把其中一个未知数用另一个未知数表示，然后分析它的解的情况．
【详解】先将方程3x＋y＝10变形，得y＝10 3x．
要使x，y都是正整数，根据以上条件可知：
则x＝1，2，3时，
相应的y＝7，4，1．
∴有三组，分别为，，．
故答案为：3．
【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
11．3
【详解】解：将x=0.5代入第二个方程可得：0.5+y=1，则y=0.5，
将x=0.5和y=0.5代入第一个方程可得：0.5+0.5p=2，
解得：p=3．
故答案为：3
12．
【分析】根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，正确找出等量关系是解题的关键．
13．8
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：，
①②得：，解得，
把代入①得：，解答，
所以原方程组的解，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法有加减消元法和代入消元法．
14．16
【分析】因为方程组和有相同的解，所以把5x+y=3和x-2y=5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
【详解】∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也它们的解，
解得：，
代入其他两个方程得，
解得：，
∴a+b=16．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组求解方法.
15．2
【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】解：，
①+②，得x+y=2k+1，
又∵x+y=5，
∴2k+1=5，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
16． 6.5 -1
【分析】我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，很快可以得到 ，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：，
解得： ，
故答案为：6.5；﹣1．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，关键是掌握整体思想及换元法的应用．
17．（1）；（2）．
【分析】解二元一次方程组，运用加减消元法先消去一个未知数，求得一个未知数的解，再代入原方程组中其中一个方程即可解得．
【详解】（1）解：
得：4x＝8，解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则该方程组的解为
（2）解：，
②－①×3，得2x＝3，解得，
把代入①，得，
∴原方程组的解为．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的解法，掌握计算方法及运算能力熟练是解题关键．
18．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0列出等式，再根据非负性的性质，列出方程组，即可解得．
【详解】解：，
，
则，
解得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查互为相反数，绝对值和平方的非负性以及解二元一次方程组，解题关键是理解绝对值和平方的非负性．
19．
【分析】把代入到方程4x－by＝－2，把代入到方程ax＋5y＝15，求出a，b，再把a，b代入原方程组.
【详解】详解：将代入4x－by＝－2得：
4×(－3)－b×(－1)＝－2，
解得b＝10，
将代入ax＋5y＝15得：
5a＋5×2＝15，
解得a＝1，
所以原方程组为，
解得.
【点睛】本题考查解二元一次方程组错题复原问题．分别把求得的解代入到没有看错系数的方程中，求出所含字母系数的值，再把求出的字母系数的值代回到原方程组中求解.
20．2
【详解】试题解析：由于x=y，故把x=y代入第一个方程中，求得x的值，再代入第二个方程即可求得k的值．
试题解析：由题意可知x=y，
∴4x+3y=7可化为4x+3x=7.
∴x=1，y=1.
将x=1，y=1代入kx+(k-1)y=3中，得k+k-1=3，
∴k=2.
21．（1）每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；（2）见解析
【分析】（1）直接利用1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克得出方程求出答案；
（2）利用分类讨论得出方程的解即可．
【详解】解：（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克；
（2）现有型球、型球的质量共17千克，
设型球1个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球2个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球3个，设型球个，则，
解得：，
设型球4个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球5个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
综上所述：型球、型球各有3只、2只．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．
22．（1）5元，3元；
（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．
【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；
（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，
有，解得；
故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）两人共有金额19+26+2=47元，
若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，
故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；
故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；
（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．
23．（1）；（2）.
【详解】解：（1）；
（2）由题意得
∴．
24．（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11
【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．
【详解】（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴①，②，
∴②-①，得③
∴④
①+②，得⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值．