12.2 第1课时 正比例函数的图象和性质 课件(共33张PPT) 数学沪科版八年级上册

(共33张PPT)
第1课时 正比例函数的图象和性质
第12章 一次函数
12.2 一次函数
1.函数有哪些表示方法？
图象法、列表法、解析法
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系？
2.你能将解析法转化成图象法吗？
什么是函数的图象？
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子
一次函数与正比例函数
情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.你能写出 y 与 x 之间的关系吗？
y = 3 + 0.5x
情景二：某辆汽车油箱中原有油 100 L，汽车每行驶 50 km 耗油 9 L.设汽车行使路程 x (km)，油箱剩余油量 y (L)，你能写出 y 与 x 的关系吗？
y =100－0.18x
情景三：每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞
在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的
变化而变化．写出函数解析式.
情景四：冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2 ℃，
物体问题 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）
的变化而变化．写出函数解析式.
h = 0.5n
T = -2t
上面的四个函数关系式:
(1)y = 3 + 0.5x； (2) y = 100－0.18x.
(3) h = 0.5n； (4) T = -2t.
一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0)的函数叫做一次函数.
当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx (k为常数，k ≠ 0)，因此这样的函数叫做正比例函数.
一次函数：
大家讨论一下，这几个函数关系式有什么关系
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4；
(2)y＝5x2－6；
(3)y＝2πx；
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
练一练
(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
例1 已知 y 关于 x 的函数 y＝(m－5)xm －24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求 m 的值；
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解： 因为 y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5 ≠ 0.
所以 m＝±5且 m ≠ 5.
所以 m＝－5.
所以，当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5)xm －24＋m＋1 是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：因为 y＝(m－5)xm －24＋m＋1 是正比例函数，
所以 m2－24＝1且 m－5 ≠ 0 且 m＋1＝0.
所以 m＝±5且 m ≠ 5 且 m＝－1.
则这样的 m 不存在，
所以函数 y＝(m－5)xm －24＋m＋1 不可能为
正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则 k ≠ 0，且自变量的次数为 1.当 b＝0 时，一次函数为正比例函数．
例2 画出下面正比例函数 y = 2x 的图象.
解
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解析法
列表法
①列表
正比例函数的图象的画法
y = 2x
②描点
以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.
③连线
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象
要点归纳
y = 2x
y = -3x
这两个函数图象有什么共同特征？
归纳总结
y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k ≠ 0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可.
两点
作图法
例3 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：
（1） ；（2） y = x ； （3）y = 3x.
x 0 1
y = x 1
y = 3x 0
0
3
0
y = 3x
y = x
例4 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2 ，它的图象经过第几象限？
解：因为该函数是正比例函数
m2 = 1
所以{
m + 1 ≠ 0
所以根据正比例函数图象的特点，由 k＞0 可得该图象经过一、三象限.
解得 m =1，所以 m + 1 = 2＞0.
（1）若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值
范围是________.
变式1： 已知正比例函数 y = (k + 1)x.
k＞-1
（2）若函数图象经过点（2，4），则 k_____.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以
k + 1＞0，解得 k＞-1.
解析：将坐标(2，4)带入函数表达式中，得
4 = (k + 1)·2，解得 k = 1.
= 1
变式2：当 x＞0 时，y 与 x 的函数解析式为 y = 2x ，
当 x≤0 时，y 与 x 的函数解析为 y = -2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为 ( )
C
x
y
O
O
O
O
x
x
y
y
y
A
B
C
D
这四个函数中，随着 x 的增大，y的值分别如何变化？
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象.
正比例函数图象的性质
x 增大，y 的值也增大；
x 增大，y 的值反而减小.
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
想一想：下列函数中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化？
当 k＞0时，
当 k＜0时，
x
y
O
y = 2x
1
2
2
4
2
4
y = x
3
2
-3
-6
x
y
O
在正比例函数 y = kx (k 为常数，k ≠ 0)中，
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大
（图象是自左向右上升的）；
当 k＜0时，y 的值随着 x 值的增大而减小
（图象是自左向右下降的）.
总结归纳
（1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数 y = - x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
| k |越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴.
议一议
练一练
1.已知正比例函数 y = kx (k＞0) 的图象上有两点(x1，y1)，
(x2，y2)，若 x1＜x2，则 y1 y2.
＜
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图
象如图，则 k1和 k2 的大小关系是（ ）
A. k1＞k2 B. k1 = k2
C. k1＜k2 D. 不能确定
y = k1x
y = k2x
x
y
O
A
例5 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：因为正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
所以 4 = m·m，解得 m =±2.
又 y 的值随着 x 值的增大而减小，
所以 m＜0，故 m =－2.
1.下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ）
B
2.对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围 （ ）
　A．k＜2　　B．k≤2　　C．k＞2　　D．k≥2
C
3.函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y 随 x 的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1，-7）
减小
4.已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
（1）当 m ，函数图象经过第一、三象限；
（2）当 m ，y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m ，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
＜-2
= 0.5
5. 如图分别是函数 y = k1 x，y = k2 x，y = k3 x，y = k4 x 的图象.　
（1）k1 k2，k3 k4
(填“＞”或“＜”或“=”)；
（2）用不等号将 k1， k2，
k3， k4 及 0 依次连接起来．
＜
解： k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y = k4 x
-4
-2
2
y = k3 x
y = k2 x
y = k1 x
＜
6. 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2
（2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数
（1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得
m - 1 ≠ 0，解得 m ≠ 1.
（2）由题意可得
m - 1 ≠ 0，1 - m2 = 0，解得 m = -1.
即 m ≠ 1 时，这个函数是一次函数.
即 m = -1 时，这个函数是正比例函数.
7. 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L．所使用的汽油为 5 元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式.
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象.
（3）计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少.
y/元
x/km
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
O
（1）y = 5×15 x ÷100，
即 (x≥0).
（2）
x 0 4
y 0 3
列表
（3）当 x = 220时，
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
描点
连线
（元）.
解：
正比例函数的图象和性质
正比例函数： y = kx ( k ≠ 0 )
图象：经过原点的直线.
一次函数：y = kx + b
( k、b 为常数，且 k ≠ 0 )
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.