13.3.1.1 等腰三角形的性质同步练习 （含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3.1.1 等腰三角形的性质同步练习 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 19:48:02 | ||
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文档简介
13.3.1等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【知识重点】
知识点1 等腰三角形的定义
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.
等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，
但底角只能是锐角. 根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形.
特别解读
确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
知识点2 等腰三角形的性质
1. 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
几何语言：如图，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
特别提醒
① 适用条件：必须在同一个三角形中.
② 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
2. 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
几何语言：如图，在△ABC中，
(1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC(或BD＝CD)；
(2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
(3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC).
特别解读
① 适用条件：
(a)必须是等腰三角形；
(b)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.
② 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
【经典例题】
【例1】若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.
(1)求∠ADB的度数；
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
(3)若BC＝3 cm，求BD的长.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE.
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数.
解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.
小结：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题. 设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.
【同步练习】
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75° C．65° D．30°
第2题图 第5题图 第8题图
3．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( )
A．14 B．23 C．19 D．19或23
4．(2021济宁模拟)已知等腰三角形的周长为22，一边长为8，则它的底边长是( )
A．8 B．6 C．7或8 D．6或8
5．【2021·自贡】如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( )
A．72° B．36° C．74° D．88°
6．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
7．等腰三角形腰上的高与底边的夹角α与顶角β之间的关系 ( )
A．α＝β B．α＝2β C．β＝2α D．不能确定
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论：
①△ABD≌△ACD；②D为边BC的中点；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的一条角平分线．
其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为 ( )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
11．如图，已知O是四边形ABCD内的点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的度数为( )
A．70° B．110° C．140° D．150°
二、填空题
12．等腰三角形的两个________相等(简写成“等边对等角”)．注意：“等边对等角”是在__________三角形中．
13．等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的______相互重合(简写成“__________”)．
14．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
15．【2021·滨州】如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________．
第15题图 第16题图 第17题图
16．【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
17．【2021·鞍山】如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为________．
三、解答题
18．△ABC中，AD是BC边的中线，AD是BC边上的高，求证：AD是∠BAC的平分线．
19．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AB＝10，BC＝17.32，求△ABD的周长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
21．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
(2)∠OBC＝∠OCB.
22．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)过B作BM⊥AC于M，D为BC的中点改为D在BC上(D不与B、C重合)，其余条件不变，问DE、DF、BM的关系怎样？说明理由．
24．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
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参考答案
【经典例题】
【例1】若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论. 第一种情况：当4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵ 4＋4>6，满足三角形的三边关系， ∴周长＝4＋4＋6＝14；第二种情况：当 6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵ 4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝6＋6＋4＝16.
综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
(1)求∠ADB的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°.
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
解：在△ABC中，∵ AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－100°)＝40°.
(3)若BC＝3 cm，求BD的长.
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD是BC边上的中线，
∴ BD＝BC＝×3=1.5(cm).
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE.
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.
证明：方法一 ∵ AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
在△BEC和△CDB中，
∴△BEC≌△CDB(AAS). ∴ BD＝CE.
方法二 ∵ S△ABC＝AB·CE，S△ABC＝AC·BD，AB＝AC，∴ BD＝CE.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数.
解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.
解：设∠A＝x°，∵ AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.
∵ DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°，
∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.
∵ BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.
∵ AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.
∴ x＋x＋x＝180，解得x＝45. ∴∠A＝45°.
小结：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题. 设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.
