12.2 第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式 课件(共25张PPT) 数学沪科版八年级上册

(共25张PPT)
第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式
第12章 一次函数
12.2 一次函数
　　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
　　思考：
　　反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法 — — 两点确定一条直线
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s)与其下滑时间 t (s)的关系如右图所示：
(1)请写出 v 与 t 的关系式.
(2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
解：（1）v = 2.5t；
（2）v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
5
2
确定正比例函数的表达式
典例精析
　　例1 求正比例函数 的表达式．
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1且 m－4 ≠ 0，
∴m＝－4，
∴y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
如图，已知一次函数的图象经过 P(0，-1)，
Q(1，1) 两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
合作探究
确定一次函数的表达式
因为一次函数的一般形式是 y = kx + b（k，b 为常数，k ≠ 0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值（即待定系数）.
函数解析式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
画出
选取
∵P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上，
∴它们的坐标应满足 y = kx + b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于 k，b 的二元一次方程组：
k·0 + b = -1，
k + b = 1，
｛
｛
解这个方程组，得
k = 2，
b = -1.
∴这个一次函数的解析式为 y = 2x- 1.
这里，先设所求的一次函数表达式为 y = kx + b（k，b 是待确定的系数），再根据已知条件列出 k，b 的方程组，求得 k，b 的值，这种确定表达式中系数的方法，叫做待定系数法.
知识要点
例2 如果知道一个一次函数，当自变量 x = 4 时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2.你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？
y
解：因为 y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b.
由题意得 解得
4k + b = 5，5k + b = 2，
所以，函数表达式为 y = -3x + 17.
图象如图所示.
k = -3，b = 17，
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y = kx + b.
2.将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得 k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
总结归纳
1.已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，
则 k =______.
2.已知函数 y = 2x + b 的图像经过点 (a，7)和 (-2，a)，则这个函数的表达式为__________.
3
y = 2x + 5
练一练
例3 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的解析式.
分析：一次函数 y = kx + b 与 y 轴的交点是(0，b)，与 x 轴的交点是( ，0).由题意可列出关于 k，b的方程.
y
x
O
2
注意：此题有两种情况.
解：设一次函数的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)
∵一次函数 y = kx + b 的图象过点(0，2)，
∴b = 2
∵一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)，则
解得 k = 1或 -1.
故此一次函数的解析式为 y = x + 2 或 y = - x + 2.
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的自变量的取值范围是－ 3≤x≤6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤－ 2 ，求这个函数的解析式.
能力提升
分析：(1)当－ 3≤x≤6 时，－5≤y≤－2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值；
(2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论.
答案：
例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为 y1＝k1x，一次函数的表达式为 y2＝k2x＋b.
∵点 A(4，3) 是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得 3＝4k1，3＝4k2＋b . 解得 k1＝ .
即正比例函数的表达式为 y＝ x.
∵OA＝ ＝5，且 OA＝2OB，
∴OB＝ .
∵点 B 在 y 轴的负半轴上，
∴B 点的坐标为(0，－ )．
又∵点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上，
∴－ ＝b，代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ .
∴一次函数的表达式为 y2＝ x－ .
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
归纳总结
做一做
某种拖拉机的油箱可储油 40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量 y(L)与工作时间 x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作
几小时？
y = - 5x + 40(0≤x≤8)
8 h
1.一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A．k = 2　　B．k = 3　　
C．b = 2　　D．b = 3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空：　(1) b =______，k =______；
(2) 当 x = 30 时，y =______；
(3) 当 y = 30 时，x =______.
2
-18
-42
l
y
x
3.已知一次函数的图象经过 (0，5)、(2，－5) 两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为 y ＝ kx＋b，根据题意得，
∴－5 ＝ 2k＋b，5 ＝ b，
解得 b ＝ 5，k ＝ －5.
∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5.
解：设直线 l 为 y = kx + b，
　　∵l 与直线 y = -2x 平行，∴k = -2.
又∵直线过点（0，2），
∴2 = -2×0 + b. ∴b = 2.
∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2.
4.已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式.
5.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米.请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度.
解：由题意设 y = kx + b (k ≠ 0) 则 14.5 = b，16 = 3k + b，
解得：b = 14.5，k = 0.5.
所以在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5 .
当 x = 4 时，y = 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米.
用待定系数法求一次函数的表达式
2. 根据已知条件列出关于 k、b 的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b；
3. 解方程，求出 k、b；
4. 把求出的 k，b 代回表达式即可.