13.3.2.1 等边三角形的性质和判定同步练习 （含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3.2.1 等边三角形的性质和判定同步练习 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-30 19:50:33 | ||
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文档简介
13.3.2等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
【知识重点】
知识点1 等边三角形的定义及性质
1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
2. 性质
(1)等边三角形的三条边都相等.
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线.
(4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等.
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
（1）任意两边都可以作为腰.
（2）任意一个角都可以作为顶角.
（3）任意一边上的“三线合一”.
知识点2 等边三角形的判定
1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形.
2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ ABC 中，
∵ AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60°
或∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
证明等边三角形的思维导图：
特别解读
1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.
2. 等边三角形的判定方法：
(1) 若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2) 若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；
(3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.
【经典例题】
【例1】如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
【例2】如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
【例3】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数.
【例4】如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形.
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形.
【例5】如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：
(1)AN＝BM；
解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB；
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可.
【同步练习】
一、选择题
1．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( )
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
2．如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
第2题图 第4题图 第5题图
3．关于等边三角形的说法：①等边三角形有三条对称轴；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角等于60°的三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
6．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( )
A．108° B．120° C．126° D．132°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为( )
A．9 B．8 C．6 D．7
11．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
12．等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
13．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
14．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为________________.
第14题图 第15题图 第16题图
15．已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC上的点，且AE＝BD，则BE与CD的夹角是_______________.
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点，且∠ADC＝60°，沿CD翻折△CBD，点B落在点B′的位置，连接AB′，则B′A∶AC的值为 .
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，若M, N分别是BD和BC上的动点，当CM＋MN取最小值时，BN的值是___.
三、解答题
18．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
20．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
21．(1)如图①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
22．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
∴△DEF各个内角的度数都是60°.
【例2】如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
解: ∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60 °， ∠DBE＝∠ABC＝30 °，
CD＝AC＝. ∵ DE＝DB，∴∠E＝∠DBE＝30°.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°.∴∠CDE＝∠E.
∴ CD＝CE. ∴ CE＝CD＝.
【例3】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)求∠BFD的度数.
解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.
【例4】如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形.
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵ CO，BO分别平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°. ∵ OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F， ∴ OE＝BE，OF＝FC，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°. ∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°. ∴∠EOF＝60°. ∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF. ∴△OEF是等边三角形.
【例5】如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：
(1)AN＝BM；
解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB；
证明：∵△ACM，△CBN都是等边三角形，
∴ AC＝CM，CN＝BC，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，
即∠ACN＝∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴ AN＝BM.
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可.
证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC.
∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，
∴∠ECN＝∠FCB.
在△ECN和△FCB中，
∴△ECN≌△FCB(ASA). ∴ CE＝CF.
又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形.
【同步练习】
一、选择题
1．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( D )
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
2．如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是( C )
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
第2题图 第4题图 第5题图
3．关于等边三角形的说法：①等边三角形有三条对称轴；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角等于60°的三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的说法有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( C )
A．40° B．30° C．20° D．15°
6．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( C )
A．108° B．120° C．126° D．132°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( C )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( A )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( A )
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为( B )
A．9 B．8 C．6 D．7
11．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是( C )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
12．等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
【答案】相等 60°
13．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
【答案】相等 60°
14．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为________________.
【答案】2.5 cm
第14题图 第15题图 第16题图
15．已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC上的点，且AE＝BD，则BE与CD的夹角是_______________.
【答案】60°或120°
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点，且∠ADC＝60°，沿CD翻折△CBD，点B落在点B′的位置，连接AB′，则B′A∶AC的值为 .
【答案】1
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，若M, N分别是BD和BC上的动点，当CM＋MN取最小值时，BN的值是___.
【答案】2
三、解答题
18．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
解：AE∥BC.理由如下：
∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.
∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)．
∴∠A＝∠B.∴AC＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
20．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
解：(1)△ODE是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，
∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD.
∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO.
∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.
同理可得EC＝EO.
∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
21．(1)如图①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
22．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【总结】证明一个三角形是等边三角形的思路：
1．若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定．
2．若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
3．若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
证明：在CD上截取CH＝CE，连接EH，如图①所示．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°.
∴△CEH是等边三角形．∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°.
∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.
∴∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
∴△DEH≌△FEC(SAS)．∴DH＝CF.
∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，
即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：线段CE，CF与CD之间的数量关系是FC＝CD＋CE.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，
如图②所示．
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝∠DCG＝60°.
∴△GCD为等边三角形．∴DG＝CD＝CG.
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°.
∴∠EDG＝∠FDC.
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(SAS)．∴EG＝CF.