【同步练习】
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( D )
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( B )
A．85° B．75° C．65° D．30°
第2题图 第5题图 第8题图
3．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( D )
A．14 B．23 C．19 D．19或23
4．(2021济宁模拟)已知等腰三角形的周长为22，一边长为8，则它的底边长是( D )
A．8 B．6 C．7或8 D．6或8
5．【2021·自贡】如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( A )
A．72° B．36° C．74° D．88°
6．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的个数有 ( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
7．等腰三角形腰上的高与底边的夹角α与顶角β之间的关系 ( C )
A．α＝β B．α＝2β C．β＝2α D．不能确定
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论：
①△ABD≌△ACD；②D为边BC的中点；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的一条角平分线．
其中，正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( B )
A．20° B．35° C．40° D．70°
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为 ( D )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
11．如图，已知O是四边形ABCD内的点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的度数为( D )
A．70° B．110° C．140° D．150°
二、填空题
12．等腰三角形的两个________相等(简写成“等边对等角”)．注意：“等边对等角”是在__________三角形中．
【答案】底角 同一个
13．等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的______相互重合(简写成“__________”)．
【答案】平分线 中线 高 三线合一
14．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
【答案】50°或80°
15．【2021·滨州】如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________．
【答案】34°
第15题图 第16题图 第17题图
16．【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
【解析】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝38°.
∵∠B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝38°.
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝(38°＋180°)＝109°，
∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝180°－38°－109°＝33°.
【答案】33°
17．【2021·鞍山】如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为________．
【解析】作AE⊥OA交OC的延长线于点E.
∵AE⊥OA，∴∠OAE＝90°.
又∵∠POQ＝90°，∴∠OAE＝∠POQ.∴AE∥OB.
∴∠OBC＝∠CAE.
∵C为AB的中点，∴BC＝AC.
又∵∠BCO＝∠ACE，∴△BCO≌△ACE.
∴OC＝CE，OB＝EA.
在△BOA和△EAO中，OB＝AE，OA＝AO，∠BOA＝∠EAO＝90°，∴△BOA≌△EAO，∴AB＝OE.
∴OC＝AC＝BC.∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC.
又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′.
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO.
设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x，则∠BCO＝2x，∠A′OB＝90°－2x，∠OBD＝90°－x，∠BDO＝∠AOD＋∠BAO＝3x.
①当OB＝OD时，∠OBD＝∠BDO.∴90°－x＝3x.
解得x＝22.5°. ∴∠OBD＝90°－22.5°＝67.5°.
②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB.
∴90°－x＝90°－2x，方程无解．∴此情况不存在．
③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB. ∴3x＝90°－2x.
解得x＝18°.∴∠OBD＝90°－18°＝72°.
综上，∠OBD的度数为67.5°或72°.
【答案】67.5°或72°
三、解答题
18．△ABC中，AD是BC边的中线，AD是BC边上的高，求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：由题意得，∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
∵AD是BC边的中线，
∴AD是∠BAC的平分线．
19．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AB＝10，BC＝17.32，求△ABD的周长．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x°，∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠B＝(90－x)°．
∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝x°，∴90－x＝2x，
解得x＝30，∴∠BAC＝90°＋30°＝120°．
(2)由(1)知DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋BC＝10＋17.32＝27.32．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD.
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(SAS)．∴∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAF＋∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD.∴AD平分∠EAF.
21．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS)．
(2)∠OBC＝∠OCB.
证明：由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB.
22．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠EAF＝∠BAC.
又∵AE＝AB，AF＝AC，
∴△EAF≌△BAC(SAS)．∴EF＝BC.
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.
∵∠CAF＝∠BAE，∴∠FAG＝50°.
∵△EAF≌△BAC，∴∠F＝∠ACB＝28°.
∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)过B作BM⊥AC于M，D为BC的中点改为D在BC上(D不与B、C重合)，其余条件不变，问DE、DF、BM的关系怎样？说明理由．
(1)证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF；
(2)解：BM＝DE＋DF.理由：连接AD，∵S△ABD＝AB·DE，S△ADC＝AC·DF，S△ABC＝BM·AC，∵S△ABD＋S△ADC＝S△ABC，∴AB·DE＋AC·DF＝BM·AC，∵AB＝AC，∴DE＋DF＝BM.
24．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
解：∠DAC的度数不会改变．
理由如下：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C.∴∠AED＝2∠C.
∵∠BAE＝90°，BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－∠B)＝ [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
解：设∠B＝m°.∵BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－m°)＝90°－m°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋m°.
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.∴∠AEB＝2∠CAE.
