12.2 第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 课件 (共26张PPT)数学沪科版八年级上册

(共26张PPT)
第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
第12章 一次函数
12.2 一次函数
y＜0
y＞0
让我们来观察一下平面直角坐标系，思考下列问题：
(1)纵坐标等于 0 的点在哪里？
(2)纵坐标大于 0 的点在哪里？
(3)纵坐标小于 0 的点在哪里？
x
y
O
y = 0
问题1：(1)解方程 2x + 20 = 0；
(2)当自变量 x 为何值时，函数 y = 2x + 20 的值为 0？
解：(1) 2x + 20 = 0
2x = -20
x = -10
(2) 当 y = 0 时 ，即
2x + 20 = 0
2x = -20
x = -10
从“函数值”
角度看
两个问题实际上是同一个问题
一次函数与一元一次方程
（3）画出函数 y = 2x + 20 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标.
O
x
y
20
-10
y = 2x + 20
思考：
直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，___），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
从“函数图象”上看
-10
0
-10
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
　　问题2 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x + 1 = 3；（2）2x + 1 = 0；（3）2x + 1 = -1
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax + b = k 就是求当函
数(y = ax + b)值为 k
时对应的自变量的值．
2x + 1 = 3 的解
y = 2x + 1
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
1.直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，____），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x = _____.
-10
0
-10
练一练
2.若方程 kx＋2＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋2 与 x 轴交点坐标为（____，_____）.
5
0
求一元一次方程
kx + b = 0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数 y = kx + b
中，y = 0 时 x 的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx + b = 0 的解．
求直线 y = kx + b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
例1 直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)，则关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝___．
解析：∵直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)，
则 x＝2 时，y＝0，
∴关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝2.
典例精析
2
直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．
方法总结
1.已知一次函数 y = 0.8x - 2 与 x 轴的交点为 (2.5，0)，你能说出 0.8x - 2 = 0 的解吗？
2.已知一次函数 y = kx - 5 与 x 轴的交点为 (3，0)，那么你能说出 kx - 5 = 0 的解吗？
3.已知关于 x 的一元一次方程 mx + n = 0 的解是 -3，则直线 y = mx + n 与 x 轴的交点坐标是_______.
试一试
x = 2.5
x = 3
(-3，0)
例2 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过 x 秒它的速度为 17 米/秒，
由题意得 2x + 5 = 17
解得 x = 6
答：再过 6 秒它的速度为 17 米/秒.
解法2：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5
由 2x + 5 = 17 得 2x－12 = 0
由右图看出直线 y = 2x－12 与 x 轴的交点为 (6，0)，得 x = 6.
O
x
y
6
－12
y = 2x－12
由右图可以看出当 y = 17 时，x = 6.
y = 2x + 5
x
y
O
6
17
5
－2.5
解法2：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5
观察在 x 轴上方的函数图象所对应的函数值 y 和自变量 x 的取值范围.
y = 2x + 6
思考:它们与不等式 2x + 6＞0 及其解集有何关系？
y＞0
x＞-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-1
1
2
3
4
5
6
7
O
x
y
A(0，6)
B(0，-3)
一次函数与一元一次不等式
想一想：你能通过观察函数图象得出一次不等式 2x + 6＜0 的解集吗？
y = 2x + 6
x＜-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0，6)
B(0，-3)
2
6
4
-1
x
y
2
问题：请同学们观察一次函数 y = 2x + 6 和 y = 3 的图象，你能说出 2x + 6 = 3 的解和 2x + 6＞3 的解集吗？
-1.5
1
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0，6)
B(0，-3)
2
6
4
-1
x
y
x = -1.5， x＞-1.5
y = 2x + 6
y = 3
求 kx + b＞0 (或＜0)
(k ≠ 0)的解集
一次函数与一元一次不等式的关系
　y = kx + b 的值
大于(或小于) 0 时，
x 的取值范围
从“函数值”看
求 kx + b＞0 (或＜0)
(k ≠ 0)的解集
确定直线 y = kx + b
在 x 轴上方(或下方)
的图象所对应的 x
取值范围
从“函数图象”看
归纳总结
例3 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
（1）方程 -3x + 6 = 0 的解；
（2）不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集；
（3）当 x 取何值时，y＜3？
解：（1）作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
所以，方程 -3x + 6 = 0 的解就是交点 B 的横坐标.
x
O
B(2，0)
A(0，6)
y
x
O
B(2，0)
A(0，6)
y
（2）不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集；
（3）当 x 取何值时，y＜3？
解：（2）由图象可知，不等式 -3x + 6＞0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x＜2；不等式 -3x + 6＜0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x＞2；
（3）由图象可知，当 x＞1 时，y＜3.
3
1
(1，3)
试一试
1.一次函数 y = -x + 2 的图象如图，你能说出 -x + 2＜0 的解集吗？
x
y
O
y = -x + 2
2
x＞2
2.一次函数 y = kx + b 的图象如图，你能说出 kx + b＜0 的解集吗？
x
y
O
y = kx + b
-4
x＜-4
1．利用图象解一元一次方程 x + 3 = 0.
3
y = x + 3
O
y
解：作 y = x + 3 图象如右图.
由图象知 y = x + 3 交 x 轴于 (-3，0)， 所以原方程的解为 x = 3.
x
3
2.用画函数图象的方法解不等式 5x + 4＜2x + 10.
解：原不等式化为 3x - 6＜0
画出直线 y = 3x - 6 (如图).
可以看出，当x＜2 时这条直线上的点在 x 轴的下方,
即这时 y = 3x - 6＜0，所以不等式的解集为 x＜2.
y = 3x - 6
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
即 5x + 4＜2x + 10 的解集为 x＜2.
解：画出两个函数 y = 5x 1
和 y = 2x + 5 的图象．
由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x = 2．
O
y = 5x 1
y = 2x + 5
9
2
x
y
3．利用函数图象求 x 的值.
5x 1 = 2x + 5.
4.函数 y = 2x + 6 的图象如图，利用图象求：
(1)方程 2x + 6 = 0 的解；
由图象可得：图象过点 (-3，0).
∴方程 2x + 6 = 0 的解为 x = -3；
(2)不等式 2x + 6＞0 的解集；
由图象可得：当 x＞-3 时，函数 y = 2x + 6 的图象在 x 轴上方.
∴不等式 2x + 6＞0 的解集为 x＞-3；
(3)若 -1≤y≤3，求 x 的取值范围.
由图象可得：函数图象过
F (-1.5，3)，G (-3.5，-1) 两点，
当 -3.5≤x≤-1.5 时，函数y = 2x+6的函数值满足-1≤y≤3，
∴x 的取值范围是 -3.5≤x≤-1.5.
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与 x 轴交点的横坐标.
解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围.