∵EG＝CG＋CE＝CD＋CE，
∴CF＝CD＋CE.
第1课时 等边三角形的性质和判定
【知识重点】
知识点1 等边三角形的定义及性质
1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
2. 性质
(1)等边三角形的三条边都相等.
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线.
(4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等.
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
（1）任意两边都可以作为腰.
（2）任意一个角都可以作为顶角.
（3）任意一边上的“三线合一”.
知识点2 等边三角形的判定
1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形.
2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ ABC 中，
∵ AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60°
或∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
证明等边三角形的思维导图：
特别解读
1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.
2. 等边三角形的判定方法：
(1) 若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2) 若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；
(3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.
【经典例题】
【例1】如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
【例2】如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
【例3】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数.
【例4】如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形.
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形.
【例5】如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：
(1)AN＝BM；
解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB；
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可.
【同步练习】
一、选择题
1．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( )
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
2．如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
第2题图 第4题图 第5题图
3．关于等边三角形的说法：①等边三角形有三条对称轴；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角等于60°的三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
6．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( )
A．108° B．120° C．126° D．132°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为( )
A．9 B．8 C．6 D．7
11．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
12．等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
13．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
14．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为________________.
第14题图 第15题图 第16题图
15．已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC上的点，且AE＝BD，则BE与CD的夹角是_______________.
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点，且∠ADC＝60°，沿CD翻折△CBD，点B落在点B′的位置，连接AB′，则B′A∶AC的值为 .
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，若M, N分别是BD和BC上的动点，当CM＋MN取最小值时，BN的值是___.
三、解答题
18．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
20．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
21．(1)如图①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
22．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
∴△DEF各个内角的度数都是60°.
【例2】如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
解: ∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60 °， ∠DBE＝∠ABC＝30 °，
CD＝AC＝. ∵ DE＝DB，∴∠E＝∠DBE＝30°.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°.∴∠CDE＝∠E.
∴ CD＝CE. ∴ CE＝CD＝.
【例3】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)求∠BFD的度数.
解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.
【例4】如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形.
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵ CO，BO分别平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°. ∵ OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F， ∴ OE＝BE，OF＝FC，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°. ∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°. ∴∠EOF＝60°. ∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF. ∴△OEF是等边三角形.
【例5】如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：
(1)AN＝BM；
解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB；
证明：∵△ACM，△CBN都是等边三角形，
∴ AC＝CM，CN＝BC，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，
即∠ACN＝∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴ AN＝BM.
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可.
证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC.
∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，
∴∠ECN＝∠FCB.
在△ECN和△FCB中，
∴△ECN≌△FCB(ASA). ∴ CE＝CF.
又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形.
【同步练习】
一、选择题
1．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( D )
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
2．如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是( C )
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
第2题图 第4题图 第5题图
3．关于等边三角形的说法：①等边三角形有三条对称轴；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角等于60°的三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的说法有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( C )
A．40° B．30° C．20° D．15°
6．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( C )
A．108° B．120° C．126° D．132°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( C )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( A )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( A )
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为( B )
A．9 B．8 C．6 D．7
11．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是( C )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
二、填空题
12．等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
【答案】相等 60°
13．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
【答案】相等 60°
14．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为________________.
【答案】2.5 cm
第14题图 第15题图 第16题图
15．已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC上的点，且AE＝BD，则BE与CD的夹角是_______________.
【答案】60°或120°
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点，且∠ADC＝60°，沿CD翻折△CBD，点B落在点B′的位置，连接AB′，则B′A∶AC的值为 .
【答案】1
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，若M, N分别是BD和BC上的动点，当CM＋MN取最小值时，BN的值是___.
【答案】2
三、解答题
18．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
解：AE∥BC.理由如下：
∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.
∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)．
∴∠A＝∠B.∴AC＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
20．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
解：(1)△ODE是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，
∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD.
∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO.
∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.
同理可得EC＝EO.
∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
21．(1)如图①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
22．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【总结】证明一个三角形是等边三角形的思路：
1．若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定．
2．若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
3．若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
证明：在CD上截取CH＝CE，连接EH，如图①所示．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°.
∴△CEH是等边三角形．∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°.
∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.
∴∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
∴△DEH≌△FEC(SAS)．∴DH＝CF.
∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，
即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：线段CE，CF与CD之间的数量关系是FC＝CD＋CE.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，
如图②所示．
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝∠DCG＝60°.
∴△GCD为等边三角形．∴DG＝CD＝CG.
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°.
∴∠EDG＝∠FDC.
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(SAS)．∴EG＝CF.
∵EG＝CG＋CE＝CD＋CE，
∴CF＝CD＋CE.