∵∠AEB＝180°－n°－m°，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°.
第1课时 等腰三角形的性质
【知识重点】
知识点1 等腰三角形的定义
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.
等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，
但底角只能是锐角. 根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形.
特别解读
确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
知识点2 等腰三角形的性质
1. 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
几何语言：如图，在△ABC中，
∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
特别提醒
① 适用条件：必须在同一个三角形中.
② 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
2. 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
几何语言：如图，在△ABC中，
(1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC(或BD＝CD)；
(2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
(3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC).
特别解读
① 适用条件：
(a)必须是等腰三角形；
(b)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.
② 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
【经典例题】
【例1】若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.
(1)求∠ADB的度数；
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
(3)若BC＝3 cm，求BD的长.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE.
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数.
解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.
小结：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题. 设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.
【同步练习】
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75° C．65° D．30°
第2题图 第5题图 第8题图
3．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( )
A．14 B．23 C．19 D．19或23
4．(2021济宁模拟)已知等腰三角形的周长为22，一边长为8，则它的底边长是( )
A．8 B．6 C．7或8 D．6或8
5．【2021·自贡】如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( )
A．72° B．36° C．74° D．88°
6．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
7．等腰三角形腰上的高与底边的夹角α与顶角β之间的关系 ( )
A．α＝β B．α＝2β C．β＝2α D．不能确定
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论：
①△ABD≌△ACD；②D为边BC的中点；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的一条角平分线．
其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为 ( )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
11．如图，已知O是四边形ABCD内的点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的度数为( )
A．70° B．110° C．140° D．150°
二、填空题
12．等腰三角形的两个________相等(简写成“等边对等角”)．注意：“等边对等角”是在__________三角形中．
13．等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的______相互重合(简写成“__________”)．
14．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
15．【2021·滨州】如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________．
第15题图 第16题图 第17题图
16．【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
17．【2021·鞍山】如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为________．
三、解答题
18．△ABC中，AD是BC边的中线，AD是BC边上的高，求证：AD是∠BAC的平分线．
19．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AB＝10，BC＝17.32，求△ABD的周长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
21．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
(2)∠OBC＝∠OCB.
22．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)过B作BM⊥AC于M，D为BC的中点改为D在BC上(D不与B、C重合)，其余条件不变，问DE、DF、BM的关系怎样？说明理由．
24．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
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参考答案
【经典例题】
【例1】若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论. 第一种情况：当4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵ 4＋4>6，满足三角形的三边关系， ∴周长＝4＋4＋6＝14；第二种情况：当 6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵ 4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝6＋6＋4＝16.
综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
(1)求∠ADB的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°.
(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；
解：在△ABC中，∵ AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－100°)＝40°.
(3)若BC＝3 cm，求BD的长.
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD是BC边上的中线，
∴ BD＝BC＝×3=1.5(cm).
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE.
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.
证明：方法一 ∵ AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
在△BEC和△CDB中，
∴△BEC≌△CDB(AAS). ∴ BD＝CE.
方法二 ∵ S△ABC＝AB·CE，S△ABC＝AC·BD，AB＝AC，∴ BD＝CE.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数.
解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.
解：设∠A＝x°，∵ AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.
∵ DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°，
∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.
∵ BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.
∵ AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.
∴ x＋x＋x＝180，解得x＝45. ∴∠A＝45°.
小结：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题. 设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.
【同步练习】
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( D )
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( B )
A．85° B．75° C．65° D．30°
第2题图 第5题图 第8题图
3．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( D )
A．14 B．23 C．19 D．19或23
4．(2021济宁模拟)已知等腰三角形的周长为22，一边长为8，则它的底边长是( D )
A．8 B．6 C．7或8 D．6或8
5．【2021·自贡】如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( A )
A．72° B．36° C．74° D．88°
6．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的个数有 ( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
7．等腰三角形腰上的高与底边的夹角α与顶角β之间的关系 ( C )
A．α＝β B．α＝2β C．β＝2α D．不能确定
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论：
①△ABD≌△ACD；②D为边BC的中点；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的一条角平分线．
其中，正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( B )
A．20° B．35° C．40° D．70°
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为 ( D )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
11．如图，已知O是四边形ABCD内的点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的度数为( D )
A．70° B．110° C．140° D．150°
二、填空题
12．等腰三角形的两个________相等(简写成“等边对等角”)．注意：“等边对等角”是在__________三角形中．
【答案】底角 同一个
13．等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的______相互重合(简写成“__________”)．
【答案】平分线 中线 高 三线合一
14．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
【答案】50°或80°
15．【2021·滨州】如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________．
【答案】34°
第15题图 第16题图 第17题图
16．【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
【解析】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝38°.
∵∠B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝38°.
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝(38°＋180°)＝109°，
∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝180°－38°－109°＝33°.
【答案】33°
17．【2021·鞍山】如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为________．
【解析】作AE⊥OA交OC的延长线于点E.
∵AE⊥OA，∴∠OAE＝90°.
又∵∠POQ＝90°，∴∠OAE＝∠POQ.∴AE∥OB.
∴∠OBC＝∠CAE.
∵C为AB的中点，∴BC＝AC.
又∵∠BCO＝∠ACE，∴△BCO≌△ACE.
∴OC＝CE，OB＝EA.
在△BOA和△EAO中，OB＝AE，OA＝AO，∠BOA＝∠EAO＝90°，∴△BOA≌△EAO，∴AB＝OE.
∴OC＝AC＝BC.∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC.
又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′.
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO.
设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x，则∠BCO＝2x，∠A′OB＝90°－2x，∠OBD＝90°－x，∠BDO＝∠AOD＋∠BAO＝3x.
①当OB＝OD时，∠OBD＝∠BDO.∴90°－x＝3x.
解得x＝22.5°. ∴∠OBD＝90°－22.5°＝67.5°.
②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB.
∴90°－x＝90°－2x，方程无解．∴此情况不存在．
③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB. ∴3x＝90°－2x.
解得x＝18°.∴∠OBD＝90°－18°＝72°.
综上，∠OBD的度数为67.5°或72°.
【答案】67.5°或72°
三、解答题
18．△ABC中，AD是BC边的中线，AD是BC边上的高，求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：由题意得，∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
∵AD是BC边的中线，
∴AD是∠BAC的平分线．
19．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AB＝10，BC＝17.32，求△ABD的周长．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x°，∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠B＝(90－x)°．
∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝x°，∴90－x＝2x，
解得x＝30，∴∠BAC＝90°＋30°＝120°．
(2)由(1)知DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋BC＝10＋17.32＝27.32．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD.
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(SAS)．∴∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAF＋∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD.∴AD平分∠EAF.
21．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS)．
(2)∠OBC＝∠OCB.
证明：由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB.
22．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠EAF＝∠BAC.
又∵AE＝AB，AF＝AC，
∴△EAF≌△BAC(SAS)．∴EF＝BC.
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.
∵∠CAF＝∠BAE，∴∠FAG＝50°.
∵△EAF≌△BAC，∴∠F＝∠ACB＝28°.
∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)过B作BM⊥AC于M，D为BC的中点改为D在BC上(D不与B、C重合)，其余条件不变，问DE、DF、BM的关系怎样？说明理由．
(1)证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF；
(2)解：BM＝DE＋DF.理由：连接AD，∵S△ABD＝AB·DE，S△ADC＝AC·DF，S△ABC＝BM·AC，∵S△ABD＋S△ADC＝S△ABC，∴AB·DE＋AC·DF＝BM·AC，∵AB＝AC，∴DE＋DF＝BM.
24．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
解：∠DAC的度数不会改变．
理由如下：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C.∴∠AED＝2∠C.
∵∠BAE＝90°，BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－∠B)＝ [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
解：设∠B＝m°.∵BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－m°)＝90°－m°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋m°.
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.∴∠AEB＝2∠CAE.
∵∠AEB＝180°－n°－m°，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°.